反常积分的敛散性判定方法.doc

内蒙古财经大学本科年论文反常积分敛散性的鉴定措施作　　 　者　 陈志强 　 　 　 学 　 院 　记录与数学学院 　 　 专 业 　数学与应用数学　 　 　　年 级 级 　 　 　 学　 号 　　 　 指引教师　　魏运 　　　　　 　 　导师职称 专家 　 　 　 最后成绩 75分 　　 　 　 　 　　　 　 　 　　 　目 录摘要 ……………………………………………….．…….….……………..１核心词………………………………………………..……．….…………..１ 　 引言-－---------－－－－－-－-－--------------－------－----－----－-－--－---－--－---------－-－－-－--------－2一、预备知识…………………………．.…….…．……………. 2 　 　 　 1.无穷限反常积分…………………………..…….….……………．.2 　　 　 2.瑕积分……………………..……．…．…………33.反常积分的性质……………………..…….…．…………3二、反常积分的收敛鉴别法………………………………..……．….………4 　 　1无穷积分的收敛鉴别……………………..…….….……………４(１）．定义鉴别法…………………..…….….……………..……4 　(２).比较鉴别法…………………．.……．….…………….．……4 　 　 　　(3）.柯西鉴别法…………………．.…….….……………．．……5　　　　 　　 　 （4)阿贝尔鉴别法．…………………..…….….…………….　 6　 　 　 　 (5).狄利克雷鉴别法…………………．.…….….……………7 2瑕积分的收敛鉴别…………………..…….….……………． …．…８ 　　　(1）．定义鉴别法…………………．.…….….……………．.……8 　　 (2）.定理鉴别法……………………………..……．….……………..９ 　 　（３)．比较鉴别法…………………………………..…….….…………9　　　 　　(4）.柯西鉴别法……………………………．.…….…．……………9 （５).阿贝尔鉴别法……………………………．.…….…．………．10 　 （6).狄利克雷鉴别法……………………..…….…．…………….10参照文献………………………………………………..…….…．……… １1 　 　 　 　　　 　 　 　　 　 　　　　 　 　 　 　 　 　 摘要 　　 在诸多实际问题中，要突破积分区间的有穷性和被积函数的有界性,由此得到了定积分的两种形式的推广:无穷限反常积分和瑕积分。

我们将这两种积分统称为反常积分由于反常积分波及到一种收敛问题,因此反常积分的敛散性鉴定就显得非常重要了本文将对反常积分的敛散性鉴定进行归纳总结,并给出了有关定理的证明,举例阐明其应用，这样将有助于我们灵活的运用多种等价定理判断反常积分的敛散性核心词:反常积分 瑕积分　 极限 敛散性 　 　 　 　 引言近些年以来，某些数学工作者对反常积分敛散性的鉴别措施做了研究并获得了许多重要的进展如华东师范大学数学系编，数学分析(上册）,对反常积分积分的定义,性质的运用及讲义其鉴别收敛性的措施华中科技大学出版的数学分析理论措施与技巧,也对反常积分敛散性鉴别做了具体的解说，还用图形的措施阐明其意义引申出反常积分敛散性的等价定义，并通过例题阐明其应用众多学者研究的内容全而广,实用性很高，特别是在研究敛散性的鉴别很明显,这对我现所研究的论文题目提供了大量的理论根据和参照文献，对我完毕本次论文有很大的协助，但绝大多数文献只是对其一种措施进行研究,而本文将对其进行归纳总结,举例阐明其应用一 、 预备知识1.无穷限反常积分定义１.1设函数在[ａ，＋∞）有定义,若在[ａ,Ａ]上可积（Ａ>a)且当A→＋∞时, 存在,称反常积分 收敛，否则称反常积分　与发散。

对反常积分与注意:只有当和都收敛时,才觉得是收敛的２．.瑕积分定义1：设f(x)在a的任何邻域内均无界,则称ａ为f(x)的一种瑕点定义2:设ｆ(ｘ)在内有定义，且ｂ为唯一瑕点，若存在,称瑕积分收敛定义３：设C且为f（x）的一种瑕点,若和均收敛,则称瑕积分3.反常积分的性质(1)Ｃaucｈy收敛原理:收敛>０,>a,当＞>时,有＜(2)线性性质:若与都收敛,则对任意常数，也收敛,且有=（3)积分区间可加性，若收敛,则b,=.(4)若收敛,则≤二、 反常积分的敛散性鉴别法1.无穷积分的敛散性鉴别 （1）定义鉴别法设函数定义在无穷区间上,且在任何有限区间上可积．如果存在极限 　 　　 ,则称收敛,否则发散，即相应定积分的极限存在广义积分收敛，定积分的极限不存在广义积分发散例1.1计算无穷积分 （是常数，且）解：式中 　 (２).比较鉴别法的一般形式：在有定义,且（a）<<（b)=+＝+例1.2 讨论的收敛性 　 解：由于　,　由于为收敛，因此根据比较鉴别法为绝对收敛3）.比较鉴别法的极限形式：在有定义，且非负,且则: （a)当<<　 (b)= 　(c）<<时,，具有相似点敛散性。

　 证：(1)若,由极限的性质,存在常数A（A＞a)使得当时成立　 　 　 　 　即 　 于是由比较鉴别法，当收敛时也收敛 　 　 　　(2）若,由极限的性质，存在常数A（A)，使得当时成立 　 　 其中０于是由比较鉴别法,当发散时也发散 　 例　1.3 讨论的敛散性　　 解：,而收敛,因此收敛　 总结：使用比较鉴别法,需要一种敛散性鉴别结论明确，同步又形成简朴的函数作为比较对象，在上面的例子中我们都是取为比较对象的，由于它们正好能满足这俩个条件 　 （４).柯西鉴别法： 设在有定义，在任何有限区间上可积,且则有:当时，收敛当,时，发散　 (5)．阿贝尔鉴别法：满足： 　　　(a)单调有界 　 (b)收敛 　则收敛证:由于存在M>0,使 再由(2）可知，>０,,当时,有<又=（＋）=2 再次由柯西准则知Aｂｅl定理成立例1.4 证 (0<)收敛运用阿贝尔鉴别法,由于收敛,又在上单调有界，故是收敛的(６). Dirｉcｈlet鉴别法:满足 　 (１)ｆ(x）单调且趋于０(x0) （2)有界（a>A） 　 　则收敛。

证：由于存在M＞0，有界,因此有又由于f(ｘ)0(x）故对＞0，,当时,有即,,因此同理有，故当时,有 例1.5 证积分收敛，但不绝对收敛证：，而单调且当时趋于0,故由Diriｃhlｅｔ鉴别法知收敛;但= 　而,单调趋于0，故收敛,而发散,故发散例1.６ 积分的敛散性 　 当时是可积的；当时,它是不可积的，由于这时被积函数在上无界但作为反常积分，当时收敛;当时发散；由于当时有 而当时有例1.７　　积分作为反常积分，当时它收敛；当时它发散这是由于当时有而当ｐ=-1时有2.　瑕积分的收敛鉴别 （1)定义鉴别法设函数定义在无穷区间上,在点ａ的任一右邻域上无界，但在任何内闭区间有限区间上有界且可积.如果存在极限　 　 　,则称反常积分收敛.，否则发散例2．1计算瑕积分的值解：被积函数在上持续，从而在任何上可积，为其瑕点.依定义求得 　 　 （２)定理鉴别法(柯西收敛原理） 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　　　 　 　 　　 　 　 　　　 　　 　 　　瑕积分（瑕点为a)收敛的充要条件是:任给,存在，只要总有＝０< (３）.比较法则 　 设f（x)定义于，a为其瑕点，且在任何上可积，如果 　当时，收敛 当，时，发散　 （4）.柯西鉴别法 设x＝a是ｆ（x)的瑕点,如果　那么绝对收敛；如果那么发散 例2.2 讨论的敛散性（)　 解:x=0是其唯一奇点。

　 　 　　当时，取，则，由柯西鉴别法知，收敛　 　 类似的, 当时，取，则由柯西鉴别法知，发散 当 　时,可以直接用Ｎewton-leibｎｉz公式得到因此,当时，反常积分收当敛;当时,反常积分发散 　　 　 　 (5).阿贝尔鉴别法　 　　设f(x)在x=ａ有奇点,收敛,ｇ(x）单调有界，那么积分收敛 　 　 (6).狄利克雷鉴别法　　 　 　 设ｆ（x)在x=a有奇点, 是的有界函数,ｇ(x)单调且当xa时趋于零,那么积分例2.3 讨论积分的收敛情形 　 　当时,，积分绝对收敛，又 　　 　　 　 　　 当即时,由狄利克雷鉴别法,从单调趋向于零()推知积分收敛.当时，因此积分发散参照文献【１】欧阳光中,《　数学分析　》第三版下册,高等教育出版社【2】陈纪修,《 数学分析 》第二版下册，高等教育出版社【3】陈天权，《 数学分析讲义 》第一册，北京大学出版社【4】中国科学院，《 数学分析习题详解 》第二版上册,吉林大学出版社【５】华东师范大学数学系,《 数学分析 》第四版下册,高等教育出版社 。