高中数学：四大类弦长公式（2022年整理）.pdf

1 高中数学中的四大类弦长公式 一、平面直角坐标中的全场通用弦长公式 1、已知两点坐标：()11, yxA，()22, yxB，则()()221221yyxxAB+= 2、已知直线上两点：若()11, yxA，()22, yxB两点在直线bkxy+=（直线的斜率存在并且不为 0）上，则 akxxkAB+=+=221211（,21xx是02=+cbxax的两根和判别式） akyykAB+=+=22121111（,21yy是02=+cbyay的两根和判别式） 注：以上公式适用于直线与曲线相交，将直线与曲线联立但不易求出交点坐标注：以上公式适用于直线与曲线相交，将直线与曲线联立但不易求出交点坐标 时，采用时，采用设而不求设而不求思想的解决弦长问题，以上公式的证明会用到韦达定理）思想的解决弦长问题，以上公式的证明会用到韦达定理） 二、平面直角坐标中特殊曲线（例如：圆，抛物线，椭圆）中的弦长公式 1、直线0:=+CByAxl与圆()()222:rbyaxM=+相交于BA,，则 222drAB=（其中22BACBbAad+=为圆心),(baM到直线l的距离） 注：此公式证明需用垂径定理注：此公式证明需用垂径定理 2、抛物线中的焦点弦弦长公式，过抛物线交点F直线l与抛物线相交的弦长,BFAFAB+= 221sin2pxxpAB=+=（其中抛物线开口向右，方程为pxy22=） 2 )(21xxpAB+=（其中抛物线开口向左，方程为pxy22=） 21yypAB+=（其中抛物线开口向上，方程为pyx22=） )(21yypAB+=（其中抛物线开口向下，方程为pyx22=） 注：此公式的证明需用到抛物线的定义和焦半径公式. 3、椭圆中的焦点弦的弦长公式,BFAFAB+= 过椭圆)0( 12222=+babyax的左焦点)0 ,(1cF 的直线l与椭圆相交于 ()11, yxA，()22, yxB两点，则()212xxeaAB+=. 过椭圆)0( 12222=+babyax的左焦点)0 ,(2cF的直线l与椭圆相交于 ()11, yxA，()22, yxB两点，则()212xxeaAB+=. 过椭圆)0( 12222=+babxay的左焦点)0(1cF，的直线l与椭圆相交于 ()11, yxA，()22, yxB两点，则()212yyeaAB+=. 过椭圆)0( 12222=+babyax的左焦点), 0(2cF的直线l与椭圆相交于 ()11, yxA，()22, yxB两点，则()212yyeaAB+=. 注：此公式的证明需用到椭圆的第二定义和焦半径公式注：此公式的证明需用到椭圆的第二定义和焦半径公式. . 三、直线标准参数方程下的弦长公式 过定点),(00yxP，倾斜角为的直线l的参数方程 +=+=sincos00tyytxx (t为参数). 参数t的几何意义为： t为直线上任一点( , )x y到定点00(,)xy的数量；即：直线l上的动点()()sin,cos,00tytxMyxM+=到点),(00yxP的距离等于t. 3 设点设点BA、对应的参数分别为对应的参数分别为,21tt则有：则有： 2121,ttABtPBtPA= AB中点M对应的参数为221tt +，则.221ttPM+= 证明：A对应的参数分别为1t ()sin,cos1010tytxA+, ()()()()1212120102010sincossincostttytyxtxPA=+=+= 同理2tPB =,21ttAB= 还有一些可能会用到的公式,他们都可通过以上两个结论+绝对值的运算而得： 例如： +=+=+0,0,2121212121t tttt tttttPBPA; +=0,0,2121212121t tttt tttttPBPA 若AB的中点为P,则021=+tt. （AB中点对应的参数为221tt +,P对应的参数为 0） 过定点),(00yxP的直线l的参数方程也可表示为:+=+=btyyatxx00 (ba,是常数,t为参数). 设点NM、对应的参数分别为21,tt,即()()20201010,btyatxNbtyatxM+则有： 122tbaPM+=，222tbaPN+=，()2122t tbaPNPM+= AbattbaMN+=+=222122（其中21,tt是方程02=+CBtAt的两根） 4 +=+=+0,0,2121212121t tttt tttttPNPM; +=+=0,0,2121222121222122t tttbat tttbattbaPNPM 若MN的中点为P,则021=+tt. （MN中点对应的参数为221tt +,P对应的参数为 0） 四、极坐标系中的弦长公式：()()2211,BA 若21=，则21=AB 若21，则()21212221cos2+=AB，()2121sin21=OABS 。