范德蒙德行列式的应用.pdf

青岛科技大学本科毕业设计（论文） 1 前言 性代数中，行列式是一个重要的分支，同时在数学的各个领域和其他学科中行列 式都有着广泛普遍的应用 行列式本身有着悠久的历史行列式理论产生于十七世纪末，到十九世纪末，它的理 论体系已基本形成了 早在 1545 年卡当就给出了两个一元方程组的算法，但是未明确提出行列式这个概念 1683 年，日本数学家关孝和首次引进了行列式的概念同年，德国数学家莱布尼茨首先开 始使用指标数的系统集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数 1 莱布尼茨这种 解决方程组的方法为行列式理论的进一步发展奠定了坚实的基础 1771 年，范德蒙德不仅把行列式应用于解线性方程组，而且对行列式理论本身进行了 开创性研究，他是行列式的奠基者范德蒙德以拉格朗日著作中的预解式、置换理论等为 理论基础，为群的概念研究奠定了基础范德蒙德行列式就是由他研究并总结得出的范 德蒙德开创了将方程组与行列式分离开来的先河，他是第一个对行列式进行单独阐述的数 学家他给出了二阶子式及其余子式的概念，并且给出了用二阶子式和它的余子式对行列 式进行展开，从而得出其结果的法则，同时他也给出了专门记录行列式的符号。

1772 年， 皮埃尔-西蒙拉普拉斯在他的论文中给出了子式的概念，他的思想就是基于范德蒙德著作 中将行列式展开为若干个较小的行列式之和的方法自此时起，便是人们对行列式单独研 究的开端 19 世纪才是人们对行列式理论深入研究的新的开始 第一个给出行列式系统理论的是 伟大数学家柯西 他给出了行列式的乘法定理， 双重组标记法等 1832 至 1833 年间卡尔 雅 可得出了关于行列式计算的特殊结果，在此基础之上，1839 年，卡塔兰发现了雅可比行列 式1841 年，雅可比发表了一篇关于函数的线性相关性与雅可比行列式的关系的论文 而范德蒙德行列式是一类特殊的行列式，它有着独特的形式及其简明的计算结果，所 以范德蒙德行列式不仅在数学领域中占据着重要地位，而且在各个领域中也有着广泛的应 用， 比如在进行行列式计算或变换时， 如果我们能适当的变形化成范德蒙德行列式的形式， 就能起到简化解题过程或者是减少计算量的效果在我们运用范德蒙德行列式进行计算或 者变换时，有些行列式经过简单变形后便可应用范德蒙德行列式，但是有些行列式则需要 经过增加一行一列才可以应用范德蒙德行列式的相关性质进行计算；有些行列式则需经过 加边、拆行方可利用范德蒙德行列式；当我们遇到含有齐式元素的行列式时，我们则可以 考虑利用行列式的乘法转化成两个行列式的积，进而在应用范德蒙德行列式进行简化计 算；当我们遇到含有二项式元素的行列式时，我们可以利用行列式的乘法后，再应用范德 蒙德行列式进行计算；当我们遇到以多项式系数和常数项为元素的的行列式的时候，我们 可以借助单位原根以及范德蒙德行列式进行运算，从而也就出现了范德蒙德行列式的推广 形式。

由此可见，范德蒙德行列式是行列式中及其重要的一种形式 范德蒙德行列式的应用 2 1 范德蒙德行列式的定义及性质 1.1 基本定义 形如 123 2222 123 1111 123 1111 n n nnnn n xxxx xxxx xxxx 的行列式，称为 1 x ， 2 x ，， n x 的n阶范德蒙德 （Vandermonde）行列式 2 记作 12 ,,, nn Vx xx 范德蒙德行列式结构特点： （1）第一行或者第一列所有元素均为 1； （2）后一行或者是一列与前一行或者一列的比为 i x ； （3） i x 的指标数从 0 逐行或者列递增至1n 1.2 计算公式 n阶范德蒙德行列式的求值公式为 123 2222 12123 1 1111 123 1111 ,,,() n nnnij j i n nnnn n xxxx Vx xxxxxxxx xxxx , （1-1） 推导出这个计算公式的方法通常分为数学归纳法和递推法在这里，我们将对这两种 方法进行介绍 1.2.1 方法一：数学归纳法 3 在高中数学中，我们就已经学习了用数学归纳法来证明与自然数N有关的命题，这种 方法在高等数学中同样应用广泛。

运用数学归纳法来推导n阶范德蒙德行列式的步骤如下： （1）当2n 时,验证 221 Vxx成立 （2）假设这个公式对于1n阶的范德蒙德行列式成立，那么对于n阶范德蒙德行列式 则有： 首先要把 n V 降阶， 从第n行起后一行减去前一行的 1 x倍， 然后按照第一行进行展开， 就能得到 213111 ()()() nnn Vxxxxxx V ，重复上述步骤不断推导下去，于是就有 青岛科技大学本科毕业设计（论文） 3 n V =() ij xx，其中表示连乘，, i j的取值为2jin ，原命题得证 1.2.2 方法二：递推法 递推法同样是初等数学中常用的归纳总结的方法，他的特点是化难为易、化简为繁 运用递推法来推导n阶范德蒙德行列式的过程如下： 已知有n阶范德蒙德行列式 12 ,,, nn Vx xx = 21311 222 22 133 11 121212 2213311 1111 0--- 0--- 0--- n nn nnnnnn nn x xx xx x x x xx x xx x x xxxxxxxxx = 21311 2213311 222 2213311 --- (- )(- )(- ) (- )(- )(- ) n nn nnn nn x xx xx x xx xx x xxx x xx xxx xxx x = 2131112 ()()()(,,) nnn xxxxxx Vxx , 仿照上述做法则有 123242223 (,,)()()()(,,) nnnnn Vxxxxxxxx Vxx , 再递推下去，直到 1 1V ，则有 12 ,,, nn Vx xx = 21311324221 ()()() ()()()() 1 nnnn xxxxxxxxxxxxxx = 1 () ij j i n xx . 事实上，除这两种方法外，还有一种方法消元法，但是由于消元法与数学归纳法 本质上同一种算法，因此本文中不对消元法的推导过程进行赘述。

1.3 性质 根据上述两节对范德蒙德行列式的定义和计算推导，再结合我们曾经学过的高等代数 中的行列式相关知识，可以总结出范德蒙德行列式的以下五个性质： 性质 1：将范德蒙德行列式逆时针旋转90，得到 范德蒙德行列式的应用 4 1 (1)1 11 2 1 11 1 1 ( 1) 1 n nn n nn nn n n xx xx D xx . （1-2） 性质 2：将范德蒙德行列式顺时针旋转90，得到 1 11 (1)1 22 2 1 1 1 ( 1) 1 n n nn n n nn xx xx D xx . （1-3） 性质 3：将范德蒙德行列式旋转180，得到 111 11 11 111 nnn nn n n xxx D xxx . （1-4） 性质 4：一个n阶范德蒙德行列式为 0 的充分必要条件是 12 ,,, n x xx中至少有两个相 等 性质 5：关于n阶范德蒙德行列式的偏导数有如下定理： 定理 1 4 12 ,,, n x xx阶范德蒙德行列式的偏导数 12 1 ( ,,,)() nij j i n F x xxxx , （1-5） 由范德蒙德行列式的定义知， 12 ( ,,) n F x xx是 12 ,,, n x xx的n元函数。

青岛科技大学本科毕业设计（论文） 5 2 范德蒙德行列式的推广 在原有的形式上，范德蒙德行列式的推广形式通常可以总结为三种推广形式，分别为 跳行范德蒙德行列式、合流范德蒙德行列式以及广义范德蒙德行列式，接下来我们将对这 三种形式进行介绍 2.1 跳行范德蒙德行列式 跳行范德蒙德行列式又称缺行范德蒙德行列式，也叫做超范德蒙德行列式或准范德蒙 德行列式此行列式与范德蒙德行列式的区别在于 k i a的幂跳过 k i a 跳行范德蒙德行列式 5 为如下形式： 12 222 12 1 111 12 111 12 12 111 det n n kkk n kkk n nnn n aaa aaa V aaa aaa aaa . 对于这种形式的行列式，我们自然会想要把缺了的幂补起来，再利用范德蒙行列式 为了计算该行列式，构造多项式( )f x如下： 12 222 12 1111 12 12 1111 12 11 1111 ( ) n n kkkk n kkkk n kkkk n nnnn n aaax aaax f xaaax aaax aaax aaax 2131113222 =()()()()()()()() nnn aaaaaaxaaaaaxaxa 12 1 =()()()() nij j i n xaxaxaxx . （2-1） 该 行 列 式 中 第1k 行 、 第1n列 元 素 1k x 的 代 数 余 子 式 为 范德蒙德行列式的应用 6 11 1,111 det( 1)det( 1)det knk n kn AVV ， 由 （ 2 - 1 ） 式 可 得 k x的 系 数 为 12 12 ,,,1 ( 1)() n k n k n k pppji p ppij n x xxxx ，k=0,1,2，，n，其中 1 p ， 2 p ，， n k p 是 1，2，，n中nk个数的一个排列， 12 ,,, n k p pp 表示所有nk阶排列的和。

比较 k x的系数可得 12 12 1 ,,,1 det() n k n k pppji p ppij n Vx xxxx ，k=0，1，2，，n；特 别地，当kn，并且取 0 1 p x时，即可得范德蒙德行列式 2.2 合流范德蒙德行列式 给 定 t 个 互 异 的 数 12 ,,, t 和 正 整 数 12 ,,, t n nn， 记 1 t i i nn ， 21 ( )(1, ,,,) nT v xx xx ，称如下形式的n阶行列式 11 111 det= (),(),,(),, (), (),,() , tt nn tttt Vvvvvvv （2-2） 为合流范德蒙德行列式，当tn且 12 === =1 t nnn时，det t V 是通常的范德蒙德行列式 为了计算n阶合流范德蒙行列式 6 ，设n维向量 12, =(,,,,0,,0) t T n nq aaaa ， (1,2,,) t qn，满足 1 11 12, 1 ( )=()() j t t t n n nqTq n nqtj j av xaa xaxxx . （2-3） 比较上式两边 1 t n nq x 的系数，可知， , 1 t q n nq a ，且有 11 1 1 11 1 ( )|=()() | j ii kk t n Tq qxiix kk j dd av xxx dxdx = 1 1 0,1,2,,1;1,2,,,; (1)!(),. t t tj j itknit kq qitkq 或 且 （2-4） 构造n阶矩阵 ( )( ) 11 (,,,,,) tt nnT n。