复习课：用待定系数法求函数解析式.ppt

2、、待定系数法求函数解析式待定系数法求函数解析式的的一般步骤：一般步骤：（（1））设设：设：设出函数解析式，其中包括未知的系数；出函数解析式，其中包括未知的系数；（（2））列列：：把自变量与函数的对应值代入函数解析式把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组中，得到关于待定系数的方程或方程组；；（（3））解解：：解方程（组）求出待定系数的解方程（组）求出待定系数的值；值；（（4））写写：：写出函数解析式写出函数解析式.温故知新温故知新1、、待定系数法待定系数法的含义：的含义： 先设出函数解析式，先设出函数解析式，再根据条件列出方程或方程再根据条件列出方程或方程组，求出未知的系数，从而具体写出函数解析式的组，求出未知的系数，从而具体写出函数解析式的方法，方法，叫做叫做待定系数法待定系数法. 用待定系数法求一次函用待定系数法求一次函  数和反比例函数解析式数和反比例函数解析式例例1 1、已知一次函数的图象经过点、已知一次函数的图象经过点(3,5)(3,5)与（－与（－4 4，－，－9 9））. .求这个一次函数的解析式．求这个一次函数的解析式． 解：设一次函数的解析式为解：设一次函数的解析式为y=kx+b（（k≠0））∵∵y=kx+b的图象过点（的图象过点（3，，5）与（）与（-4，，-9）） 3k+b=5∴∴ - 4k+b=-9 k=2解得解得 b=-1 ∴∴一次函数的解析式为一次函数的解析式为y=2x-1.例例2 2、（威海、（威海··中考）如图，一次函数中考）如图，一次函数y=kx+by=kx+b的图象与反比的图象与反比例函数例函数 的图象交于点的图象交于点A A（（-2-2，，-5-5），），C C（（5 5，，n n），），交交y y轴于点轴于点B B，交，交x x轴于点轴于点D.D.（（1 1）求反比例函数）求反比例函数 和一次函数和一次函数y=kx+by=kx+b的解析式；的解析式；（（2 2）连接）连接OAOA、、OCOC，求，求△AOC△AOC的面积的面积. .解：解：(1)∵(1)∵反比例函数反比例函数 的图象经过点的图象经过点A A（（-2-2，，-5-5），），∴m=∴m=(-2)(-2)××(-5)=10.(-5)=10.∴∴反比例函数的解析式为反比例函数的解析式为∵∵点点C C（（5,n5,n）在反比例函数的图象上，）在反比例函数的图象上，∴n= =2.∴n= =2.∴C∴C的坐标为（的坐标为（5 5，，2 2））. .∵∵一次函数的图象经过点一次函数的图象经过点A A，，C C，将这两个点的坐标代入，将这两个点的坐标代入y=kx+by=kx+b，得，得∴∴所求一次函数的解析式为所求一次函数的解析式为y=x-3.y=x-3.（（2 2））∵∵一次函数一次函数y=x-3y=x-3的图象交的图象交y y轴于点轴于点B B，，∴B∴B点坐标为（点坐标为（0 0，，-3-3））∴OB=3.∴OB=3.∵A∵A点的横坐标为点的横坐标为-2-2，，C C点的横坐标为点的横坐标为5,5, ∴S∴S△AOC△AOC=S=S△AOB△AOB+S+S△BOC△BOC= = · OB OB *|-2|+ |-2|+ · OB OB * 5 5= = · OB OB *（（2+52+5））= =例例3 3、、( (成都成都··中考中考) )如图，已知反比如图，已知反比例函数例函数 与一次函数与一次函数y=x+by=x+b的图象的图象在第一象限相交于点在第一象限相交于点A A（（1 1，，-k+4-k+4））. .（（1 1）试确定这两个函数的解析式）试确定这两个函数的解析式. .（（2 2）求出这两个函数图象的另一个交点）求出这两个函数图象的另一个交点B B的坐标，并的坐标，并根据图象写出反比例函数的值大于一次函数的值的根据图象写出反比例函数的值大于一次函数的值的x x的取值范围的取值范围. .解解:(1):(1)把把A A点坐标代入反比例函数解析式点坐标代入反比例函数解析式 ，得：，得：-k+4=k,-k+4=k,解得解得k=2,k=2,把把A A（（1 1，，2 2）代入）代入y=x+by=x+b，得，得: :1+b=21+b=2解得解得b=1,b=1,∴∴这两个函数的解析式为：这两个函数的解析式为：y= y= 和和y=x+1.y=x+1.(2)(2)由方程组由方程组∴B∴B点的坐标为点的坐标为(-2,-1).(-2,-1).由图象得反比例函数的值大于一次函数的值的由图象得反比例函数的值大于一次函数的值的x x的取值范围是：的取值范围是：0 0＜＜x x＜＜1 1或或x x＜＜-2.-2.用待定系数法求二次函数解析式用待定系数法求二次函数解析式 二次函数常用的几种解析式的确定二次函数常用的几种解析式的确定已知抛物线上已知抛物线上三点的坐标三点的坐标，通常选择一般式。

通常选择一般式已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值），顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式通常选择顶点式 已知抛物线已知抛物线与与x轴的交点坐标轴的交点坐标，选择交点式选择交点式1、一般式、一般式2、顶点式、顶点式3、交点式、交点式                     1、、一般式一般式y=ax2+bx+c (a≠0)                  已知图象上三点坐标，特别是已知函数图已知图象上三点坐标，特别是已知函数图象与象与y y轴的交点坐标（轴的交点坐标（0 0，，c c）时，使用一般）时，使用一般式很方便式很方便    解：设二次函数解析式为解：设二次函数解析式为y=a x2 +bx+c     ∵∵  图象过图象过B(0,2)            ∴∴  c=2     ∴∴  y=a x2 +bx+2     ∵∵ 图象过图象过A(2,-4),C(-1,2)两点两点     ∴∴   -4=4a+2b+2                  2=a-b+2                          a=-1     解得解得     b=-1     ∴∴  函数的解析式为：函数的解析式为： y=- x2 -x+2例例1、、已知二次函数图象经过已知二次函数图象经过A(2,4),B(0,2), C(-1,2)三三点，求此函数的解析式。

点，求此函数的解析式   2 2、、顶点式顶点式         y=a(x-h)2+k (a≠0)　　    已知对称轴方程已知对称轴方程x=h、、最值最值k或顶或顶点坐标点坐标（（h,k）） 时优先选用顶点式时优先选用顶点式　　             解法解法1：（利用顶点式）：（利用顶点式）设二次函数解析式为：设二次函数解析式为： y=a(x-h)2+k  (a≠0)∵∵  当当x=3时，有最大值时，有最大值4∴∴  顶点坐标为顶点坐标为(3,4) ，即，即h= 3, k= 4∴∴  y=a(x-3)2+4∵∵  函数图象过点（函数图象过点（4，，- 3））∴∴  a(4 - 3)2 +4 = - 3∴∴  a= -7∴∴  y= -7(x-3)2+4= -7x2+42x-59∴∴ 二次函数的解析式为：二次函数的解析式为： y= -7x2+42x-59例例2、、已知一个二次函数的图象经过点已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)，并，并且当且当x=3时有最大值时有最大值4，试确定这个二次函数的解，试确定这个二次函数的解析式解法解法2：（利用一般式）：（利用一般式）设二次函数解析式为：设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c (a≠0)由题意知由题意知  16a+4b+c = -3        -b/2a = 3     (4ac-b2)/4a = 4 a= -7解得解得 b= 42 c= -59∴∴ 二次函数的解析式为：二次函数的解析式为： y= -7x2+42x-59 3 3、交、交点式点式  (a≠0)y=a(x-x1)(x-x2)       已知已知函数与函数与X轴交于轴交于(x1 , 0 )，，(x2 , 0 )时时优先选用优先选用交交点式。

点式解法解法1：（：（交点式交点式））因为函数与因为函数与X轴的轴的两两个交点的横坐标个交点的横坐标为为x1=-1、、x2=3设二次函数解析式为设二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2)  即即y=a(x+1)(x-3)∵∵ 函数图象过点函数图象过点(1,4)∴∴ 4 =a(1+1)(1-3)   得得  a= -1∴∴ 函数的解析式为：函数的解析式为：y= -1(x+1)(x-3)即即y = -x2+2x+3例例3、、二次函数图象经过点二次函数图象经过点  (1,4),(-1,0)和和(3,0)三点，求二次函数的解析式三点，求二次函数的解析式解法解法2：（：（一般式一般式））   设二次函数解析式为设二次函数解析式为   y=ax2+bx+c   ∵∵二次函数图象过点二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和和(3,0)          a+b+c=4          ∴∴  a-b+c=0                9a+3b+c=0                    a= -1解得，解得，    b=2               c=3  ∴∴  函数的解析式为：函数的解析式为：y= -x2+2x+3解法解法3：（：（顶点式顶点式））∵∵  抛物线与抛物线与x轴相交两点轴相交两点(-1,0)和和(3,0) ，，∴∴ 对称轴为对称轴为x=(-1+3)/2=1∴∴  点点(1,4)为抛物线的顶点为抛物线的顶点由题意设二次函数解析式为：由题意设二次函数解析式为：y=a(x-1)2+4 ∵∵抛物线过点抛物线过点(-1, 0)∴∴ 0=a(-1-1)2+4   得得   a= -1∴∴ 函数的解析式为：函数的解析式为：y= -1(x-1)2+4  = -x2+2x+3例例4、、如图，抛物线如图，抛物线y=x2-bx+c交交x轴于点轴于点A（（1，，0），），交交y轴于点轴于点B，对称轴是，对称轴是x=2. （（1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（（2）点）点P是抛物线对称轴上是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点的一个动点，是否存在点P，，使使△△PAB的周长最小？若存的周长最小？若存在，求出点在，求出点P的坐标；若不存的坐标；若不存在，请说明理由在，请说明理由. 解：（解：（1）由题意）由题意,得得1-b+c=0,　　　　=2. 解得解得b=4，，c=3. ∴ ∴抛物线的解析式为抛物线的解析式为y=x2-4x+3. （（2）存在）存在. ∵ ∵点点A与点与点C关于关于x=2对称，对称，∴ ∴如答图如答图1-3-13-1，连接，连接AP，，连接连接BC与对称轴与对称轴x=2交于点交于点P，，则点则点P即为所求即为所求. 根据抛物线的对称性可知，点根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（的坐标为（3，，0），），y=x2-4x+3与与y轴的交点为轴的交点为B（（0，，3））.∴ ∴设直线设直线BC的解析式为的解析式为y=kx+b，将以上两点代入，，将以上两点代入，得得3k+b=0,　　b=3. 解得解得k=-1，，b=3.∴ ∴直线直线BC的解析式为的解析式为y=-x+3. 则直线则直线BC与与x=2的交点坐标为（的交点坐标为（2，，1））.∴ ∴点点P的坐标为（的坐标为（2，，1））. 中考考题精练1、、（（2015广东）如图，反比例函数广东）如图，反比例函数y=    （（k≠0，，x＞＞0）的图象与直线）的图象与直线y=3x相交于点相交于点C，过直线上点，过直线上点A（（1，，3）作）作AB⊥⊥x轴于点轴于点B，交反比例函数图象于点，交反比例函数图象于点D，且，且AB=3BD. （（1）求）求k的值；的值；（（2）求点）求点C的坐标；的坐标；（（3）在）在y轴上确定一点轴上确定一点M，使点，使点M到到C，，D两点距离之和两点距离之和d=MC+MD最小，求点最小，求点M的坐标的坐标. 2、（、（2017齐齐哈尔）如图，已知抛物线齐齐哈尔）如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与与x轴交于点轴交于点A（（-1，，0）和点）和点B（（3，，0），与），与y轴交于点轴交于点C，连接，连接BC交抛物线的对称轴于点交抛物线的对称轴于点E，，D是抛物线的顶点是抛物线的顶点. （（1）求此抛物线的解析式；）求此抛物线的解析式；（（2）直接写出点）直接写出点C和点和点D的坐标；的坐标；（（3）若点）若点P在第一象限内的抛物线上，在第一象限内的抛物线上，且且S△ △ABP=4S△ △COE，求点，求点P的坐标的坐标. 解：（解：（1）将点）将点A（（-1，，0）和点）和点B（（3，，0））代入代入y=-x2+bx+c,得得-1-b+c=0,　　-9+3b+c=0. 解得解得b=2,　　c=3.∴ ∴抛物线的解析式为抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.（（2）令）令x=0，则，则y=3，，∴ ∴C（（0，，3））.∵ ∵y=-x2+2x+3=-（（x-1））2+4，，∴ ∴D（（1，，4））.（（3）设）设P（（x，，y）（）（x＞＞0，，y＞＞0），），S△ △COE=　　　　×1×3=　　，　　，S△ △ABP=　　　　×4y=2y.∵ ∵S△ △ABP=4S△ △COE，，∴ ∴2y=4×　　　　.∴ ∴y=3.∴ ∴-x2+2x+3=3.解得解得x1=0（不合题意，舍去），（不合题意，舍去），x2=2. ∴ ∴P（（2，，3））. 。