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平方根数列递推公式推导通项公式.doc

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卖家[上传人]：平***

文档编号：12251335

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平方根数列递推公式推导通项公式可以用以下关于数列{a n}的递推公式来计算平方根（a > 0）的近似值aan = (an − 1 + )（a > 0，n∈N +）12 aan − 1数列{a n}的初值为 a0，这里 a0 可以为任意接近于的有理数可以证明，对于任意的正数aa，当 n → ∞时，数列{a n}收敛，极限为，因此 a0 也可以取为任意正数a下面根据数列{a n}的递推公式和初值 a0 导出{a n}的通项公式 an，推导过程如下an − = (an − 1 + ) − = a12 aan − 1 aan + = (an − 1 + ) + = a12 aan − 1 a以上两式作比值可得= ( )2为了方便计算，记 bn = ，则 an = ，可得 bn = （n∈N +），于是1 + bn1 − bn a b 2n − 1bn = = ( )2 = (( )2)2 = … = （n∈N +）b2 n − 1 b 2 n − 2 b 2 n − 3 b根据数列{a n}的递推公式和 an 与 bn 之间的关系，可以得到a1 = (a0 + ) = ，b 1 = = ( )212 aa0于是bn = = = （n∈N +）b [因此an = = （n∈N +）1 + bn1 − bn a a因为 a > 0，a 0 > 0，容易证明不等式− 1 0，n∈N +）a。

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