高等代数教案(北大版)第一章 多项式.pdf

第一章第一章 多项式多项式 多项式理论是高等代数研究得基本对象之一， 在整个高等代数课程中既相对独立， 又贯 穿其它章节，换句话说，多项式理论得讨论可以不依赖于高等代数得其他内容而自成体系， 却可为其它章节的内容提供范例和理论依据 本章主要讨论多项式的基本概念和基本性质， 包括数域的概念、 一元多项式的定义与运 算规律、整除性、因式分解及根等概念 教学目的：教学目的：通过本章的学习，要使学生了一元多项式及运算、整除、最大公因式、(不) 可约多项式、 重因式等基本概念， 领会因式分解定理的基本内容及复数域和实数域上的因式 分解的具体内容，掌握多项式的最大公因式的求法、因式分解的方法、重因式的求法及有理 系数多项式的可约性的判定 教学重点：教学重点：最大公因式的求法、因式分解定理及其应用 教学难点：教学难点：有理系数多项式 教学方法与手段：教学方法与手段：1. 理论课教学以讲授为主，部分介绍性内容用多媒体 2．习题课以多媒体教学为主 教学内容：教学内容： §1 一元多项式的定义和运算一元多项式的定义和运算 1. 多项式的定义多项式的定义 令 R 是一个数环, 并且 R 含有数 1, 因而 R 含有全体整数。

在这一章里, 凡 是说到数环, 都作这样的约定, 不再每次重复 先讨论 R 上一元多项式 定义定义 1 数环 R 上一个文字 x 的多项式或一元多项式指的是形式表达式 a0+a1x+ a2x2+…+ anxn (1) 这里n是非负整数而a0, a1, a2, …, an都是R中的数 在多项式 (1)中, a0叫做零次项或常数项, a1x叫做一次项, 一般地，aixi叫做 第i次项, ai叫做第i次项的系数 一元多项式常用符号 f(x), g(x), …来表示 2. 相等多项式相等多项式: 定义定义 2 若是数环 R 上两个一元多项式 f(x)和 g(x)有完全相同的项, 或者只 差一些系数为零的项, 那么 f(x)和 g(x)说是相等; f (x)=g(x) 定义定义 3 anxn叫做多项式a0+a1x+ a2x2+…+ anxn, ( an≠0)的最高次项，非负整 数n叫做多项式a0+a1x+…+ an x n, (an ≠0)的次数称an为多项式的首项系数 系数全为零的多项式没有次数, 这个多项式叫做零多项式。

按照定义 2, 零 多项式总可以记为 0以后谈到多项式 f(x)的次数时, 总假定 f(x)≠0 多项式的次数有时就简单地记作∂°(f(x)) 3. 多项式的运算多项式的运算: 设 f(x)= a0+a1x+ a2x2+…+ an xn , g(x)= b0+b1x+ b2x2+…+ b m xm是数环R上两个 多项式，并且设m≤n，多项式f(x)与g(x)的和f(x)+g(x)指的是多项式 (a0+ b0)+(a1+b1)x+(a2+b2)x2+…+(am+bm)xm +(am+1+bm+1)xm+1+…+(an+bn)xn, 这里当 m∂ 0(r1(x)－r(x))＝∂ 0(g(x))＋∂ 0(q(x)－q1(x)) ≥∂ 0(g(x)) 出现矛盾因此必然有r1(x)－r(x)＝0因而q(x)－q1(x)＝0 这就是说，q(x)= q1(x)，r(x)= r1(x)． 我们看到， 对于已给多项式 f(x)和 g(x)来求出 q(x)和 r(x)方法正是中学代数中 多项式除多项式的方法，这种方法叫作带余除法多项式 q(x)和 r(x)分别叫做以 g(x)除 f(x)所得的商式和余式， 性质性质 如果 g(x)=0，则由整除的定义，g(x)只能整除零多项式 0，即是 0|0 如果 g(x)≠0，则 g(x) | f(x)当且仅当以 g(x)除 f(x)所得余式 r(x)=0。

例例1 在a取什么值时，，g(x)=2x+1 能整除f(x)＝2x3＋5x2+ax−1? 提示：1) 带余除法 2) 待定系数法 3) 综合除法 例例 2 设f(x)=an xn+an-1xn-1 +…+ a1x + a0, g(x)＝x−c，求g(x)除f(x)所得商q(x) 和余式r(x)综合除法综合除法) 解：解： 由带余除法定理知，q(x)的次数为 n−1，r(x)为 0 或零次多项式 r 设 q(x)＝bn-1xn-1 +…+ b1x + b0, 则由f(x) =g(x)q(x) +r得 (x−c)( bn-1xn-1 +…+ b1x + b0)+r= an xn+an-1xn-1 +…+ a1x + a0 根据多项式相等的定义，可得 a0=b0, a1=b1−cb0, a2=b2−cb1, … , an−1=b n−1−cb n−2, an=r−cb n−1, 从而 b0 = a0，b1＝a1+cb0 ,b2=a2+cb1, … , bn−1=a n−1+cb n−2, r= an+cb n−1, 可列表如下： 01210120121nnnnnaaaaac cbcbcbcbbbbbr−1−−−? ??例例 判断x+3 能否整除x5＋22x2+40。

系数所在范围对整除性的影响：系数所在范围对整除性的影响： 设 P 和P是两个数域，且 P⊆P(P 的扩域), 则 P [x] ⊆P[x]．因此 P 上的一 个多项式 f(x)也是P上的一个多项式． 设数域P含有数域 P, 而 f(x)和 g(x)是 P[x]的两个多项式．则 在 P[x]里 g(x)| f(x) 当且仅当 在P[x]里 g(x) | f(x)． 证明：证明： 必要性显然必要性显然. 充分性充分性 当 g(x)＝0 时,由于在P[x]里 g(x)|f(x), 所以 f(x)＝0 因此在 P[x]里 g(x)|f(x) 当 g(x) ≠0 时，如果在 P[x]里，g(x)?f(x)，则由带余除法定理，存在 q(x),r(x)使以下等式成立： f(x) =g(x)q(x) +r(x)， 其中 r(x) ≠0．但是 P[x]的多项式 q(x)和 r(x)都是P[x]的多项式，因而在P[x]里， 这一等式仍然成立．即是在P[x]中，g(x)?f(x)，矛盾故当 g(x) ≠0 时，如果在P[x]里，g(x)| f(x) 从而在 P[x]里 g(x)| f(x) 当且仅当 在P[x]里 g(x) | f(x)． §3 多项式的最大公因式多项式的最大公因式 1. f(x)与与 g(x)的最大公因式的最大公因式: 设 P 是一个数域, P[x]是 P 上一元多项式环。

定义定义 1 已知 f(x)、g(x)∈P[x]如果存在ϕ(x)∈P[x]满足ϕ(x)| f(x)且ϕ(x)| g(x), 那么称ϕ(x)为 f(x)与 g(x)的一个公因式公因式 定义定义 2 设 d(x)是 f(x)与 g(x)的一个公因式如果任意ϕ(x)| f(x)且ϕ(x)| g(x),则 能得到ϕ(x)|d(x), 那么 d(x)叫做 f(x)与 g(x)的一个最大公因式最大公因式 性质性质 1 对于多项式 f(x)、g(x)、h(x), 如果存在 q(x)使得 f(x)=g(x)q(x)+h(x), 那么 f(x)、g(x)的公因式与 g(x)、h(x) 的公因式完全相同 定理定理 1 P[x]的任意两个多项式 f(x)与 g(x)一定有最大公因式 除一个零次因 式外, f(x)与 g(x)的最大公因式是唯一确定的, 这就是说, 若是 d(x)是 f(x)与 g(x)的 一个最大公因式, 那么数域 P 的任何一个不为零的数 c 与 d(x)的乘积 cd(x), 而且 只有这样的乘积是 f(x)与 g(x)的最大公因式 证证 若是 f(x)=g(x)=0, 那么根据定义, f(x)与 g(x)的最大公因式就是 0。

假 定 f(x)与 g(x)不都等于零, 比方说, g(x)≠0 运用带余除法, 以 g(x) 除 f(x), 得商 式 q (x)及余式 r (x)如果 r1(x) ≠0, 那么再以 r1(x)除 g(x), 得商式 q (x)及余式 r (x ) 如果 r (x) ≠0, 再以 r (x) 除 r1(x), 如此继续下去, 因为余式的次数每次 降低, 所以作了有限次这种除法后, 必然得出这样一个余式r (x), 它整除前一个余式 r(x) 这样我们得到一串等式: 112222k1−kf(x)=g(x) q1(x)+ r1(x), g(x)= r1(x) q2(x)+ r (x ), 2r1(x)= r (x )q (x)+r (x), 233 ……………………………… (1) r(x)=r(x) q(x)+ r(x), 3−k2−k1−k1−k r(x)= r(x) q (x)+ r (x), 2−k1−kkk r(x)= r (x)q(x) 1−kk1+k 我们说, r (x)就是 f(x)与 g(x)的一个最大公因式 (由性质 1 可得到) k 如果定理的后一论断可由最大公因式的定义以及前一章的性质 1), 6)及 7) 直接推出。

我们不但证明了任意两个多项式都有最大公因式, 并且也获得了实际求出 这样一个最大公因式的一种方法 这种方法叫做辗转相除法 我们也看到, 两个零多项式的最大公因式就是 0, 它是唯一确定的 两个 不全为零的多项式 的最大公因式总是非零多项式, 它们之间只有常数因子的差别 在这一情 形我们约定, 最大公因式指的是最高次项系数是1的那一个 这样, 在任何情形, 两个多项式 f(x)与 g(x)的最大公因式就都唯一确定了我们以后用符号(f(x), g(x)) 来表示这样确定的最大公因式 由于可以用辗转相除法求出两个多项式的最大公因式, 我们还可以得出一 个结果我们知道, 若是数域P含有 P, 那么 P[x]的多项式 f(x)与 g(x)可以看作 P[x] 的多项式 我们有以下事实: 令P是含P的一个数域, d(x)是这两个多项式在P[x]中的最大公因式, 而d(x)是这个多项式在P[x] 中的最大公因式那么 d(x)=d(x) 这就是说, 从数域 P 过渡到数域P时, f(x)与 g(x)的最大公因式没有改变 事实上, 若 f(x)=g(x)=0, 那么d(x)=d(x)=0。

设 f(x)与 g(x)之中至少有一个不等于零不论我们把 f(x)与 g(x)看成 P[x]或 P[x]的多项式, 在我们对这两个多项式施行辗转相除法时, 总得到同一的最后余 式 r (x)因此这样得来的 r (x)既是 f(x)与 g(x)在 P[x]里的也是它们在kkP[x]里的一个最大公因式令 r (x)的首项系数是 c 那么由上面的约定, kd(x)=d(x)=c1r (x) k注注 最大公因式不因所在数域而改变 例例1 令P是有理数域，求P[x]的多项式f(x)=x4−2x3−4x2+4x−3，g(x)= 2x3−5x2−4x+3 的最大公因式 把 f(x)先乘以 2, 再用 g(x)来除: x + 1 2 2x4−4x3−8x2+8x−6 2x3−5x2−4x+3 2x4−5x3−4x2+3x x3−4x2+5x−6 x3−52x2−2x+3 2 −32x2+7x−9 2 例例 2 令P是有理域． 求出P[x]的最大公因式f(x)=4x −2x −16x +5x+9， g(x)= 2x4323−x2−5x+4 的最大公因式d(x)以及满足等式(2)的多项式u(x)与v(x)． 对 f(x)与 g(x)施行辗转相除法．但是现在不允许用一个零次多项。