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考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 1一一. 函数的概念函数的概念 1．用变上、下限积分表示的函数．用变上、下限积分表示的函数 （1）( )dttfyx∫= 0，其中( )tf连续，则( )xfdxdy= （2）( )( )( )dttfyxx∫=21ϕϕ， 其中( )x1ϕ，( )x2ϕ可导，( )tf连续， 则( )[]( )( )[]( )xxfxxfdxdy1122ϕϕϕϕ′−′= 2．两个无穷小的比较．两个无穷小的比较 设( )0lim=xf，( )0lim=xg，且( ) ( )lxgxf=lim （1）0=l，称( )xf是比( )xg高阶的无穷小，记以( )( )[]xgxf0=，称( )xg是比( )xf低阶的无穷小 （2）0≠l，称( )xf与( )xg是同阶无穷小 （3）1=l，称( )xf与( )xg是等价无穷小，记以( )( )xgxf~ 3．常见的等价无穷小．常见的等价无穷小 当0→x时 xx ~sin，xx ~tan，xx ~arcsin，xx ~arctan 2 21~cos1xx−，xex~1−，()xx ~1ln+，()xxαα~11−+ 二．求极限的方法二．求极限的方法 1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则．利用极限的四则运算和幂指数运算法则 2．两个准则．两个准则 准则 1．单调有界数列极限一定存在 （1）若nnxx≤+1（n为正整数）又mxn≥（n为正整数） ，则Axn n= ∞→lim存在，且mA≥ （2）若nnxx≥+1（n为正整数）又Mxn≤（n为正整数） ，则Axn n= ∞→lim存在，且MA≤ 准则 2． （夹逼定理）设( )( )( )xhxfxg≤≤ 若( )Axg=lim，( )Axh=lim，则( )Axf=lim 3．两个重要公式．两个重要公式 公式 1．1sinlim 0= →xxx公 式 2 ．ennn=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+ ∞→11lim；euuu=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+ ∞→11lim；()evv v=+ →101lim 4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻） （数学一和 数学二）．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻） （数学一和 数学二） 当0→x时，( )nn xxnxxxe0!! 212 +++++=Λ ()()()121253 0!121! 5! 3sin++ ++−+++−=nn nxnxxxxxΛ ()()()nn nxnxxxx2242 0!21! 4! 21cos+−+−+−=Λ ()()( )nn nxnxxxxx01321ln132 +−+−+−=++Λ ()()1212 153 012153arctan++ +++−+−+−=nn nxnxxxxxΛ ()()()()[]( )nnxxnnxxx0!11 ! 21112+−−−++−++=+αααααααΛΛ6．洛必达法则．洛必达法则 法则 1． （00型）设（1）( )0lim=xf，( )0lim=xg （2）x变化过程中，( )xf ′，( )xg′皆存在 （3）( ) ( )Axgxf=′′lim（或∞） 则( ) ( )Axgxf=lim（或∞） （注： 如果( ) ( )xgxf ′′lim不存在且不是无穷大量情形，则不能得出( ) ( )xgxflim不存在且不是无穷大量情形） 法则 2． （∞∞型） 设 （1）( )∞=xflim，( )∞=xglim （2）x变化过程中，( )xf ′，( )xg′皆存在 重要考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 2（3）( ) ( )Axgxf=′′lim（或∞） 则( ) ( )Axgxf=lim（或∞） 7．利用导数定义求极限．利用导数定义求极限 基本公式：()()()0000limxfxxfxxfx′=∆−∆+→∆[如果存在] 8．利用定积分定义求极限．利用定积分定义求极限 基本公式 ( )∫∑=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∞→1011limdxxfnkfnnkn[如果存在] 三．函数的间断点的分类三．函数的间断点的分类 函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点 设0x是函数( )xfy =的间断点。

如果( )xf在间断点0x处的左、右极限都存在，则称0x是( )xf的第一类间断点 第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点 （2）第二类间断点 第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断 点 常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点 四．闭区间上连续函数的性质四．闭区间上连续函数的性质 在闭区间[]ba,上连续的函数( )xf，有以下几个基本性质这些性质以后都要用到 定理 1． （有界定理）如果函数( )xf在闭区间[]ba,上连续，则( )xf必在[]ba,上有界 定理 2． （最大值和最小值定理）如果函数( )xf在闭区间[]ba,上连续，则在这个区间上一定存在最大值M和最小值m 其中最大值M和最小值m的定义如下： 定义 设()Mxf=0是区间[]ba,上某点0x处的函数值，如果对于区间[]ba,上的任一点x，总有( )Mxf≤，则称M为函数( )xf在[]ba,上的最大值 同样可以定义最小值m 定理 3． （介值定理）如果函数( )xf在闭区间[]ba,上连续， 且其最大值和最小值分别为M和m， 则对于介于m和M之间的任何实数c，在[]ba,上至少存在一个ξ，使得 ( )cf=ξ 推论：如果函数( )xf在闭区间[]ba,上连续，且( )af与( )bf异号，则在()ba,内至少存在一个点ξ，使得 ( )0=ξf 这个推论也称为零点定理 五．导数与微分计算五．导数与微分计算 1．导数与微分表．导数与微分表 ( )0=′c ( )0=cd ()1−=′αααxx（α实常数）()dxxxd1−=ααα（α实常数） ()xxcossin=′xdxxdcossin= ()xxsincos−=′xdxxdsincos−= ()xx2sectan=′xdxxd2sectan= ()xx2csccot−=′xdxxd2csccot−= ()xxxtansecsec=′xdxxxdtansecsec= ()xxxcotcsccsc−=′xdxxxdcotcsccsc−= ()axxaln1log=′()1, 0≠>aa axdxxdalnlog=()1, 0≠>aa ()xx1ln=′dxxxd1ln= ()aaaxxln=′()1, 0≠>aa adxadaxxln=()1, 0≠>aa 重要考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 3( )xxee=′dxedexx= () 211arcsin xx −=′dx xxd 211arcsin −= () 211arccos xx −−=′dx xxd 211arccos −−= ()211arctanxx+=′dxxxd211arctan+= ()211cotxxarc+−=′dxxxdarc211cot+−= ()[] 22221ln axaxx +=′++ ()dx axaxxd 22221ln +=++()[] 22221ln axaxx −=′−+ ()dx axaxxd 22221ln −=−+ 2．四则运算法则．四则运算法则 ( )( )[]( )( )xgxfxgxf′±′=′± ( )( )[]( ) ( )( ) ( )xgxfxgxfxgxf′+′=′⋅ ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )xgxgxfxgxf xgxf2′−′=′⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡( )()0≠xg 3．复合函数运算法则．复合函数运算法则 设( )ufy =，( )xuϕ=， 如果( )xϕ在x处可导，( )uf在对应点u处可导，则复合函数( )[]xfyϕ=在x处可导，且有 ( )[]( )xxfdxdu dudy dxdyϕϕ′′== 对应地( )( )[]( )dxxxfduufdyϕϕ′′=′= 由于公式( )duufdy′=不管u是自变量或中间变量都成立。

因此称为一阶微分形式不变性 4．由参数方程确定函数的运算法则．由参数方程确定函数的运算法则 设( )txϕ=，( )tyψ=确定函数( )xyy =， 其中( )tϕ′，( )tψ′存在，且( )0≠′ tϕ，则 ( ) ( )tt dxdy ϕψ ′′= ( )()0≠′ tϕ 二阶导数( ) ( )( )( ) ( )[]3221tttttdtdxdtdxdyddxdxdyddxydϕϕψϕψ ′′ ′′−′′ ′=⋅⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡=⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡= 5．反函数求导法则．反函数求导法则 设( )xfy =的反函数( )ygx =，两者皆可导，且( )0≠′ xf 则 ( )( )( )[]ygfxfyg′=′=′11( )()0≠′ xf 二阶导数( )( )[]( )dxdydxxfddyygdyg11⋅⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ ′=′=′ ′ ( ) ( )[]( )[] ( )[]{}33ygfygfxfxf ′′ ′−=′′ ′−= ( )()0≠′ xf 6．隐函数运算法则．隐函数运算法则 设( )xyy =是由方程()0,=yxF所确定，求y′的方法如下： 把()0,=yxF两边的各项对x求导，把y看作中间变量， 用复合函数求导公式计算， 然后再解出y′的表达式 （允许出现y变量） 7．对数求导法则．对数求导法则 先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数y′。

对数求导法主要用于： ①幂指函数求导数 ②多个函数连乘除或开方求导数 关 于 幂 指 函 数( )[]( )xgxfy =常 用 的 一 种 方 法考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 4( )( )xfxgeyln=这样就可以直接用复合函数运算法则进行 8．可微与可导的关系．可微与可导的关系 ( )xf在0x处可微( )xf⇔在0x处可导 9．求．求n阶导数（阶导数（2≥n，正整数），正整数） 先求出,,,Λyy′ ′′总结出规律性，然后写出( )ny，最后用归纳法证明 有一些常用的初等函数的n阶导数公式 （1）xey = ( )xney= （2）()1, 0≠>=aaayx( )()nxnaayln= （3）xysin= ( )⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=2sinπnxyn（4）xycos= ( )⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=2cosπnxyn(5) xyln= ( )()()nnnxny−−−−=!111两个函数乘积的n阶导数有莱布尼兹公式 ( ) ( )[]( )( )( )()( )∑ =−=nkknkk nnxvxuCxvxu0其 中 ()!!! knknCk n−=， ( )( )( )xuxu=0， ( )( )( )xvxv=0假设( )xu和( )xv都是n阶可导。

微分中值定理微分中值定理 一．罗尔定理一．罗尔定理 设函数( )xf满足 （1）在闭区间[]ba,上连续； （2）在开区间()ba,内可导； （3）( )( )bfaf= 则存在()ba,∈ξ，使得( )0=′ξf 二．拉格朗日中值定理二．拉格朗日中值定理 设函数( )xf满足 （1）在闭区间[]ba,上连续； （2）在开区间()ba,内可导； 则存在()ba,∈ξ，使得 ( )( )( )ξfabafbf′=−−或写成( )( )( )()abfafbf−′=−ξ ()ba，则称()0xf为函数( )xf的一个极小值，称0x为函数( )xf的一个极小值点 函数的极大值与极小值统称极值极大值点与极小值 点统称极值点 2．必要条件（可导情形）．必要条件（可导情。