【ILMT】零点区间的寻找技巧和常见模型(找点策略).pdf

百花百花数学数学 : : 460110772460110772 零点区间的寻找技巧零点区间的寻找技巧 湖南湖南邵阳邵阳杨歆杨歆琪琪 方法一：直接放缩法成功关键：在目标区间上找到一个合适的逼近函数. 【示例】证明：当 1 0a e 时， lnf xxax有两个零点. 分析：极值点为 1 x a （大于e） ， 11 ln10f aa ，所以需要在左右两侧各找一个函数值小于零的点. 因为ln1xx，要使得ln0 xax，只需要10 xax ，即 1 1 x a ，考虑到 1 0a e ，所以 1 1, 11 e ae ， 所以左侧可取： 10fa ， 111 ln10 11111 aa f aaaaa ； 另一方面：因为ln1xx x或 1 ln1xxx x ，要使得ln0 xax，只需要0 xax，即 2 1 x a ，所以 右侧可取： 22 11111 ln0faa aaaaa . 方法二：在特定条件下进行放缩成功关键：找到的点一定要在特定的条件下. 【示例】已知2a ， 22 112 x f xxxeaxx，试找一个 0 0 x 使得 0 0fx. 分析：因为1 x ex，要利用它来放缩，还需要考虑因式 2 1xx的正负. 要使得 22 1120 x f xxxeaxx， 只需 2 22 10 11120 xx xxxaxx ， 即 2 15 0 2 13 x xa ，因此取 0 51, 3 1 2 xa 即可使得 0 0f x. 或写得好看一点，取 0 1, 31xa也能符合要求. 百花百花数学数学 : : 460110772460110772 方法三：目测。

成功关键：数感与大胆. 【示例】证明：当ae时， x f xeax有两个零点. 分析：极值点为lnxa（大于1） ，l n1 l n0faaa，所以需要在左右两侧各找一个函数值大于零的点. 左侧，自变量越小，成功的可能性越高，则可找： 1 1 10 a fe a ， 010f ， 1 10fa e . 右侧，自变量越大，成功的可能性越高，则可找： 2ln 2ln2 ln2ln0 a faeaaa aa， 2 0 a f aea. 方法四：分而治之成功关键：对乘积式的每个因式进行适当放缩. 【示例】证明：当0a 时， 2 21 x f xxea x有两个零点. 分析：极值点为1x ， 10fe ， 20fa，难点是在 1 的左侧找一个函数值大于零的点，显然自变量越小 越容易成功，要使得 2 210 x xea x，即 2 12 x a xx e，只需要满足 2 12 x ae xx ， 即取b满足 15 2 b 且lnba即可使得 0f b . 很明显，上述拆分已经达到目的，但是结果还可以从视觉上优化： 优化：弱化 2 12xx的解，也就是取1b 且lnba也可使得 0f b . 优化：为了使得解集更好看，配凑一下系数，使得该二次不等式常数项为 0，即 2 2 212 x a e xx ， 所以，取b满足0b 且ln 2 a b 即可使得 0f b .（这就解释了 2016 年全国卷标准答案中找点的思路） 百花百花数学数学 : : 460110772460110772 方法五：分析与构造。

成功关键：分析零点区间随参数变化的趋势，构造与之相匹配的代数式作为区间端点. 【示例】证明：当 2 0a e 时， lnf xaxx有两个零点. 分析：极值点为 2 1 x e （接近 0） ， 2 12 0fa ee ，显然 10fa，难点是在 2 1 e 1 的左侧找一个函数值大于 零的点，显然点应满足如下几个条件： 始终为正数； 既能开根，也能取对数； 当a越小时，它也随之变小，并且能无限趋于零. 从条件来看，我们应该取指数的形式，且最好为偶次幂，从条件来看，我们找的指数当趋于 0 时应趋于负无 穷，所以可取反比例函数的形式或双撇函数的形式，经过尝试与调整，找可找到如下的点： 4 2 2 44 0 4 a a aa feaaaa e a . 附：常用放缩公式 第一组：对数放缩 （放缩成一次函数）ln1xx，lnxx，ln 1xx ，ln x x e . （放缩成双撇函数） 11 ln1 2 xxx x ， 11 ln01 2 xxx x ， 1 ln1xxx x ， 1 ln01xxx x ， （放缩成二次函数） 2 ln xxx， 2 1 ln 110 2 xxxx ， 2 1 ln 10 2 xxxx （放缩成类反比例函数） 1 ln1x x ， 21 ln01 1 x xx x ， 2 ln10 2 x xx x ln 1 1 x x x ， 21 ln1 1 x xx x ， 2 ln 10 2 x xx x 第二组：指数放缩 （放缩成一次函数）1 x ex， x ex， x eex， （放缩成类反比例函数） 1 0 1 x ex x ， 1 0 x ex x ， （放缩成二次函数） 2x ex， 2 1 10 2 x exxx ， 第三组：三角函数放缩 sintan0 xxx x， 2 1 sin 2 xxx， 22 11 1cos1sin 22 xxx . 百花百花数学数学 : : 460110772460110772 几个经典函数模型 经典模型一：经典模型一： ln x y x 或或 ln x y x . 【例 1】讨论函数 lnf xxax的零点个数. （1） 1 a e 时，无零点. 1 fxa x ， max 11 ln10f xf aa . （2） 1 a e 时，1 个零点. 11 fx xe ， max ln10f xf ee . （3）当 1 0a e 时，2 个零点. 10fa （目测） ， 111 ln10 11111 aa f aaaaa ，其中 1 1 1 e a .（放缩） 10f eea . 22 11111 ln0faa aaaaa ，其中 2 2 1 ee a .（用到了 1 ln1xxx x ） （4）当0a 时，1 个零点. 1 0fxa x ，单调递增. 10fa ， 11 22 1111 10 aa aa a feaaeaa aaeea . 10 aaa f eaaeae. 【变式】 （经过换元和等价变形之后均可以转化到例 1： lnf xxax） ： 1. 讨论 lnf xxm x的零点个数（令xt， 2 m a） ； 2. 讨论 lnf xxmx的零点个数（令 1 a m ） ； 3. 讨论 lnf xxxmx的零点个数（考虑 f x g x x ） ； 4. 讨论 ln x f xmx x 的零点个数（考虑 g xx f x，令 3 2 tx， 3 2 ma） ； 5. 讨论 2 lnf xxmx的零点个数（令 2 tx，2ma） ； 百花百花数学数学 : : 460110772460110772 6. 讨论 x f xaxe的零点个数（令 x et）. 经典模型二：经典模型二： x e y x 或或 x e y x 【例 2】讨论函数 x f xeax的零点个数. （1）0a 时，1 个零点. 0 x fxea， x f xeax单调递增. 且 010fa ， 1 1 10 a fe a ，所以在 1 ,0 a 上有一个零点； （2）0a 时，无零点. 0 x f xe恒成立； （3）0ae时，无零点. min ln1 ln0f xfaaa； （4）ae时，2 个零点. 1 1 10 a fe a ， 10fea，2ln2ln20faa aaa e. 【变式】 （经过换元和等价变形之后均可以转化到例题 2： x f xeax） ： 1. 讨论 2x f xemx的零点个数（令2xt， 2 m a） ； 2. 讨论 x x em f x xe 的零点个数（去分母后与 1 等价） ； 3. 讨论 x f xem x的零点个数（移项平方后与 1 等价） ； 4. 讨论 2x f xemx的零点个数（移项开方后换元与 1 等价） ； 5. 讨论 1x f xemx 的零点个数（乘以系数 e，令ema） ； 6. 讨论 ln x fxmx x 的零点个数（令 t xe，转化成 2） 7. 讨论 1x f xemxm 的零点个数（令1xt ， 2 m a e ） ； 百花百花数学数学 : : 460110772460110772 经典模型三：经典模型三：lnyxx或或 x yxe 【例】讨论函数 ln a fxx x 的零点个数. （1）0a 时，1 个零点. 2 0 xa fx x ， ln a fxx x 单调递增. 10fa ， 1 1ln 110 111 aa faa aaa . （2）0a 时，1 个零点（ 0 1x ）. （3） 1 a e 时，无零点. 2 xa fx x ， min ln10f xfaa （4） 1 a e 时，1 个零点. 0 1 x e . min 11 ln10f xf ee （5） 1 0a e 时，2 个零点. 22 111 ln0f aaaa aaa ， 1 10fea e ， 10fa ， 【变式】 （经过换元和等价变形之后均可以转化到例题 3： ln a fxx x ） ： 1. 讨论 1 lnfxax x 的零点个数； 2. 讨论 lnf xmxx的零点个数（考虑 f x g x x ，令xt） ； 3. 讨论 x a f xx e 的零点个数（令 x et） ； 4. 讨论 x a f xe x 的零点个数； 百花百花数学数学 : : 460110772460110772 练习题练习题 1. 已知函数 2 21 x f xxea x有两个零点，求a的取值范围. 2. 设函数 2 ln x f xeax，讨论 f x的导函数 fx的零点的个数. 3. 已知函数 2 1 x f xxeax有两个零点，求a的取值范围. 4. 已知函数 2 1 2 x m f xexmx. 当0m时，试讨论 yf x的零点的个数. 。