2008年考研数学二真题及解析.pdf

您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 2008200820082008 年考研数学二试题分析、详解和评注一，选择题：年考研数学二试题分析、详解和评注一，选择题：( ( ( (本题共本题共 8 8 8 8小题，每小题小题，每小题 4 4 4 4 分，共分，共 32323232 分分. . . . 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) ) ) )(1)(1)(1)(1)设设2( )(1)(2)f xxxx=−+，则( )f x′的零点个数为【】 ．(A) 0.(B) 1.(C)2.(D)3．【答案答案】应选(D).【详解详解】322( )434(434)fxxxxxxx′=+−=+−．令( )0fx′=，可得( )fx′有三个零点．故应选(D).(2)(2)(2)(2)曲线方程为( )yf x=，函数在区间[0, ]a上有连续导数，则定积分 0( )axfx dx′∫在几何上表示【】 ．(A) 曲边梯形ABCD的面积．(B) 梯形ABCD的面积．(C)曲边三角形ACD面积．(D) 三角形ACD面积． 【答案答案】 应选(C).【详解详解】'000( )( )( )( )aaaxfx dxxdf xaf af x dx==−∫∫∫，其中( )af a是矩形面积， 0( )af x dx∫为曲边梯形的面积， 所以'0( )axfx dx∫为曲边三角形 ACD的面积．故应选(C).(3)(3)(3)(3)在下列微分方程中，以123cos2sin2xyC eCxCx=++（123,,C C C为任意的常数）为通解的是【】 ．(A)440yyyy′′′′′′+−−=.(B)440yyyy′′′′′′+++=.(C)440yyyy′′′′′′−−+=.(D)440yyyy′′′′′′−+−=.【答案答案】 应选(D).【详解详解】由123cos2sin2xyC eCxCx=++，，可知其特征根为1 1 1 11 1 1 1λ= = = =，2,32,32,32,32i2i2i2iλ= ±= ±= ±= ±，故对应的特征值方程为2 2 2 2(1)(2 )(2 )(1)(4)(1)(2 )(2 )(1)(4)(1)(2 )(2 )(1)(4)(1)(2 )(2 )(1)(4)iiλλλλλ−+−=−+−+−=−+−+−=−+−+−=−+3232323244444444λλλ=+−−=+−−=+−−=+−−32323232444444444444λλλ=−+−=−+−=−+−=−+−所以所求微分方程为440440440440yyyy′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′−+−=−+−=−+−=−+−=．应选(D).您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 (4)(4)(4)(4)判定函数ln( )|1|xf xx=−，(0)x>间断点的情况【】 ．(A) 有一个可去间断点，一个跳跃间断点． (B) 有一跳跃间断点，一个无穷间断点．(C)有两个无穷间断点.(D)有两个跳跃间断点.【答案答案】 应选(A).(5)(5)(5)(5)设函数( )f x在(,)−∞ +∞内单调有界，{}nx为数列，下列命题正确的是【】 ．(A) 若{}nx收敛，则{ ()}nf x收敛(B) 若{}nx单调，则{ ()}nf x收敛(C)若{ ()}nf x收敛，则{}nx收敛.(D) 若{ ()}nf x单调，则{}nx收敛.【答案答案】 应选(B).【详解】若若{}nx单调，则由函数( )f x在(,)−∞ +∞内单调有界知，若{ ()}nf x单调有界，因此若{ ()}nf x收敛．故应选(B).(6)(6)(6)(6)设函数( )f x连续，221xy+=，222,1xyuu+=>，若2222()( , )Df uvF u vdudv uv+= −∫∫，则F u∂=∂【】 ．(A)2()vf u(B)( )vf u(C)2()vf uu(D)( )vf uu 【答案答案】 应选(A).【详解】利用极坐标，得222 222011()()( , )()vuuDf uvf rF u vdudvdvrdrvf rdrruv+=== −∫∫∫∫∫， 所以F u∂=∂2()vf u．故应选(A).(7)(7)(7)(7)设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若30A=，则下列结论正确的是【】 ．(A)EA−不可逆，则EA+不可逆.(B)EA−不可逆，则EA+可逆. (C)EA−可逆，则EA+可逆.(D)EA−可逆，则EA+不可逆.【答案答案】应选(C).【详解详解】23()()EA EAAEAE−++=−=，23()()EA EAAEAE+−+=+=．故EA−，EA+均可逆．故应选(C).(8)(8)(8)(8)设1221A⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，则在实数域上，与 A 合同矩阵为【】 ．(A)2112−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠.(B)2112−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠.(C)2112⎛⎞⎜⎟⎝⎠.(D)1221−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠.您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 【答案答案】 应选(D).【详解详解】2212(1)423(1)(3)021EAλλλλλλλλ−−−==−−=−−=+−=−−则121,3λλ= −=，记1221D−⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠，则2212(1)423(1)(3)021EDλλλλλλλλ−−==−−=−−=+−=−则121,3λλ= −=，正负惯性指数相同.故选 D.二、填空题二、填空题：(9－14 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.)(9)(9)(9)(9)已知函数( )( )( )( )f x连续，且 0 0 0 01cos[( )]1cos[( )]1cos[( )]1cos[( )]lim1lim1lim1lim1(1) ( )(1) ( )(1) ( )(1) ( )xxxf x ef x→→→→− − − −= = = =− − − −，则(0)(0)(0)(0)f= = = =【答案答案】 应填2．(10)(10)(10)(10)微分方程2()0xyx edxxdy−+−=的通解是.【答案答案】 应填()xyx Ce−=−．(11)(11)(11)(11)曲线sin()ln()xyyxx+−=在点(0,1)的切线方程为.【答案答案】 应填1yx=+．【详解详解】(12)(12)(12)(12)曲线2 3(5)yxx=−的拐点坐标为.【答案答案】( 1, 6)− −．【详解详解】(13)(13)(13)(13)设x yyzx⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，则(1,2)(1,2)(1,2)(1,2)z x∂ ∂ ∂ ∂= = = =∂ ∂ ∂ ∂.【答案答案】2 2 2 2(ln21)(ln21)(ln21)(ln21)2 2 2 2− − − −．(14)(14)(14)(14)设 3 阶矩阵A的特征值为2,3,λ．若行列式|2 |48|2 |48|2 |48|2 |48A= −= −= −= −，则λ= = = =___________.【答案】应填1−．三、解答题三、解答题(15(15(15(15－－23232323 小题，共小题，共 94949494 分分) ) ) )．您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 (15)((15)((15)((15)(本题满分本题满分 9 9 9 9 分分) ) ) )求极限[ [ [ [] ] ] ]4 4 4 40 0 0 0sinsin(sin ) sinsinsin(sin ) sinsinsin(sin ) sinsinsin(sin ) sinlimlimlimlim xxxxx→→→→− − − −．【详解 1】[ [ [ [] ] ] ]4 4 4 40 0 0 0sinsin(sin ) sinsinsin(sin ) sinsinsin(sin ) sinsinsin(sin ) sinlimlimlimlim xxxxx→→→→− − − −[ [ [ [] ] ] ]3 3 3 30 0 0 0sinsin(sin )sinsin(sin )sinsin(sin )sinsin(sin )limlimlimlim xxxx→→→→− − − −= = = =＝2 2 2 20 0 0 0coscos(sin )coscoscos(sin )coscoscos(sin )coscoscos(sin )coslimlimlimlim3 3 3 3xxxx x→→→→− − − −2 2 2 20 0 0 01cos(sin )1cos(sin )1cos(sin )1cos(sin )limlimlimlim3 3 3 3xx x→→→→− − − −= = = =0 0 0 0sin(sin )cossin(sin )cossin(sin )cossin(sin )coslimlimlimlim6 6 6 6xxx x→→→→= = = =(或2 2 2 22 2 2 20 0 0 01 1 1 1(sin )(sin )(sin )(sin )2 2 2 2limlimlimlim3 3 3 3xxx→→→→= = = =，或222222222 2 2 20 0 0 01 1 1 1sin(sin)sin(sin)sin(sin)sin(sin)2 2 2 2limlimlimlim3 3 3 3xxoxx→→→→+ + + + = = = =)1 1 1 1 6 6 6 6= = = =．【详解 2】[ [ [ [] ] ] ]4 4 4 40 0 0 0sinsin(sin ) sinsinsin(sin ) sinsinsin(sin ) sinsinsin(sin ) sinlimlimlimlim xxxxx→→→→− − − −[ [ [ [] ] ] ]4 4 4 40 0 0 0sinsin(sin ) sinsinsin(sin ) sinsinsin(sin ) sinsinsin(sin ) sinlimlimlimlimsinsinsinsinxxxxx→→→→− − − −= = = =＝3 3 3 30 0 0 0sinsinsinsinlimlimlimlim ttt t→→→→− − − −2 2 2 20 0 0 01cos1cos1cos1coslimlimlimlim3 3 3 3tt t→→→→− − − −= = = =2 2 2 22 2 2 20 0 0 02 2 2 2limlimlimlim3 3 3 3ttt→→→→= = = =（或 0 0 0 0sinsinsinsinlimlimlimlim6 6 6 6tt t→→→→= = = =）1 1 1 1 6 6 6 6= = = =．(16)((16)((16)((16)(本题满分本题满分 10101010 分分) ) ) )设函数( )( )( )( )yy x= = = =由参数方程2 2 2 20 0 0 0( )( )( )( )ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)txx tyu du= = = =⎧ ⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎨ ⎨ ⎨=+=+=+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎩ ⎩ ⎩∫ ∫ ∫ ∫确定，其中( )( )( )( )xx t= = = =是初值问题0 0 0 0202020200 0 0 0xtdxtedt x− − − −= = = =⎧ ⎧ ⎧ ⎧−=−=−=−=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = = =⎩ ⎩ 。