全等三角形中的截长补短-学生版.doc

第九讲全等三角形中的截长补短中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求全等三角形的性质及判定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．例题精讲板块一、截长补短【例1】 (年北京中考题)已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明． 　　【例2】 如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?【例3】 如图2-9所示．已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE．【例4】 (“希望杯”竞赛试题)如图，AD⊥AB，CB⊥AB，DM=CM=，AD=，CB=，∠AMD=75°，∠BMC=45°，则AB的长为 ( )A. B. C. D. 【例5】 已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE. 【例6】 以的、为边向三角形外作等边、，连结、相交于点．求证：平分． 【例7】 (北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题)如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长． 【例8】 如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．【巩固】(全国数学联合竞赛试题) 如图所示，在中，，是底边上的一点，是线段 上的一点，且，求证. 【例9】 五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE 【巩固】(2009浙江湖州)若为所在平面上一点，且，则点叫做 的费马点．⑴ 若点为锐角的费马点，且，，则的值为________；⑵ 如图，在锐角外侧作等边，连结．求证：过的费马点，且．板块二、全等与角度【例10】 如图，在中，，是的平分线，且，求的度数. 【例11】 在等腰中，，顶角，在边上取点，使，求. 【例12】 (“勤奋杯”数学邀请赛试题) 如图所示，在中，，，又在上，在上，且满足，，求. 【例13】 在四边形中，已知，，，，求的度数. 【例14】 (日本算术奥林匹克试题) 如图所示，在四边形中，，，，，求的度数. 【例15】 (河南省数学竞赛试题) 在正内取一点，使，在外取一点，使，且，求. 【例16】 (北京市数学竞赛试题) 如图所示，在中，，为内一点，使得，，求的度数. 【巩固】如图所示，在中，已知，，为三角形内一点，且，，求的度数. 家庭作业【习题1】点M，N在等边三角形ABC的AB边上运动，BD=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°，求证MN=MB+NC． 　　　　　【习题2】(南斯拉夫数学奥林匹克试题，黄冈市数学竞赛试题) 在内取一点，使得，.设，，求. 2011年·暑假 初二数学·第9讲·学生版 page 6 of 8 。