江苏省高考数学空间直线和平面的平行与垂直.doc

2.(2010﹒南通三模)已知直线 l，m，n，平面 ，m⊂ ，n⊂ 则“l⊥ ”是“l⊥m，且l⊥n”的____________条件．(填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要”之一)解析： l⊥ ，则 l 垂直于 内的所有直线，而 l⊥m，且 l⊥n，这个条件得不到，l⊥ ，所以答案是“充分不必要” ．3.(2010﹒南通一模)关于直线 m，n 和平面 ， ，有以下四个命题：①若 m∥ ，n∥ ， ∥ ，则 m∥n；②若 m∥n，m⊂ ，n⊥ ，则 a⊥ ；③若 a∩ =m，m∥n，则 n∥ 且 n∥ ；④若 m⊥n， ∩ =m，则 n⊥ 或 n⊥ .其中假命题的序号是_____________解析： ①中 m 与 n 可以是相交、平行或异面；③缺少 n 不在 ， 内；④要想得到线面垂直，必须是一条直线垂直于平面内的两条相交线．答案为① ③ ④4.(2010﹒苏、锡、常、镇二模)如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，给出以下四个结论：①D1C∥平面 A1ABB1；②A1D1 与平面 BCD1 相交；③AD⊥平面 D1DB；④平面 BCD1⊥平面 A1ABB1.其中，所有正确结论的序号为__________　　. 解析： ①④正确，这可以由正方体的性质直接得到；A1D1 在平面 BCD1 内；若 AD⊥平面D1DB，而直线 DB 在平面 D1DB 内，这就得到矛盾的结论 AD⊥BD，事实上∠ADB=45°.答案： ①④分析：翻折问题重点抓住折叠前后哪些元素发生了变化，哪些没有变化；要证明直线 OH∥平面 BDE，只要证直线 OH 平行于该面中的某一条直线即可，同时注意定理的条件：直线 OH不在该面内，某直线在该面内；要证明平面 ADE⊥平面 ABCE，只要在平面 ADE 中寻找一条直线垂直于平面 ABCE. 例 2：如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，棱长为 a，E 为棱 CC1 上的的动点．(1)求证：A1E⊥BD；(2)当 E 恰为棱 CC1 的中点时，求证：平面 A1BD⊥平面 EBD；(3)在(2)的条件下，求 VA1-BDE.分析：立体几何中的线线垂直的证明通常都是通过线面垂直来实现的，本题就可以先证明BD⊥平面 ACC1A1；面面垂直的证明只要从其中一个平面找一条直线垂直于另一平面即可．(1)证明：连结 AC.因为正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AA1⊥平面 ABCD，所以 AA1⊥BD，因为正方形 ABCD，AC⊥BD且 AC∩AA1=A，所以 BD⊥平面 ACC1A1 且 E∈CC1，所以 A1E⊂平面 ACC1A1，所以 BD⊥A1E.(2)设 AC∩BD=O，则 O 为 BD 的中点，连结 A1O，EO.由(1)得 BD⊥平面 A1ACC1，所以 BD⊥A1O，BD⊥EO.所以∠A1OE 即为二面角 A1-BD-E 的平面角，AB=a，E 为 CC1 中点，所以 A1O= a，A1E= a，OE= a，所以 A1O2+OE2=A1E2，所以 A1O⊥OE，所以∠A1OE=90°.所以平面 A1BD⊥平面 BDE.变式 2.如图所示，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G 分别为 PC、PD、BC 的中点．(1)求证：PA∥平面 EFG；(2)求三棱锥 P-EFG 的体积．解析：(1)证法 1：如图，取 AD 的中点 H，连结 GH，FH.因为 E，F 分别为 PC，PD 的中点，所以 EF∥CD.因为 G，H 分别为 BC，AD 的中点，所以 GH∥CD，所以 EF∥GH，所以 E，F，H，G 四点共面．因为 F，H 分别为 DP，DA 的中点，所以 PA∥FH.因为 PA 平面 EFG，FH⊂平面 EFG，所以 PA∥平面 EFG.证法 2：因为 E，F，G 分别为 PC，PD，BC 的中点，所以 EF∥CD，EG∥PB.因为 CD∥AB，所以 EF∥AB.因为 PB∩AB=B，EF∩EG=E，所以平面 EFG∥平面 PAB.因为 PA⊂平面 PAB，所以 PA∥平面 EFG.分析：立体几何中存在性(探索性)问题的解决方法通常是假设存在，然后根据条件探求怎样存在，最后书写解题过程的时候要注意顺序，即， “满足存在”推出“条件” ，千万不能写成“满足条件”推出“存在” ． (2)当点 E 为棱 AB 的中点时，DE∥平面 AB1C1.证明如下：如图，取 BB1 的中点 F，连结 EF、FD、DE，因为 D、E、F 分别为 CC1、AB、BB1 的中点，所以 EF∥AB1.因为 AB1⊂平面 AB1C1，EF⊄平面 AB1C1，所以 EF∥平面 AB1C1.同理可证 FD∥平面 AB1C1.因为 EF∩FD=F，所以平面 EFD∥平面 AB1C1.因为 DE⊂平面 EFD，所以 DE∥平面 AB1C1. 准确理解和系统掌握空间直线和平面的各种位置关系(特别是平行与垂直的位置关系的判定定理和性质定理)是解决立体几何问题的基础，转化法是空间直线和平面位置关系的判断与证明的常用方法，线线关系、线面关系、面面关系三者之中，每两种都存在着依存关系，充分合理地利用这些关系是解题的关键．本题的线面平行的证明就是通过线线平行来实现的，具体证明时，要交代 PD⊂平面PCD，EF⊄平面 PCD，否则要扣 2 分；同样在证明 BF⊥AD 时，也须先说明△BAD 是等边三角形，要尽量避免“会而不对，对而不全”的现象. 。