思路分析非常距离.doc

思路分析：考点解剖：本题以平面直角坐标系为载体，围绕新定义“非常距离”，综合考察了学生的阅读理解能力、分析能力和综合实践应用能力．在（2）中，考察了简单的相似三角形这一知识点．深入理解阅读材料，牢牢把握住“非常距离”的定义，是解决本题的前提条件．压轴点在最后一问，但是整个问题都需要细致的分析才能解决．解题思路：对于（1）中的两个问题，只需准确画图，认真分析，则可以直接求解．为了便于分析，作出图1（过点C作x轴的垂线，过点D作y轴的垂线，两条垂线交于点M，连结CD）、图2（对于⊙O上的每一个给定的点E，过点E作y轴的垂线，过点C作x轴的垂线，两条垂线交于点N，连结CE）．对于（2）中的①，仍然从“非常距离”的定义入手，注意到点D是定点，因此重点分析点C的位置．记当C与点D的“非常距离”最小时，C所在位置的坐标为（x0，x0＋3）．当点C的横坐标大于x0时，线段CM的长度变大，由于点C与点D的“非常距离”是线段CM与线段MD长度的较大值，所以点C与点D的“非常距离”变大；当点C的横坐标小于x0时，线段MD的长度变大，点C与点D的“非常距离”变大．因此，当C与点D的“非常距离”最小时，CM＝MD．（2）中的②，出现了两个动点，此时可以假定点E不动，则问题转化为（2）中的①，点C与点E有最小的“非常距离”．当点E在⊙O上运动时，求这些最小“非常距离”中的最小值，只需使CE的长度最小．因此，将直线沿图中所示由点C到点E的方向平移到第一次与⊙O有公共点，即与⊙O在第二象限内相切的位置时，切点即为所求点E．解答过程：解：（1）①点B的坐标是（0，2）或（0，－2）；（写出一个答案即可）②点A与点B的非常距离的最小值是．（2）①过点C作x轴的垂线，过点D作y轴的垂线，两条垂线交于点M，连结CD．如图1，当点C在点D的左上方且使△CMD是等腰直角三角形时，点C与点D的“非常距离”最小．理由如下：记此时点C所在位置的坐标为（x0，x0＋3）．当点C的横坐标大于x0时，线段CM的长度变大，由于点C与点D的“非常距离”是线段CM与线段MD长度的较大值，所以点C与点D的“非常距离”变大；当点C的横坐标小于x0时，线段MD的长度变大，点C与点D的“非常距离”变大．所以当点C的横坐标等于x0时，点C与点D的“非常距离”最小．∵CM＝x0＋3－1，MD＝－x0，CM＝MD，∴x0＋3－1＝－x0．解得x0＝．∴点C的坐标是．∴当点C的坐标是时，点C与点D的“非常距离”最小，最小值是．②如图2，对于⊙O上的每一个给定的点E，过点E作y轴的垂线，过点C作x轴的垂线，两条垂线交于点N，连结CE．由①可知，当点C运动到点E的左上方且使△CNE是等腰直角三角形时，点C与点E的“非常距离”最小．当点E在⊙O上运动时，求这些最小“非常距离”中的最小值，只需使CE的长度最小．因此，将直线沿图中所示由点C到点E的方向平移到第一次与⊙O有公共点，即与⊙O在第二象限内相切的位置时，切点即为所求点E．作EP⊥x轴于点P．设直线与x轴、y轴分别交于点H、G．可求得HO＝4，GO＝3，GH＝5．可证△OEP∽△GHO．∴，∴，∴OP＝，EP＝，∴点E的坐标为．设点C的坐标为．∵CN＝，NE＝，∴，解得，∴点C的坐标是，∴CN＝NE＝1，∴当点C的坐标是，点E的坐标是时，点C与点E的“非常距离”最小，最小值是1．规律总结：本题是2012年北京中考数学试卷的最后一题，是压轴题．但是难度并不如其前一题高，其难点主要体现在难理解、难分析、难表述．本题涉及的知识点很少，但是分析的过程却比较复杂．可以这么说，此题的分析过程本身就是此题的解答过程．运用数形结合思想是解决本题最有力的工具，运用类比思想，可以让考生准确把握住解题脉搏，方程思想仍然是几何中求未知量的常见思维方式．最小值问题究其本意，其实是研究最优化的问题，此题反复提及“最小值”，是有其现实意义的．非常距离的概念的理解是关键：若，则点与点的“非常距离”为；若，则点与点的“非常距离”为．需要先找 出非常距离，在比较两个 非常距离 的最小值。