物理奥林匹克物理竞赛—相对论习题选编50题.pdf

8 狭义相对论·8=1 在惯性系s 中观察到两事件同时发生,空间间距为 ⒈m 惯性系Sr 沿两事件联线的方向相对于s 系运动,在s ′系中观察到两 事件之间的距离为3盂试求Sr 糸相对s .系的速度大小和在y 系中测得的两事件之间的时间间隔组解由洛伦兹变换得即犁 寻S系:∶九=劫;¨幼⊥J0±1血,s ′系: 莎:,呓; 犭—ε;=3m 幻 ^ j r 2 =(ε—ε2)±v (莎l 一莎2)_GTl 一砀 √1—〃 √t =7’解 得艹| v 亠 y 系中两事件之间.的时间间隔为 :Ⅱ ∶ ∷· 仁 坠△ 莘 =△乒 ←呓=±吖歼 8-2 如图B-1所示,在相对地面沿水平方向苡匀速度v 高速运动的车厢内,有一个由劲度系数为尼的轻弹簧和质量为锡的小物块 构成的水平弹簧振子小物块从平衡位置开始,以刃∥v 的初速度在车厢内形成无摩擦的往返运动,设钐 《o ,车厢中仍可用牛顿力学将 振子的运动处理成简谐振动试用洛伦兹时空变换,在地面系中计算振子在车厢中第一个四分之 图 s -1'ⅡⅡ ˉ9卩口,1Π!{⊥振动周期内的运动过程经历的时间△ 莎1和第一个二分之一周期内的运动过程中经历的时间△ 莎2。

解 车厢系中小物块在平衡位置的坐标设 为J:± 0,开始运动的时刻记为吒=0;经过四分之一振动周 期小物块到达的位置以=√≡钐,时刻为砹=号撸;丛过二分之一搌葫周期小物直到淬坤位置说=斌⊥⒐时刻克 呓7捂这三个点事件在地面系的时/Pl l /,别记为九≡j 0,莎1=AJ1,莎2=A=2据洛伦兹时空变换式,可得-莎:⊥莎:’| 量('∶—斌)8 狭义相对:论283△莎1=莎1—JO丁号 √ 管+量√ 管切9(莎:丁莎:)+量CJ∶T斌)△莎2=Jz —JO= ∷ ∷干i 撸ⅡⅡi | ÷?∵∷ ∷ ∴8-3 在以恒定速度:v 沿平直轨道高速行驶的车厢中央有工旅客,已知他到车厢两端⒕和B的距离都是L今旅客点燃ˉ根火柴,光脉冲向各个方向传播,并到达车厢两端⒕和B∶设沿着车厢行驶方向,且端在前,B端在后,试在地面系用洛伦兹变换式计算光脉冲到达 且,B的时差AJ:A=莎^—莎:以 及光脉冲到达 且端时车厢B端 和^端之间的距离J:n .解 车厢系中旅客所在位置取为J∶=0,点 燃火柴时刻记为洗=o ,此时旅客在地面系中的位置记为J0,时刻也记为九=0车厢系中,荔=L0,J1=—L光脉冲到达^,B端时刻苡=莎1=L。

/⒍ 地面系中光脉冲到达且,B端时刻分别为` =÷’284力学习题与解答其间时差i 1+量J^ 1+` 鱼卩=黑l ∶犷 = c ,c日L` `吃+量J: 1_卩乙犷 = c ,~ 2卩 LAJM=‰一 莎:干ε ∷ 地面系在上述:莎i 时刻光脉冲到达4端,此时4端、B端在地面 系的坐标分别记为ε⒕,J:·据洛伦兹变换式,有ε ^丁叨 ^ ` √ΓΓ7’J:=J^~ J:=ˇΓ7,JM=J⒕_ε:=√t △∶卩2(J厶△ε么)=ˇt T丁〃 ` 2LO8-4 地面中的水平隧道^B长LO,一列火车∠′Br 静长 L>L 今使火车如图g ~ 2所示,以匀速度v 高速驶入隧道,地面系中观察到 刀与且相遇时恰好B′与B相遇试据洛伦兹变换式计算v 值,并在9l J车系中计算从 ⒕,刀相遇到B,Br 棍遇之间经过的时间AJ′.∴ ∴ 解:∷地面系中且与 且′相遇 的空时坐标记为劫,莎^,J与刀 相谭的窑时芈标记为J:,莎:△莎^,且有f ^△劫=LⅡ 火车系中这两个事件的空时坐标记为J么,骇和J1,吃, 变垠式,有 :(J^丁JB)工吖莎 ^—莎:)J^ =￠:ˉ-V莎^ √1—〃:∶B : ∴ ^图 s -空∷∷且有磁∵湍干厶据洛伦兹T .卩·子,得即有J^T·￡B| 丁得’°’呷叮甲叩砥18` 狭义相对论285=J^ˉJB=L0,据洛伦兹变换式,有(莎:—犭)莎2 — 莎1===z , 口艹即Lο丁口=(Ⅱ一 讠 冫+予(=n ∷εj )即珲 事山′ =8-5 静长同为LO的两把直尺 姓B,Ar Br 沿长度方向相向而行,速度为v ,如图g ~ 3所示。

试据洛伦兹变换式在直尺 ⒕B系中计算两尺相擦而过(从⒕′与B相遇到B′与∠相遇)所经时间AJLο〓 ∥'' 几 旦'Ar ′解 Ar 与B相遇事件在⒕B系和^′B′系中的空时坐标分别记为J:,莎1和碱?说,B∴与^相遇事件在^B系和⒕′B′系中的空时坐标分别记为1^,彦2和J1,j ∶,且有ˉ∵冖∵口B LO ^图 s -3J厶—J1±LO,+量(ε1—J加(莎:—莎:)—量L , 卩=√1—万Ξ(莎2—莎1)一量(J^—f :)C2—莎l )—量Lυ一c莎2 莎l ±可解得力学习题与解答AJ÷Jz L莎l =呓—犭=—硕~ 〃),即珲 扌AJ=莎2—莎1=(1+Vt IΓ卩2)鱼 · △ , V8-6 一粒子在i s ∴系的/y 平面内以号的恒定速度作直线运动, 运动方向与/轴的夹角 '⊥o o ℃岜知s ′系相对s 系以速度0=o Gc 沿J轴运动,丬据洛伦兹变换式求出粒丁在s 系Ty 平面上的运动 轨迹,若为直线,再求出此直线的斜率解 粒子在y 系中的运动方程为 :Jr ±锈廴o s 卩,y 丁管s h 卩, 据洛伦兹变换式,宥''⊥(℃~ 〃∶∶+ ∷ /={ 莎T纠/ ,联 立 上 述 诸 式,可得艹号“s 卩{ 卜爿十 叱j 丁争h g { 矽一剀/ ,¨¨ ˉ计算后,即得粒子在。

TD/平面上的运动方程: J==0.74c 莎, y 〓=o .30c 莎, 运动轨迹方程为 ˉ15y =而J’是一条直线,其斜率为t a n 汐=捃=0405σ=22°)s -7 S系中有一静止时各边长为四的正方形面板,如图g ~ 4所示今使面板沿其对角线方向匀速运动,速度大小为v 某学生将v 沿面板静止时的两条直角边方向分解,每一个方向上的分速度大小( // L 旦c2y ∶=y ,弘一‘〓 `冖”∵Γq r ˉ∶Ⅱ 甄8=狭义相对论287均为∥=z ,/√2考虑到每一直角边的长度收缩,他认为S系中运动面板的形状将如图B-5所示,是一个各边长为四I=汀〃%(〃= ∥/c )的正方形图 S-4 图 B-5试分析地判定该学生的结论是否王确,并给出运动面板的正确形状及各边长度和面积 ∶△ ∶解 该学生的结论不正确,因为运动物体沿运动方向上线度的 收缩不可分解为沿分运动方向的线度收缩∷ ∵、 动面板的置确形状如图 S-0所不,与运动方向垂直的对角线 BD长度仍为√丁a ,洛运动方 向的对角续垒c 苌度将歧缩为√丁四,其中` ≡v /c .运动面板成菱形,各边长为=鲁拄孔菱形面积为=古丽·丽≡÷沔四·√ Γ7·√ 丁 色∷ =√t 习%2, ∴∷ ∶ 。

∷可见诨动面板的面积确实收缩为静止面积的 倍,∴ 卩△∷下介子静止时的平均寿命为?:5×10ˉ ` ,在实验室巾测得 π介子的平均运动距离为375m ,试求π介子相对实验室的速度解 π介子运动时的平均寿命T与静止时的平均寿命 幻以及运动速度∷ 矽的关系为/刂刂●λ\)、J// \ \图 B-6288力学习题与解答∵ ∷ ∵∴r =r /√1亠〃,∶卩≡v /J, 它的平均运动距离为 ∵J=v r =v r / ,由此可解得v =黄/=2?9994×10:∶m /s ∶=0.999Sc 8-9 静长为J的飞船以恒定速度v 相对惯性系S运动,某时刻从飞船头部发出无线电信号,试问飞船观察者认为信号经过多长时间到达飞船尾部?再问s 系∷中的观察者认为信号经赶多长莳洵到达 飞船尾部? ⋯解∵飞船观察者认为信号经∵ ∷∷ ∶1∷∷∷¨ ∷∶ △ 莎′=J/C ∶ ∷ ∴∷ ∶ ∶ ∷时间,到达飞船∷尾鄞j s | 系申的观察者认为飞船动长为 J,无 线电信号相对飞船尾部的传播速度为c +v ,信号经 ∷ ∷ ~∷叶 ” △∷∷时间,到达飞船尾部,需要注意的是AJ′≠~ t =卩2AJ,∵ 因为AJ′是飞船系中两个观察者合作测得的时间间隔。

同样需要注 意,AJ≠雨 一砰幻` , ∴因为AJ是s 系中两个观察者合:作测得的时间间隔 s -10 一艘宇宙飞船以0Sc 的速度于中午飞经地球,此时飞船 上和地球上的观察者都把自己的时钟拨到12点 (1)按飞船上的时钟于午后 12点SO分飞船飞i 经工星陈宇航站,该站相对地球固定,其时钟指示的是地球时:向,试问按宇航站的 时钟飞船何时到达该站? ∷∷ (2)试问按地球上的坐标测量,宇航站离地球多远? (3)于飞船时间午后 12点30f 队飞船向地球发送无线电信{ 彝} 2I「Iη8∷狭义相对论289号,试问地球上的观察者何时(按地球时间)接收到信号? (O若地球上的观察者在接收到信号后立即发出应答信号,试问飞船何时(按飞船时间)接收到应答信号? Ⅱ∴ Ⅲ j湃 (1)飞船曰得的%=30m i n 为本征时间,据运动时钟计时率变慢公式,可得圪扌系Ⅱ得的时间间隔为 ∷ r =%/ =50m i n ,即宇航站时钟读效为12点 s O分时,飞船到达该站 ·(2)地球系测得宇航站与地扌相垣 J=v r =7.2×10I1m 。

(3)对地球观察者来说,无线电信号发 自宇肮站所在地,故传至地球需时 ˉ jJ/c =40m i n 飞船飞行时间加信号传播时间,共计(50+40)血i n ,因此地球观察者于1点30分接收到信号Ⅱ ∶ ∷∷ Ⅱ Ⅱ(4)有两种解法:方法工:从地球参考索∷来考綮 设飞船南地∷球发出倍害圭接歧 到地球应答信号共需时间(地球时间)莎,在这段时间内飞船信号传播了J距离,应答信号传播了J+0Sc ·莎 距离,故有 ∷ ∶ . 莎=⒐⒏ 莎+Ξ=晶≡十OO血⒒将上述时间变换到飞船系,对应的飞船时间(本征时间)为 /=硕一〃莎=2吐0m i n ,考虑到飞船发信号时刻为12点30分,故飞船于 午后4点 30分 ∷ 按收到应答信号 ∷ ∷ ∷方法二:从飞船参考系来考察飞船系认为发出的信号需经时AJ′=√1—万ΞJ/0—o g c )≡i 空o m h ∶ ∴∷∷方被地球接收,地球应答信号也需经时Δ '被飞船接收,共计经时∷ ∶莎′≡=2n σ` ==240r n i n = ∶与第一种解法结果相同js -Ⅱ 在某惯性系的△个平面上有两条相距H的平行直线,另290力学习题与解答有一静长为 凡≡n PH)H的细扦。

今使细扦在该平面上作匀速运动, 速度o ∴的方l 向:与两直线平行9细扦与平行直线夹角为矽;萜细杆恰好能在这两条平行直线之间运动,即细扦两个端点分别靠近两条平行直线;如图s -7所示 (D若α为定值,试求 ￠ 与v 之间的函数关系; (2)确定 ￠的极小值 鲡n 和极大值 旒x 图 s -7L'图 8-8 解 (1)对运动细杆,参照图g ~ 8,有 ∷L⊥=H, L∥=H c o t ￠ 考虑到运动方向的长度收缩,L∥的静长应为乃 ∥ 0肀山 ∥/√1_〃=.H∞t ￠/ , 细杆静长为 .卩=v /⒍j F∶氵 「 ,L⊥(L1+L:∥)吉:={ i +因LαH,可解得 ∷¨ ˉt a n ￠⊥1/√(1—` 2)(α2TD,即有 ￠=a r c t a n (1冫^顶丁=歹页丌=Π〉 ∶∶(2)￠的极小值在卩=o 时取得,即有 v =0时,￠=蝠n =a r c t a n (1/ )∷ ￠ 的极大值在` 氵1时逼近,即有∶ ∶ v →c 时,丿t 慨a x 氵√2 s -12。