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第二章 解析函数§1. 解析函数的概念一. 复变函数的导数定义：设复变函数在点的某一实心邻域内有定义，当z从变到时，相应地有，若极限： 存在，则称函数在点可导，且称此极限值为函数在点的导数,记作或.定义：（复变函数的微分）设复变函数在点的某一实心邻域内有定义，当z从变到时，若相应地有=A其中A与无关，是比更高级的无穷小，则称在点可微，称A为在点的微分，记作或.结论：可导一定可微，反之亦然； 可导一定连续，反之不然.例1. 试证：在z=0处可导.并求其导数值.例2. 试证：在全平面处处可导，且有：.例3. 试证：在全平面处处不可导.二. 解析函数的概念及求导法则1. 解析函数的概念定义：若复变函数在点的某一实心邻域内处处可导，则称在点解析；若复变函数在区域D内的任意一个点上均解析，则称在区域D内解析，称为区域D内的解析函数.区域D内的解析函数又称为区域D内的全纯函数或区域D内的正则函数解析函数是复变函数论研究的主要对象，它是一类具有某种特性的可微函数问题：函数在点可导与在点解析是否是同一概念？函数在区域D内可导与在区域D内解析是否是同一概念？2. 求导法则由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的.(1) 四则运算的求导法则 (2) 复合函数的求导法则若函数在区域D内解析，函数在区域G内解析，且，则复合函数在区域D内解析，且有(3) 反函数的求导法则若函数在区域D内解析且，又反函数存在且连续，则 例4．求函数的解析性区域及在该区域上的导函数.三. 函数解析的充分必要条件定理1（函数解析的必要条件） 若函数在点可导，则有 . 且=.定理2（函数可导的充要条件） 函数在点可导的充要条件是：二元实函数在点可微，且满足C—R方程： .推论（函数可导的充分条件）函数在点可导的充分条件是：二元实函数在点具有连续的偏导数且满足C—R方程： .例5. 试证：仅在z=0处可导.并求其导数值.例6. 设为全平面上的解析函数，试确定l, m, n的值.例7. 讨论下列函数的可导性及解析性：（1） （2）（3）例8 证明函数在点满足C—R方程，但不可导.例9. 若在区域D内解析，而且则在区域D内恒为常数.参照以上例题可进一步证明: (9) au+bv =常数.§2. 解析函数和调和函数的关系一. 调和函数的概念如果二元实函数在区域D内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯方程 则称为区域D内的调和函数，或说函数在区域D内调和.定理3 若函数在区域D内解析，则其实部及虚部均为区域D内的调和函数.二. 共轭调和函数定义： 若二元实函数及均为区域D内的调和函数，且有 则称为在区域D内的共轭调和函数.问题: 若为在区域D内的共轭调和函数,那么是否为在区域D内的共轭调和函数，为什么？三. 解析函数与调和函数的关系定理4 函数在区域D内解析的充要条件是在区域D内其虚部为实部的共轭调和函数.例10. 验证是调和函数,并求以u(x,y)为实部的解析函数f(z),使之适合f(0)=i.例11. 已知一调和函数求一解析函数f(z)=u+iv使得f(0)=0.例12. 求一解析函数f(z)=u+iv,已知§3. 初等函数一. 指数函数1. 指数函数的定义定义： 设为任意复数，我们用关系式 来定义（复）指数函数.2. 指数函数的性质(1) 定义域：z平面，值域：w平面；(2) ；(3) ;(4) ; 即：指数函数是周期为的周期函数.(5) 不存在；(6) 指数函数在z平面处处解析，且.例14 计算的值.例15. 利用复数的指数表示计算.二. 对数函数1. 对数函数的定义定义： 满足对应法则的函数称为对数函数.记作. 显然，对数函数是指数函数的反函数。

2. 对数函数的性质(1) 定义域：z平面，值域：w平面；(2) 设，则：；即：令：则：(3) 对多值函数，有： ， .(4) 对任意k，在沿负实轴割开的平面内解析，且：.例16. 求Ln(2-3i).三. 幂函数1. 幂函数的定义定义： 规定运算法则 称为（复）幂函数.2. 幂函数的性质(1) 定义域：z平面，值域：w平面；(2) 对于一般的复常数，具有多值性；当时，，为单值函数；当时，，具有n个不同的分支； 当时（p,q互质，q>0），，有q个不同的分支；当为无理数或复数时，有无穷多个不同的分支；(3) 复幂函数的各个分支在沿负实轴割开的平面内解析，且有 例17. 计算.四. 三角函数与反三角函数（一） 三角函数1．三角函数的定义定义： 设z为复数，规定，称为（复）正弦函数；规定， 称为（复）余弦函数；规定，称为（复）正切函数；规定，称为（复）余切函数.2．三角函数的性质(1) 正弦函数、余弦函数的定义域：z平面， 值域：w平面;(2) 正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数；(3) 正弦函数、余弦函数均为周期为的函数；(4) 实三角函数的所有运算公式均适用于复三角函数；(5) 正弦函数、余弦函数在z平面解析，且有： 例18. 试证对任意复数z,有：（二） 反三角函数1． 反三角函数的定义定义： 分别称函数的反函数为反正弦函数和反余弦函数，记作： 2． 反三角函数的性质 (1) 反正弦函数、余弦函数的定义域：z平面， 值域：w平面;(2) 反正弦函数、余弦函数均为多值函数；(3) 反三角函数在z平面的某一区域内解析；3. 反三角函数的表示式例19. 解方程：sinz-cosz=2.五. 双曲函数与反双曲函数（一） 双曲函数1． 双曲函数的定义定义：分别称对应法则：，，为双曲正弦及双曲余弦，记作：2. 双曲函数的性质（1）双曲正弦及双曲余弦的定义域：z平面，值域：w平面;(2)(3) 双曲正弦为奇函数，双曲余弦为偶函数；(4) 双曲正弦及双曲余弦均为周期为的函数；(5) 双曲正弦、双曲余弦在z平面解析，且有： （二）反双曲函数（略）。