高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）函数与方程.pdf

第九节函数与方程1 他 知 溟 工 打 牢强 双 基I 固 本 源I 得 基 础 分I 掌握程度 知识能否忆起1 .函数的零点(1)定 义：对于函数/=/Xx)(xG，),把使/(x)=0 成立的，实数x叫做函数y=/(x)(xE 及的零点.(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x 轴交点间的关系：方程F(x)=0 有实数根Q函数y=(x)的图象与x 轴有交点Q函数y=有零 点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y=F(x)在区间 a,切上的图象是连续不断的一条曲线，并且有(a)加 0,那么，函数7=F(x)在区间(a,6)内有零点,即存在cE(a,6)，使 得 f(c)=0,这个色也就是方程f(x)=0 的 根.2.二次函数了=*2 +版+(0)的图象与零点的关系3.二分法A 0二0zl 0)的图象M妆/4X1X2 X1 z与 X轴的交点(,0),(0)(矛 1,0)无交点零点个数两个一个零个对于在区间 a,b上连续不断且Ha)f(6)0 的函数y=/(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近罢点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.小题能否全取1.(教材习题改编)下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是()答 案：C2.若函数f(x)=a x+6 有一个零点是2,那么函数g(x)=6 V-a x 的 零 点 是()1B.0,-1-22-D1-2-2o,oAc解 析：选 C.23+8=0,gx)-2 ax-ax-a x(2x+1).二零点为。

和-；3.(教材习题改编)根据表格中的数据，可以判定方程e*-x-2=0 的 一 个 根 所 在 的 区 间 为()X-10123Xe0.3712.727.3920.09x+212,345A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)解 析：选 C设函数(x)=e -x-2,从表中可以看出 /(2)0,因此方程e*-x-2=0 的一个根所在的区间为(1,2).4.用二分法求函数y=f(x)在区间4)上的近似解，验 证 f(2)-A 4 X 0,给定精确度=0.01,取2+4区间(2,4)的中点为=一二=3,计算得f(2)f(E)0,则此时零点刘6(填区间).解 析：由 A2)A3)0可知荀述(2,3).答 案：(2,3)5.已知函数f(x)=f +x+a 在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是一解 析：函数f(x)=f +x+a 在(0,1)上有零点.AO)Al)0,即 a(a +2)0,解得-2a 0.答 案：(-2,0)1.函数的零点不是点：函数y=M x)的零点就是方程Hx)=0 的实数根，也就是函数y=H x)的图象与x 轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点.在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.2 .对函数零点存在的判断中，必须强调：f(x)在 a,6 上连续；f(a)f(扮 0.函数 f(x)在 R 上单调递增.(-1)=+(-1)-4=-5+e-10,./(0)=-30,AD=e+1-4=e-30,f(l)f(2)0,故零点两E(1,2).答案 C由题悟法利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时，首先看函数y=F(x)在区间 a,6 上的图象是否连续不断，再看是否有(a)(6)0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,6)内必有零点.以题试法1.(衡水模拟)设函数y=V 与 y=(1)-2的图象交点为(皿%),则刘所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.3)D .4)解 析：选 B设函数f(x)=/-0 T /f 0,且#x)为单调函数，则司6 (1,2).判断函数零点个数典题导入 例 2 (1)(北京高考)函数(王)=-。

的 零 点 的 个 数 为()A.0 B.1C.2D .3 x+1,xWO,(北京东城区模拟)已知函数/U)s 则 函 数 y=F(F(x)+1 的零点个数是 log2X,x 0,()A.4C.2B.3D .1 自主解答(1)在同一平面直角坐标系内作出力如图所示，易知，两函数图象只有一？交点，因此函数F(x)=叼点.由/1(/)+1=0 可得 f (f(x)=-1,又由 f(-2)=9=-1.可得/1(x)=-2 或/(x)=*-若HUX-贝21X-4或3综上可得函数7=f(f(x)+1 有 4 个零点.答案(DB(2)A由题悟法判断函数零点个数的常用方法(1)解方程法：令 f(x)=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要判断函数在区间 a,3 上是连续不断的曲线,且Ha)-A)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数,其中交点的个数，就是函数零点的个数.以题试法2.(湖北高考)函数/x)=xcos 1 在区间。

4 上的零点个数为()A.4 B.5C.6 D .7解 析：选 C 令 xcos x=0,贝(x=0,或弋=km+y,又 xG 0,4 ,因此 xk=+(4 =0,1,2,3,4),共有6 个零点.函数零点的应用典题导入 例 3 (辽宁高考改编)已知函数f(x)=e*-x+a 有零点，则 a的取值范围是 自主解答,(x)=e*-x+a,f(x)=e-l.令 Z7(x)=0,得 x=0.当水0 时，f W0时，F(x)0,函数F(x)在(0,+8)上是增函数.故 F(X)m i n=AO)=1+.若函数F(X)有零点，则 X)m i n W 0,即 1+a W O,得 a W 1.答案(-8,-1 一题多变若函数变为F(x)=l n X-2 X+2 其他条件不变，求 d的取值范围.角 翠：,/fx)=I n x-2 x+.3,:f(x)=-2.1-2X-得令当 00,Mx)为增函数;当 x%寸，f(x)0,(x)为减函数.若 F(x)有零点，贝 F(x)m a x 20,g p l n-1+a O.解得a的取值范围为 1+I n 2,+).由题悟法已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.以题试法3,已知函数f(x)满足fQ+D 且 f(x)是偶函数,当x G 0,1 时，式淤=X、若在区间-1,3 上函数g(x)=f(x)-布-4 有 4 个零点，则实数4 的 取 值 范 围 是.解 析：由 f(x+1)=A x-1)得，f(x+2)=f(x),则 f(x)是周期为2 的函数.f(x)是偶函数，当 xG 0,1 时，/(x)=x,.当 xE -l,0 时，/x)=-工 易得当 x G 1,2 时，f(x)=-x+2,当 x C 3时，f(x)=x-2.在区间-1,3 上函数g(x)=f(x)-Ax-4 有 4 个零点，即函数y=f(x)与 y=A x+孑的图象在区间-1,3 上有4 个不同的交点.作出函数旷=/(1)与/=履+彳的图象如图所示，结合图形易知，E。

1.1-4案答用解S3训练要高效抓速度|抓规范|拒绝眼高手低|掌握程度4级 全 员 必 做 题_ 芦-1,后 1,1.已知函数f(x)=1,、，11+l o g2j r,xl,则函数/x)的 零 点 为()O1-2OB-2,1C -2DO解 析：选 D当 我 1 时，由 f(x)=2-1=0,解得x=0；当 x l时，由 f(x)=1+l o g z x=0,解得x=|,又 因 为 X l,所以此时方程无解.综上函数(x)的零点只有0.2 设 f(x)=系+权+是 上 的 增 函 数，且(-/)0,则方程f(x)=0 在 -1,1 内()A.可能有3 个实数根 B,可能有2 个实数根C.有唯一的实数根 D.没有实数根解 析：选 c 由 r(x)在 -1,1 上是增函数，且3 殖 0,知/1(*)在 J,g上有唯一零点，所以方程/0,r(3)0,y(5)0 时，f(x)22,当 x 0 时，-2,故/1(x)没有零点；令/1(x)=x-=0 得才=士1,故选D.95.(北京朝阳统考)函数/x)=2-彳-a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)解 析：选 C由条件可知Hl)f(2)0,即(2-2-血(4-1-条 0,即 a(a-3)0,解之得0a 0,/、0,x-0,函数g(x)I-y1 水，则函数尔X)=r(x)-晨王)在区间-5,5 内 的 零 点 个 数 是()A.5 B.7C.8 D.10解 析：选 C依题意得，函数/(x)是 以 2 为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y=/(x)与函数y=g(x)的图象,结合图象得,当xG -5,5 时，它们的图象的公共点共有8 个,即函数尔x)=F(x)-g(x)在区间-5,5 内的零点个数是&7.用二分法研究函数/(X)=V +3x-1 的零点时，第一次经计算A0).0可得其中一个零点 x o E 第二次应计算解 析：因为f(x)=x +3 x-l 是 R上的连续函数,且 f(0.)0,则 f(x)在 xR(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证?(0.25)的符号.答 案：(0,0.5)/(0.25)8,若函数f(x)=a*-x-a(a 0且 a=l)有两个零点，则实数a的 取 值 范 围 是 .解 析：函数f(x)的零点个数就是函数y=a 与函数y=x+a的图象交点的个数，易知当a l 时，两图象有两个交点；当 0a l 时，两图象有一个交点.答 案：(1,+8)9.(20.13 南通质检)已知函数f(x)=六+(l-4)x-4的一个零点在3)内，则实数4 的取值范围是解 析：因 为/=(1-4”+44=(1+次)2分0 对一切4 E R 恒成立，又 4=-1 时，/(x)的零点x=-l 阵(2,3),故要使函数/(X)=六+(1-而 x-%的一个零点在3)内，则必有f(2)f(3)0,即 20,则应有/(2)0,又 .(2)=2?+(-1)X 2+1,，欣-|.若 f(x)=0 在区间 0,2 上有两解,则m-1 -丁0,2.已知函数Ax)2 7 一 八 满 足*0)=1,且 HO)+2-1)=0,那么函数g(x)二-x+bx+c,xWO_f(x)+x 的零点个数为.解 析：6()=1,.0=1.又:/1(0)+2 _1)=0,./03时，g(x)二2丫 一 2=0 有唯一解x=l；当 xWO时，g(x)=-才2+才+1,令虱才)=0,得才=2(舍去)或 二-1,即 g(x)=0 有唯一解.综上可知，g(x)=A x)+x 有 2 个零点.答 案：23.已知二次函数 F(x)=ax+bx+c.(1)若於力c,且*1)=0,试证明广(x)必有两个零点；(2)若对矛 1,A2ER,且 xX 2,_f(xi)WF(X 2),方程广(x)=；(不)+F(加 有两个不等实根.，证明必有一个实根属于(矛 1,就.证 明：(1);f(l)=0,a+/?+c=0,又,：山抗c、a0,c 0,.,.方程ax+bx+c=0有两个不等实根，/.函数/15)有两个零点.(2)令 g(9=fx)一+f(x2),贝 IJ g(矛 1)二 厂(刘)一 (矛J+/()=-,1 f X2 -f Xg(莅)=f(x3-/(x i)+f(x2)二-,Z zf X-f X2 f X2 -f Xg(xi)g(xD=-2-二一+(xi)-r(x2)/.:F(X 1)W f ,g(xi)g(X2)0,故只需，E +1+至+1 0,X i +1 至 +1 0in-3m-4 0,-2%+2 0,3必+4+-2 m+1 0j 冰-1或 勿 4,*欣1,ni。