吴赣昌编_《概率论与数理统计》第二章.doc

吴赣昌经管类三版复习提要及课后习题解答习题2-21. 设，且，求 解：2、设随机变量的分布律为，求（1）；（2）；（3）解：由分布律的性质，得（1）（2）（3）3、已知X只取-1，0，1，2四个值，相应的概率为，求常数c，并计算解：由分布律的性质有，所以4、一袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，在袋中同时取5只球，以X表示取出的3只球中的大号码，求X的分布律解：由题意知，X所有可能取到的值为3，4，5，由古典概率计算公式可得分布律为，，5、某加油站替出租公司代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元因为代出租汽车这项业务，每天加油站需多付职工的服务费60元设加油站每天出租汽车数X是随机变量，其分布律为;X10203040pk0.150.250.450.15求：出租汽车这项业务的收入大于额外支付职工服务费的概率（即这项服务盈利的概率）解：设A=“这项服务盈利的概率”，由题意 题型2 常见分布的应用，几何分布、二项分布、泊松分布、二项分布的泊松逼近6（几何分布）、设自动生产线在调整后出现废品的概率为0.1，当生产过程中出现废品时立即进行调整，X表示在两次调整之间生产的合格品数，求（1） X的分布律；（2）；（3）在两次调整之间能以0.6的概率保证生产出合格品的数量不少于多少？解：（1）{X=k}表示这k次全生产了合格品，第k+1次生产了废品，所以这是几何分布的问题，（2）（3）设数量不少于n，则由题意知，所以有所以，因而有，解得n=57、某运动员投篮的命中率为0.6，求他一次投篮时，投篮命中次数的概率分布解X01p0.40.68、某种产品共10件，其中3件次品，现从中任取3件，求取出的3件产品中次品数的概率分布。

解：设X表示取出的3件产品中次品数，则X：0，1，2，39、一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从中任取一件，取出的产品仍放回，求直到取到正品为止所需次数X的概率分布解：X：1，2，…，n，…，取到次品的概率为，取到正品的概率为，X12…n…P0.70.3*0.7…0.3n－1*0.7…10. 设，如果，求解：因为，所以；而，所以又，所以；所以11、（二项分布的泊松逼近）纺织女工照顾800个纺锭，每个纺锭在某一时间段内断头的概率为0.005，求在这段时间内断头的次数不大于2次的概率解：设X：在某时间段内800个纺锭断头的数量，则12、设书籍上每页的印刷错误的个数服从泊松分别，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率解：设X：每页的印刷错误的个数，由题意，即，由题意可得，解得，所以所以，每页上没有印刷错误的概率为设Y：检验的4页中没有印刷错误的页数，则所求概率为13、设在时间t（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数服从参数与t成正比的泊松分布已知在1分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内最多有一辆汽车通过的概率。

解：设表示在时间t（分钟）内通过某交叉路口的汽车数，则由题意，所以即，所以又，所以，所求概率为习题2-33. 已知离散型随机变量的分布列为：，，试写出的分布函数 解 的分布列为 所以的分布函数为 6、设随机变量的分布函数为 ，，求：（1）系数与；（2）；（3）的概率密度 解 （1）由分布函数的性质 于是 ，，所以的分布函数为 ， （2）； （3）的概率密度为习题2-41、设，则2、已知，求解：3、设（1）求A，B解：由得，，所以，即（2）求（3）4、服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度为，求A及其分布函数解：由所以其密度函数为分布函数为5、设X服从（1，5）上的均匀分布，如果（1），（2）求解：因为，所以（1）当时，（2）当，6、【本题是连续型与离散型随机变量的综合题目】设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时刻到达是等可能的，计算在车站候车的10位乘客中只有一位等待时间超过4分钟的概率解：由于乘客在【0，5】时间段内到达车站是等可能性的，设X：乘客在【0，5】时间段内到达的时刻，则，所以A=“每位乘客等待乘车的时间超过分钟”，所以，设Y=“10位乘客中等待时间超过4分钟的人数”，则所以，是所求概率为7、设X～N（3.22）（1）求P (22}，P (X>3)解：∵ 若X～N（μ，σ2），则P (α2)=1－P (|X|<2)= 1－P (－2< P<2 )==1－φ(－0.5) +φ(－2.5)=1－0.3085+0.0062=0.6977P (X>3)=1－P (X≤3)=1－φ=1－0.5=0.5（2）决定C使得P (X > C )=P (X≤C)解：P (X > C )=1－P (X≤C )= P (X≤C)，得P (X≤C )==0.5又P (X≤C )=φ ∴ C =38、设测量误差，进行100次独立测量，求误差的绝对值超过19.6的次数不少于3的概率。

解：误差的绝对值超过19.6的概率为 设Y：100次独立测量中误差超过19.6的次数，则所以【评注】本题用到正态分布的标准化，二项分布的泊松逼近9、计件超产奖，需对生产定额做出规定假设每名工人每月装配的产品数假定希望10%的工人获得超产奖，求工人每月需完成多少件产品才能获得超产奖解：设需要完成n件产品才能获得超产奖则由题意知，要获得超产奖就需生产的产品数大于等于n，所以所以有10、某地区18岁的女青年的血压（收缩区，以mm-Hg计）服从在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X求（1）P (X≤105)，P (100x) ≤ 0.05.解:11、设某城市男子身高，（1）问应如何选择公共汽车的车门高度才能使男子与车门碰头的概率小于0.01？（2）若车门高度为182厘米，求100个男子中与车门碰头的人数不多于2个概率解：因为，所以（1）设车门的高度为h，则当“”时，男子能与车门碰头所以由题意，将其标准化，可得 （2）当男子的身高大于182厘米时，能与车门碰头，所以设Y：100个男子中与车门碰头的人数，则所以所求概率为12、某人到火车站有两条路，第一条路程短，但交通拥挤，所需时间服从；第二条路程长，但意外阻塞较少，所需时间服从。

1）若离开车时间只有60分钟，应选择哪条线路？（2）若离开车时间只有45分钟，应选择哪条线路？解：设X：选择第一条线路到达车站所需的时间，则Y：选择第二条线路到达车站所需的时间，则（1）两条线路在60分钟内到达车站的概率分别为；所以应选第一条2）两条线路在45分钟内到达车站的概率分别为所以应选第二条13、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为：某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开他一个月要到银行5次以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律并求P（Y≥1）解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为因此14、某仪器装有三只独立工作的同型号电气元件，其寿命都服从同一分布，密度函数为，求在仪器使用的最初200小时内，至少有一个电子元件损坏的概率解：设X：电子元件的使用寿命，则，所以A=“使用到200小时，电子元件损坏”，则设Y：三个元件在使用到200小时，损坏的个数，则所以15、设；记，试证对任意总有证：所以.习题2-51、2、3、设，求的密度函数（以c>0为例）解：因为，所以设的分布函数为（1）当时，有，即，此时（2）当时，有，即，此时（3）当时，有，即，此时所以可得同样可讨论c<0时的情形解法2：利用定理求解因为是严格单调函数，所以，；又当时，有所以4、，求的概率密度解：因为，所以设的分布函数为，则当时，所以所以5、设X～N（0，1）（1）求Y=eX的概率密度解：∵ X的概率密度是 Y= g (X)=eX 是单调增函数又 X= h (Y ) = lnY 反函数存在且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=0 β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞∴ Y的分布密度为：（2）求Y=2X2+1的概率密度。

在这里，Y=2X2+1在(+∞，－∞)不是单调函数，没有一般的结论可用设Y的分布函数是FY（y），则 FY ( y)=P (Y≤y)=P (2X2+1≤y) =当y<1时：FY ( y)=0当y≥1时：故Y的分布密度ψ( y)是：当y≤1时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0当y>1时，ψ( y)= [FY ( y)]' = =（3）求Y=| X |的概率密度∵ Y的分布函数为 FY ( y)=P (Y≤y )=P ( | X |≤y)当y<0时，FY ( y)=0当y≥0时，FY ( y)=P (| X |≤y )=P (－y≤X≤y)=∴ Y的概率密度为：当y≤0时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0当y>0时：ψ( y)= [FY ( y)]' =6、设X的密度函数为，分布函数为，求下列函数的概率密度（1）；（2）；（3）解：(1) 当时，，所以当时，，所以当y=0时，，所以（2）所以（3）当时，，所以当时，所以7、某物体的温度T (oF )是一个随机变量，且有T～N（98.6，2），试求θ(℃)的概率密度。

[已知]解：法一：∵ T的概率密度为 又 是单调增函数 反函数存在 且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(－∞, +∞)=－∞ β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(－∞, +∞)= +∞ ∴ θ的概率密度ψ(θ)为 法二：根据定理：若X～N（α1， σ1），则Y=aX+b～N (aα1+b, a2 σ2 )由于T～N（98.6, 2）故 故θ的概率密度为：总复习题。