反比例函数经典题型.doc
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反比例函数一、经典内容解析1.反比例函数的概念 (1) (k≠0)可以写成(k≠0)的形式，注意自变量x的指数为-1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k≠0这一限制条件； (2) (k≠0)也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； (3) 反比例函数的自变量x≠0，故函数图象与x轴、y轴无交点.解析式（k为常数，且）自变量取值范围的实数图象图象的性质双曲线示意图位置两个分支分别位于一、三象限两个分支分别位于二、四象限变化趋势在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大对称性是轴对称图形，直线是它的两条对称轴是中心对称图形，对称中心为坐标原点3.反比例函数的性质(与正比例函数对比) 函数解析式正比例函数 y=kx (k≠0)反比例函数 (k≠0)自变量的 取值范围全体实数x≠0图 象直线，经过原点双曲线，与坐标轴没有交点图象位置 (性 质)当k＞0时，图象经过一、三象限； 当k＜0时，图象经过二、四象限.当k＞0时，图象的两支分别位于一、三象限； 当k＜0时，图象的两支分别位于二、四象限.性 质(1) 当k＞0时，y随x的增大而增大； 当k＜0时，y随x的增大而减小. (2) 越大，图象越靠近y轴.(1) 当k＞0时，在每个象限内y随x的增大而减小； 当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大. (2) 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直.注： (1) 双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论. (2) 正比例函数与反比例函数， 当时，两图象没有交点； 当时，两图象必有两个交点， 且这两个交点关于原点成中心对称. (3) 反比例函数与一次函数的联系.4.反比例函数中比例系数k的几何意义 (1)过双曲线(k≠0) 上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为. (2)过双曲线(k≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为 二、典型例题分析1.反比例函数定义【例1】如果函数的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么k的值是多少？1.反比例函数的图像位于（ ）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限2.若双曲线y＝－经过点A（m，－2m），则m的值为（ ）A. B. 3 C. ± D. ±33.已知某反比例函数的图象经过点（m，n），则它一定也经过点（ ）A. （m，－n） B. （n，m） C. （－m，n） D. （︱m︱，︱n︱）4．（2007陕西）在的三个顶点中，可能在反比例函数的图象上的点是 ．5.若点P（4，m）关于y轴对称的点在反比例函y= （x≠0）的图象上，则m的值是 -22.反比例函数的表示【例2】已知，成正比例，成反比例，且1.若与成反比例，与成正比例，则是的（ ）A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数 D、不能确定2．已知与成反比例关系，且当时，， 则关于的函数解析式为 3．已知y1与x成正比例（比例系数为k1），y2与x成反比例（比例系数为k2），若函数 的图象经过点（1，2），（2，），则 ．3.反比例函数的增减性问题. 【例3】在反比例函数的图像上有三点，，，，， 。
若则下列各式正确的是（ ）A． B． C． D．1．在反比例函数图象上有两点A(，)，B()，当时，有，则m的取值范围是( ). A．m＜0 B．m＞0 C．m＜0.5 D．m＞0.5 2：已知反比例函数的图象上两点A(，)，B(，)，当时，有，则m的取值范围是_________. 3：若反比例函数上，有三点A(，)，B(，)，C(，)，且，则，，的大小关系是________.4.设有反比例函数，、为其图象上的两点，若时，，则的取值范围是___________4.反比例函数与图象的面积问题.(1)求函数解析式 1．如图，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形 PEOF的面积为3.求这个反函数的解析式. 2.（2007山东枣庄）反比例函数的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果S△MON＝2，则k的值为（ ） (A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4(2)求图形面积的问题 1.图中正比例函数和反比例函数的图象相交于A、B两点，分别以A、B两点为圆心，画与y轴相切的两个圆，若点 A的坐标为(1，2)，求图中两个阴影面积的和. (3)求特殊点组成图形的面积 1．如图，反比例函数y=与一次函数y=-x+2的图象相交于A、B两点. (1)求A、B两点的坐标； (2)求△AOB的面积. 5.的几何意义及应用1．点P为反比例函数图象上一点，如图，若阴影部分的面积是12个（平方单位），则解析式为 2．如图，反比例函数的图象与直线相交于A、B 两点，AC∥轴，BC∥轴，则△ABC的面积等于 个面积单位. ABCEOFxy(第3题图)CBA(第2题图)O3．如图，已知双曲线(x＞0)经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k＝______________。
6.反比例函数和一次函数的综合 例1．函数y=与 y=mx-m(m≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) 1. 已知反比例函数y＝ （k≠0），当x＜0时，y随x的增大而增大，那么一次函数y＝kx－k的图象经过（ ）A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限2. 已知一次函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数y＝的图象在（ ）A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限D. 第二、四象限3．在同一坐标系中，函数和的图像大致是 （ ）A B C D4.（2007浙江宁波）如图，是一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图像，则关于x的方程kx+b=的解为( ) (A)xl=1，x2=2 (B)xl=-2，x2=-1 (C)xl=1，x2=-2 (D)xl=2，x2=-1 5. 已知反比例函数y＝ （k≠0），当x＜0时，y随x的增大而增大，那么一次函数y＝kx－k的图象经过（ ）A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限6.（2007湖北潜江）如图，反比例函数的图象与直线相交于B两点，AC∥轴，BC∥轴，则△ABC的面积等于 个面积单位. 例2．如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点. (1) 求此反比例函数和一次函数的解析式； (2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围. 解：(1) ∵ 点A(-4，2)和点B(n，-4)都在反比例函数y=的图象上， ∴解得 又由点A(-4，2)和点B(2，-4)都在一次函数y=kx+b的图象上， ∴解得 ∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为y=-x-2. (2) x的取值范围是x＞2或-4＜x＜0 . 例3．直线y=k1x+b与双曲线y=只有—个交点A(1，2)，且与x轴、y轴分别交于B，C 两点，AD垂直平分OB，垂足为D，求直线、双曲线的解析式. 解：∵点A(1，2)在上 ∴， ∴ ∴双曲线的解析式为 ∵AD垂直平分OB， ∴OD=1，OB=2 ∴B(2，0) ∵A(1，2)，B(2，0)在直线上 ∴ 解得 ∴直线解析式为. 例4．如图，已知直线与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标为4. (1)求k的值； (2)若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积； 解：(1)∵点A横坐标为4， ∴当= 4时，=2. ∴ 点A的坐标为(4，2). ∵ 点A是直线与双曲线的交点， ∴ k=4×2=8. (2)解法一：如图， ∵ 点C在双曲线上，当=8时，=1 ∴ 点C的坐标为(1，8). 过点A、C分别做轴、轴的垂线，垂足为M、N， 得矩形DMON . S矩形ONDM=32，S△ONC=4，S△CDA=9，S△OAM=4. S△AOC=S矩形ONDM-S△ONC-S△CDA-S△OAM=32-4-9-4=15. 解法二：如图， 过点C、A分别做轴的垂线，垂足为E、F， ∵ 点C在双曲线上，当= 8时，=1. ∴ 点C的坐标为(1，8). ∵ 点C、A都在双曲线上， ∴ S△COE = S△AOF=4. ∴ S△COE+S梯形CEFA=S△COA+S△AOF. ∴ S△COA=S梯形CEFA. ∵ S梯形CEFA =×(2+8)×3=15， ∴ S△COA=15.7.反比例函数图象上、下平移；关于坐标轴对称；关于坐标原点中心对称；绕原点顺（逆）时针旋转后的解析式 1．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，若已知一个交点为A（2，1），则另一个交点B的坐标为（ ）A. （2，－1） B.（－2，－1） C. （－1，－2） D. （1，2）2．反比例函数的图象经过点，将其图象向上平移2个单位后，得到的图象所对应的函数解析式为 3．若将反比例函数的图象绕原点O逆时针旋转后经过点A（-2，3），则反比例函数的解析式为： 8.反比例函数与一次函数、方程、不等式的综合问题xyyyyxxxABCD1．已知k1＜0＜k2，则函数y＝k1x和的图象大致是（ ）． （第24题图）2．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线（x<0）分别交于点C。
