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CH03椭圆方程差分法CH3.1-3.7 依据东南高校戴嘉尊编写的《微分方程数值解》制作的PPT电子课件,供有需要的师生下载 第三章 椭圆型方程的差分方法 3.1 正方形区域中的Laplace方程Dirichlet边值问 题的差分模拟 3.2 Neumann边值问题的差分模拟 3.3 混合边值条件 3.4 非矩形区域 3.5 极坐标形式的差分格式 3.6 矩形区域上的Poisson方程的五点差分靠近 的敛速分析 3.7 一般二阶线性椭圆型方程差分靠近及其性 质讨论 依据东南高校戴嘉尊编写的《微分方程数值解》制作的PPT电子课件,供有需要的师生下载 设 是平面中的具有边界的一个有界区域，本章 考虑如下椭圆型方程的差分解法： 2u 2u 2u u u (3.1) a x, y 2 2b x, y c x, y 2 d x , y , u , , x y x y x y 其中，系数a(x,y),b(x,y),c(x,y)满意 b 2 ac 0 x, y 对应方程(3.1)的定解问题有下面三类：第一边值问题，或称Drichlet问题 方程 3.1 u f x, y (3.2) x, y x, y 依据东南高校戴嘉尊编写的《微分方程数值解》制作的PPT电子课件,供有需要的师生下载。

其次边值问题，或称Neumann问题 方程 3.1 x, y u g x, y x, y n 第三边值问题，或称Robin问题 方程 3.1 x, y u x, y u x, y n x, y x, y 其中 x, y , x, y 0 依据东南高校戴嘉尊编写的《微分方程数值解》制作的PPT电子课件,供有需要的师生下载 3.1 正方形区域中的Laplace方程Dirichlet边 值问题的差分模拟考虑Laplace方程 2u 2u 2 0 2 x y x, y (3.3) 设Ω为正方形区域，0x1,0y1,求方程(3.3) 满意边值条件u x, y f x, y x, y (3.4) 的解 依据东南高校戴嘉尊编写的《微分方程数值解》制作的PPT电子课件,供有需要的师生下载 因此Laplace方程的五点差分格式为1 U l 1,m U l 1,m U l ,m 1 U l ,m 1 4U l ,m 0 2 h (3.6) 它具有截断误差: 1 2 4u 4u h 4 4 12 x y l , m 我们引进记号◇,有◇U l ,m 1 (U l 1,m U l 1,m U l ,m 1 U l ,m 1 4U l ,m ) 2 h (3.7) 因此差分方程(3.6)即◇U l ,m 0 。

依据东南高校戴嘉尊编写的《微分方程数值解》制作的PPT电子课件,供有需要的师生下载 如图3.1所示 在区域Ω的每一内部结点(l,m)上 l 1, , M 1; m 1, , M 1 建立差分方程，由此在区域Ω内部 ( M 1) 个点上建立 ( M 1) 个方程22 ◇U l , m 0 定义向量 l , m 1, , M 1 (3.8)T U U 1,1 ,U 2,1 , ,U M 1,1 ;U 1, 2 ,U 2, 2 , ,U M 1, 2 ;U 1,M 1 ,U 2,M 1 , ,U M 1,M 1 依据东南高校戴嘉尊编写的《微分方程数值解》制作的PPT电子课件,供有需要的师生下载 单位正方形中的内部结点上的 (M 1) 个线性方程 (3.8)写成矩阵形式为 AU=K (3.9) 其中，A是 (M 1) 阶方阵22 B I A I B I I B I I B I 是(M-1)阶单位方阵；B是(M-1)阶方阵。

4 1 1 4 1 B 1 4 1 1 4 依据东南高校戴嘉尊编写的《微分方程数值解》制作的PPT电子课件,供有需要的师生下载 3.2 Neumann边值问题的差分模拟现在我们考 虑Laplace方程Neumann边值问题，即 2u 2u 0 x, y ; x, y | 0 x 1,0 y 1 x 2 y 2 u | g x, y n u n (3.10) 表示函数u沿着边界的外法线方向导数在正方 形的四个顶点上法向没有定义，事实上，g(x,y)在那里 将不连续，以后将取平均值作为不连续点上的值的定 义 依据东南高校戴嘉尊编写的《微分方程数值解》制作的PPT电子课件,供有需要的师生下载 Neumann边值问题(3.10)的解存在，仅当 g ( x, y )dl=0 且除了一个任意常数外，解唯一由于简单看到，如 果u(x,y)是式(3.10)的解，于是， u(x,y)+C(C是一个任 意常数)也是其解。

为了唯一性，需要规定u(x,y)在区域 中某一点上的值 依据东南高校戴嘉尊编写的《微分方程数值解》制作的PPT电子课件,供有需要的师生下载 Neumann边值问题的差分模拟 先在区域Ω中给定一个正方形网格区域，步长为 h,Mh=1,于是必需确定解的结点为(M 1) 个，结点上 的差分方程的解为 U 0 l , m M (3.12)2 l ,m 在内点上，Laplace方程由差分方程(3.6)代替：1 2 2 x y U l ,m 0 2 hl , m= 1 , 2 , , M 1 依据东南高校戴嘉尊编写的《微分方程数值解》制作的PPT电子课件,供有需要的师生下载 在x=0上的导数边值条件的差分模拟为1 U 1,m U1,m g0,m 2h m 1,2, M 1 (3.13) 这里 g 0,m g 0, mh 在五点差分格式(3.12)中令l=0,于是有 2 x y2 U 0,m 0 即 U 1,m 2U 0,m U1,m U 0,m 1 2U 0,m U 0,m 1 代入式(3.13),则4U 0,m 2U 1,m U 0,m 1 U 0,m 1 2hg0,m m 1, , M 1 (3.14) 依据东南高校戴嘉尊编写的《微分方程数值解》制作的PPT电子课件,供有需要的师生下载。

同理，在x=1,y=0,y=1时分别有4U M ,m 2U M 1,m U M ,m 1 U M ,m 1 2hgM ,m m 1, , M 14U l ,0 2U l ,1 U l 1,0 U l 1,0 2hgl ,0 l 1, , M 1 (3.15) (3.16) (3.17) 4U l ,M 2U l ,M 1 U l 1,M U l 1,M 2hgl ,M l 1, , M 1 在四个顶点上，有4U 0,0 2U1,0 2U 0,1 4hg0,04U 0,M 2U1,M 2U 0,M 1 4hg0,M 4U M ,0 2U M ,1 2U M 1,0 4hgM ,04U M ,M 2U M 1,M 2U M ,M 1 4hgM ,M 依据东南高校戴嘉尊编写的《微分方程数值解》制作的PPT电子课件,供有需要的师生下载 由此，正方形 方程解 U lm 满意线性方程组 AU=2hg 这里A是(M 1) 阶方阵2 2 0 x, y 1 区域的 ( M 1) 个结点上差分 (3.18) I B B I A 2I B I I B 2I I是(M+1)阶单位方阵；B 是如下(M+1)的阶方阵： 4 1 B 2 4 1 1 4 2 1 4 依据东南高校戴嘉尊编写的《微分方程数值解》制作的PPT电子课件,供有需要的师生下载。

方程组(3.18)中的向量U和g由以下给出：U U 0,0 ,U1,0 , ,U M ,0 ;U 0,1 , ,U M ,1; ;U 0,M , ,U M ,M T g 2 g 0,0 , g1, 0 , , g M 1, 0 ,2 g M , 0 ; g 0,1 ,0, ,0, g M ,1 ; ; g 0, M 1 ,0, ,0, g M , M 1 ;2 g 0, M , g1, M , , g M 1, M ,2 g M , M g l ,m g lh, mh T 依据东南高校戴嘉尊编写的《微分方程数值解》制作的PPT电子课件,供有需要的师生下载 例 3.1 在单位正方形区域Ω上解Laplace方程Neumann 问题 2u 2u 0 0 x, y 1 x 2 y 2 u g x, y n 解 令h=1/2,应用图3.2中结点次序，则方程(3.18)为 依据东南高校戴嘉尊编写的《微分方程数值解》制作的PPT电子课件,供有需要的师生下载。

0 0 0 0 U 1 2 g1 4 2 0 2 0 g 1 4 1 0 2 0 U 0 0 0 2 2 2 g 3 0 2 4 0 0 2 0 0 0 U 3 U g 1 0 0 4 2 0 1 0 0 4 4 0 1 0 1 4 1 0 1 0 U 5 2h 0 U g 0 0 1 0 2 4 0 0 1 6 6 2 g 0 0 0 2 0 0 4 2 0 U 7 7 0 0 0 2 0 1 4 1 U 8 g8 0 。