线性系统理论-5b.ppt

第五章 线性系统的 能控性和能观测性 § 能控性: 输出: y； 输入: is 回路Ⅰ的模式（模型）：e-t可由is控制； 回路Ⅱ的模式（模型）：e-2t不能被is控制 ① 若 UC2(t0)=0，t≥t0，回路Ⅱ的模式e-2t不能被激励；若 UC2(t0)0，t≥t0，模式为e-2t，但输入is也无法控制它的变化 ② 回路Ⅰ的模式e-t，由输出y上观测不到，y 能观测的仅仅是回路Ⅱ的模式e-2t；回路Ⅰ的模式e-t，可由 is 控制——可控；不能由y观测——不能观测回路Ⅱ的模式e-2t, 不能由is控制——不能控；可由 y 观测——能观测 §5-1 引言 控制作用对控制系统影响的可能性 § 能观测性: 由系统的输出量确定系统状态的可能性 引例1 如图所示： _+R3 2yⅠ C1 1FR1 1C2 0.5FR2 1Ⅱx1、x2 都是由u控制，达到一定状态——系统完全能控； y只反映了x2——系统不完全能观测 状态x(t)： 若x(t0)=0，t≥t0，us，x(t)=0 ——x(t)不能控； 若us=0， x(t0)，t≥t0，y=0 ——x(t)不能观测；——不能控不能观测的系统。

引例2 如图所 示:Cx_+RRRR_+y引例3 系统 §5-2 能控 性 定义定义 （线性定常系统，状态能控性）对于线性定常系统，若若对初始状态x(t0) 0，存在输入u(t)， t∈[t0, t1]，能在有限时间区间t∈[t0, t1]内,将x(t0)转移到状态x(t1)=0，则称此状态x(t0)是能控的若若所有状态均可控，则称此系统是完全能控的；若若系统内一部分状态能控，另一部分状态不能控，则称此系统不完全能控对于线性时变系统，强调 “ x(t0) 在 t0 时刻能控 ” 若若对于 t ∈ (-∞,∞)，x(t)均可控，称为“一致可控” （nn对称阵）为非奇异 Ø 能控性判 据 一、线性定常系统(A,B,C)能控性判据 1. 定理1 [Gram矩阵判据]线性定常系统为完全能控的充要条件是存在有限时刻t1>0, 使Gram矩阵 证明：a）充分性： = 0 b）必要性：完全能控  WC(0, t1)非奇异 反证法：反设WC(0, t1)为奇异，至少 于是， 又，系统完全能控， 为满秩即 2. 定理2 [秩判 据] 的假设与系统完全能控相矛盾，反证不成立。

 即 WC(0, t1 ) 是非奇异的 线性定常系统状态完全能控的充要条件是： 能控性判别矩阵WC rankWC=n (A—nn，B—np，WC—nnp) （该定理也适用于线性定常离散系统：证明：a）充分性 已知rankWC = n  系统完全能控反证法：反证系统不完全能控为奇异，则存在非零向量 使其成立： 对(1)式逐次求导，直到(n-1)次，得 (1)和(2)中令t = 0，得 由于 0所以(3)式意味着WC为行线性相关 即有 rankWCt0使Gram矩阵： 其中，(·,·)为该系统的状态转移矩阵即rankWC(t0, t1) = n 完全能控）2．判据2 [秩判据] 设A(t)和B(t)是(n-1)阶连续可微的矩阵，若存在一个有限时刻t1, t1>t0使 则线性时变系统(A(t), B(t))在时刻t0为完全能控 其中： （  这是一个充分条件§5-3 能控标准形(规范形.典范 形) 讨论：单输入系统的能控规范形 1．定义 单输入系统(AC , BC)为能控规范形，若 2．定理 若系统的状态方程为能控规范形，则系统必 完全能控。

证 为下三角阵,rankWC = n.若单输入系统(A, B)完全能控，则有非奇异阵P， 使（P-1AP，P-1B）为能控标准形，即 3．定 理 其中： 证：设 QA=ACQ （1）QB=BC （2） 记： 由(1)： 由(2)得： 转置： 所以，可得出 若Q为非奇异（待证），Q-1存在，可令P= Q-1， P-1= Q ，则有 如此，也给出了P(P-1)构造方法 补证：Q为非奇异 注意： 的最后一行，可知 5．能控标准形系统的特 性4．推论 单输入系统(A, B)完全能控的充要条件是可通过非奇异线性变换x=Pz，使系统(A, B)变为能控标准形(AC , BC) 单输入系统）（1）矩阵AC中的系数0 , 1, ···, n-1可为任意值，不影响 系统的能控性2）矩阵AC的特征多项式 （3） 这因为 当q=1时（SISO系统）： 例求：（1）能控标准形； （2）传函G(s) ； （3）x(0)=0, u(t)=l(t)时的y(t) 。

解：（1）先判断能控性 系统完全能控 §5-4 能观测 性 研究能观测性： Ø 能观测性判据 一、线性定常系统的能观测性判据 1．定理1 [Gram矩阵判据] 线性定常系统完全能观测的充要条件是存在有限时刻t1>0， 使Gram矩阵 为非奇异 2． 定理2 [秩判据] 系统(A, C)为完全能观测的充要条件是能观测性判别矩阵W0 ： 为满秩，即 该定理也适用于线性定常离散系统 若系统(A, C)有奇异特征值，则系统完全能观测的充要条件是 CM中没有全为零的列M=[e1，e2，···, en]是系统的模式矩阵 3．定 理3 4．定理4 [对角形判据] 5．定理5 [约当规范形判据] 设系统(A, C)有重特征值1(1重)，2(2重)，···，k(k重) ， 系统经x=Tw非奇异变换后为约当标准形 其中，对系统(A, C)进行非奇异线性变换，x=Pz，P为 非奇异阵，不改变其能观测性 系统完全能观测的充要条件是：均为线性无关 的第1列所组成的矩阵 由对于单输出系统，则当i  j（i , j =1, 2, ···，k）得： 完全能观测的充要条件为： 例(能观测)(能观测)二、线性时变系统的能观测判 据 1．判据1 [Gram矩阵判据] 线性时变系统(A(t), C(t))在时刻t0为完全能观测的充要条件是 存在有限时刻t1, t1>t0,使Gram矩阵 为非奇异。

2．判据2 [秩判据] A(t)和C(t)为(n-1)阶连续可微，若存在时刻t1, t1>t0,使 则(A(t), C(t))在时刻t0为完全能观测 其中 §5-5 能观测标准形(规范 形) § 讨论单输出系统 1．定义 单输出系统(Ao, Co)为能观测标准形，若 2．定理 若线性定常系统的系统方程为能观测标准形， 则该系统必为完全能观测 3．定理 若单输出系统(A, C)为完全能观测， 则必有非奇异阵Q， 使(Q-1AQ, CQ)为能观测标准形即： 5．能观测标准形系统的特性（单输出系统 ） 其中 Pn为中 的最后一列构成的列向量(n1)4．推论 单输出系统(A, B)为完全能观测的充要条件是 可通过非奇异线性变换x=Qz,使系统(A, C)变换为能观测标准形(Ao , Co) (1) Ao中i(i=0, 1, ···, n-1)为任意值,不改变系统的能观测性 当P=1（SISO）， §5-6 能控与能观测典范分 解 线性系统可分解为四种系统： 能控 能观测 1 √ √ 2. √  3.  √ 4.   一、能控性典范分解 定理 n 阶系统(A,B,C)，rankWc=k

5-3 Tc的求法： i) 从WC中任选k (rankWC=k) 个线性无关的列向量， 它为Tc的前k列：V1, V2, ···, Vk ； ii) 在Rn中再选n-k个列向量，记为Vk+1,···, Vn , 需使得： 为非奇异证：（1）记Tc=[p1, p2] 其中， 由Tc的构成，知Tc-1存在 当j ≤ k，AVj是V1, V2, ···, Vk 的线性组合 因此， 于是，由(*)式，知 Q2Ap1=0 设线性定常系统如下，判断其能控性；若不完全能控 ，试将该系统按能控性进行分解 例同理，B的所有列也均可由V1, V2, ···, Vk 线性表示； 所以，Q2B=0 即有 解 系统能控性判别阵 rankWc=2

可将原系统变换为按能观测典范分解的新系统 (Ao , Bo , Co)，有 5-4定理 n 阶系统(A, B, C)， rankWo=r

5-5按能控性和能观测性进行典范分解的步 骤 是状态不完全能控和不完全能观测的，试将该系统按能控性 和能观测性进行结构分解 可只须经过一次变换对系统同时按能控性和能观测性进行 结构分解，但变换阵的构造需要涉及较多的线性空间概念下 面介绍一种逐步分解的方法1) 先将系统按能控性分解； (2) 将不能控的子系统按能观测性分解；(3) 将能控的子系统按能观测性分解； (4) 综合以上三次变换，导出系统同时按能控性和能观测 性进行结构分解的表达式 例 已知系统解 前例已将该系统按能控性分解 不能。