求解二元一次方程组例题与讲解.doc

5．2　求解二元一次方程组例题与讲解1．用代入消元法解二元一次方程组(1)代入法的定义：在二元一次方程组中，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法．(2)代入法解二元一次方程组的基本思想是：通过代入达到消元的目的，从而将解二元一次方程组转化为解一元一次方程．其步骤为：①变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程化为用含一个字母的代数式表示另一个字母．例如y，用含x的代数式表示出来，得y＝ax＋b.②代入：将y＝ax＋b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程．③解元：解所得的一元一次方程，求出x的值．④求值：把求得的x的值代入y＝ax＋b中，求出y的值，从而得到方程组的解．⑤把求得的x，y的值联立起来就是方程组的解．谈重点 代入消元法解二元一次方程组代入消元法是通过代入将“二元”变为“一元”的，体现了“转化”的思想方法．对于一般形式的二元一次方程用代入法求解关键是选择哪一个方程变形，消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错，选取的原则是：①选择未知数的系数是1或－1的方程；②常数项为0的方程；③若未知数的系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程，将要消的元用含另一个未知数的代数式表示，再把它代入没有变形的方程中去．这样就把二元一次方程组转化为一元一次方程了．总之，用代入消元法解二元一次方程组时，一定要使变形后的方程比较简单或代入消元后化简比较容易，这样不但避免错误，还能提高运算速度．【例1－1】 解方程组：分析：方程①中y的系数为－1，容易把它化为用含x的代数式表示y，故把①变形为y＝3x－5③，然后代入方程②转化为关于x的一元一次方程求出x，再代入③求出y即可．解：把①变形为y＝3x－5.③把③代入②，得2x＋3(3x－5)＝7.解得x＝2.把x＝2代入③，得y＝1.故原方程组的解为析规律 用代入消元法解方程的条件当有一个方程的某个未知数的系数为1或－1时，选择该方程变形，并用含另一个未知数的代数式表示该未知数，然后代入另一个方程．【例1－2】 解方程组：分析：这两个方程中未知数的系数都不是1，那么如何求解呢？消哪一个未知数呢？如果将2x－7y＝3写成用一个未知数来表示另一个未知数，那么用x表示y，还是用y表示x好呢？观察方程组，因为x的系数为正数，且系数也较小，所以应用y来表示x较好．解：由方程2x－7y＝3变形，得x＝.将x＝代入方程3x－8y＝10，得3×－8y＝10，解得y＝.再把y＝代入x＝，得x＝.因此原方程组的解是2．用加减消元法解二元一次方程组(1)加减法的定义：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．(2)加减法的基本思想是：解二元一次方程组时，使方程组中同一个未知数的系数相等或是互为相反数，再将所得两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，从而转化为一元一次方程．其步骤为：①变形：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就要用适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相等或互为相反数．②加减：当同一个未知数的系数互为相反数时，用加法消去这个未知数，得到关于另一个未知数的一元一次方程；当同一个未知数的系数相等时，用减法消去这个未知数，得到关于另一个未知数的一元一次方程．③解元：解所得的一元一次方程，求出未知数的值．④求值：把求出的未知数的值代入原方程组中的任一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．⑤求得的两个未知数的值联立起来就是方程组的解．谈重点 加减消元法解二元一次方程组当方程组中两个未知数的系数均不成整数倍时，一般选择系数较为简单的未知数消元，将两个方程分别乘以某个数，使该未知数的系数的绝对值相等，再加减消元求解，但必须注意，在方程两边同乘以某个数时，每一项都要乘，尤其常数项不要漏乘．【例2－1】 解方程组：分析：两个方程中未知数y的系数正好互为相反数，可将两方程直接相加消元求出x，再代入①或②求出y即可．解：①＋②，得5x＝5，x＝1.把x＝1代入②，得y＝－.故原方程组的解为点技巧 巧用加减消元法当方程组中两个方程中的同一个未知数的系数的绝对值相等时，可直接用加减法进行消元．【例2－2】 解方程组：分析：两个方程中的未知数x的系数成倍数关系，可通过将x的系数化成相等后消元，求出y，再代入②求出x即可．解：由②×3，得3x＋9y＝12.③③－①，得11y＝11，y＝1.把y＝1代入②，得x＝1.故原方程组的解为析规律 变系数，用加减消元法解方程组如果方程组中未知数的系数的绝对值不相等，这时可以变化其中一个未知数的系数，使其系数的绝对值相等．3．灵活选用代入法或加减法解二元一次方程组本节的重点是灵活选用代入法或加减法解二元一次方程组，特别是在实际情景中的应用，难点是需变形的二元一次方程组的求解问题．【例3－1】 解方程组：①,②分析：方程组中的系数是分数或小数，一般要化成整数后再消元．方程①可化为4x＋3y＝12，方程②可化为3x＋4y＝16，利用加减法求解即可．解：①×12，②×10得③＋④，得7x＋7y＝28，即x＋y＝4.⑤③－④，得x－y＝－4.⑥解由⑤、⑥组成的方程组，得点评：当二元一次方程组的形式较复杂时，一般要把它化为形式简单的方程组，再消元求解．【例3－2】 解方程组：分析：先化简，再观察系数的特点，再选择方法求解．解：化简方程组，得 ①×2＋②×3，得19x＝38，x＝2.把x＝2代入①，得y＝2.故原方程组的解为析规律 化简较复杂的方程组为基本形式当方程组比较复杂时，应通过去分母，去括号，移项，合并同类项等，使之化为的形式(同类项对齐)，为消元创造条件．4．换元法解二元一次方程组换元消元法：解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这种方法叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化，使复杂问题简单化，使问题变得容易处理．换元法又称辅助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，把隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．换元法要注意变量之间的等价性，消元的实质是由繁到简、由难到易、由多(元)到少(元)的转化方法．析规律 用换元法解二元一次方程组当二元一次方程组的结构比较复杂，但又有一定的规律时，可以考虑利用换元法，从而使原方程组变成结构比较简单、求解方便的二元一次方程组．【例4】 解方程组：分析：考虑方程组的结构虽然比较复杂，但还是有一定的规律：x＋y和x－y的相同因子．故可以通过换元，设x＋y＝m，x－y＝n，这样就可以化复杂为简单，从而能快速、准确地求解．解：设x＋y＝m，x－y＝n，则原方程组可变形为即解得因此解得故原方程组的解为5．整体思想解二元一次方程组整体思想：利用整体代入法或整体加减法解二元一次方程组可避繁就简、减少错误、简化运算．如解方程组：通过观察两个方程都有2x－3y，于是考虑整体代入②即可．由①得2x－3y＝2，③把③代入②，得＋2y＝9.解得y＝4.把y＝4代入①得2x－3×4－2＝0，解得x＝7.故原方程组的解是析规律 用整体思想解方程组解题时要注意观察两式子的共同部分，把它们看成一个整体．利用“整体思想”可以避繁就简地帮助解决问题．【例5】 解方程组： 分析：方法一：将两个方程化简后，再利用代入法解答；方法二：根据方程组的特点考虑把(x＋y)，(x－y)看成一个整体，利用整体加减法解答．解法一：原方程可化为①×3－②，得32y＝－64，y＝－2.把y＝－2代入①，得x＝5.故原方程组的解为解法二：把(x＋y)、(x－y)看成整体，①－②×3，得x＋y＝3.③把③代入②，得2(x－y)－5×3＝－1，即x－y＝7.④由③、④联立方程组，得解得。