多维随机变量习题解析.doc

第三章 多维随机变量及其分布1.设二维随机变量(x，h)只能取下列数组中的值： (0，0)，(-1，1)，(-1，1/3)，(2，0)且取这些组值的概率依次为1/6，1/3，1/12，5/12，求表示这二维随机变量的联合分布律的矩形表格 解：由题设可得(x，h)的联合分布律如下： h x01/31-101/121/301/60025/12002.一口袋中装有三个球，它们依次标有数字1，2，2从这袋中任取一球，不放回袋中，再从袋中任取一球设每次取球时，袋中各个球被取到的可能性相同以x，h分别记第一次、第二次取得的球上标有的数字，求(x，h)的联合分布律解：(x，h)的可能性取值为数对(1，2)、(2，1)、(2，2)，先计算取每一数对的概率： P{(x，h)=(1，2)}=(1/3)´1=1/3； P{(x，h)=(2，1)}=(2/3)´(1/2)=1/3； P{(x，h)=(2，2)}=(2/3)´(1/2)=1/3；将上述结果列表如下：h x12101/321/31/33.一整数n等可能地在1，2，3，…，10十个值中取一个值，设x=x(n)是能整除n的正整数的个数，h=h (n)是能整除n的素数的个数(注意：1不是素数)，试写出x和h联合分布律。

解：依题意有： n：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x(n)：1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 h(n)：0 1 1 1 1 2 1 1 1 2因此x=1，2，3，4；h=0，1，2由此易求得x和h联合分布律为： h (n) x (n)123401/10000104/102/101/1020002/104.设随机变量(x，h)的联合概率密度为 (1)确定常数k； (2)求；(3)求； (4)求解：(1) 由概率密度的性质知： ,即 8k=1 ∴ k=1/8;(2) ;(3) ;(4)5.设二维随机变量(x，h)的联合分布函数为： 试求(1)联合概率密度f(x，y)；(2)解：(1) (2)P{0

解：x、h的取值均为1，2，3，因而( x，h)的可能取值为 (1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，3)、(3，1)、(3，2)由此可算得P{x=1，h=2}=(1/4)´(2/3)=1/6，类似地可计算( x，h)取其他值的概率，列表如下： h x123101/61/1221/61/61/635/151/607.已知在有一级品2件，二级品5件，次品1件的口袋中，任取其中的3件，用x表示所含的一级品件数，h表示二级品件数试求：(1)( x，h)的联合分布律；(2)关于x和关于h的边际分布律；(3) 解：(1)显然x的可能取值为0，1，2；h的可能取值为0，1，2，3计算相应的概率为，类似地，可计算其它概率，列表如下(含边际分布列)： hx0123x的边际分布列00010/5610/5620/561010/5620/56030/5621/565/56006/56h的边际分布列1/5615/5630/5610/561 (1)因0=P{x=1，h=1}≠P{x=1}´P{h=1}=(20/56)´(1/56)，故x、h不独立。

(2)P{x<1.5，h<2.5}= P{x=0，h=0}+ P{x=1，h=0}+ P{x=0，h=1}+ P{x=1，h=1}+ P{x=0，h=2}+P{x=1，h=2}=40/56； (3)P{x≤2}=1，P{h<0}=08.已知二维随机变量(x，h)的联合概率密度为 试确定待定系数c，并求关于x、h的边际概率密度解：确定常数c.由 = 即得当0≤x,y≤π/4时,有 因,且,故 于是显然当及时,因有于是 由对称性易知 9.设二维随机变量(x，h)在区域G上服从均匀分布，其中 试求(x，h)的联合概率密度及x和h的边际概率密度解：从图(图略)易知G的面积，因此(1)联合分布函数为(2)(3)10.已知x服从参数p=0.6的(0-1)分布，且在x=0及x=1下，关于h的条件分布分别如下表表示：h 1 2 3h 1 2 3P{h|x｝=0 1/4 1/2 1/4P｛h/x=1｝ 1/2 1/6 1/3求二维随机变量(x，h)的联合概率分布，以及在h≠1时关于x的条件分布。

解：显然(x，h)的可能取值为(0，1)、(0，2)、(0，3)、(1，1)、(1，2)、(1，3)利用条件概率可求得联合分布律如下： h x12300.10.20.120.30.10.2例如，P{x=0，h=1}= P{x=0}P{h=1|x=0}=0.4´(1/4)=0.1,其它类似 (2)P{x=0|h≠1}=； P{x=1|h≠1}=因此，h¹1时关于x的条件分布为x01p0.50.511.在第2题中的两个随机变量x与h是否独立？当x=1时，h的条件分布是什么？解：不独立；因为P{h=2|x=1}=1，而P{h=2}·P{x=1}=(2/3)·(1/3)≠P{h=2|x=1} 12.设二维随机变量(x，h)的联合概率密度为 试求(1)条件概率密度 解：(1)因为故 ；(2)由于 故 .13.设随机变量(x，h)的概率密度为 求条件概率密度 解： ∴当0

解：(1)由题设可知由此可得( x，h)的联合分布律为 h x012300.280.140.070.2110.120.060.030.09(2) =x+h的取值为0，1，2，3，4因此可得P{=0}=P{x=0，h=0}=0.28， P{=1}=P{x=0，h=1}+P{x=1，h=0}=0.14+0.12=0.26类似可求取其它值的概率，列表如下：x+h01234p0.280.260.230.240.0915.设x和h是两个独立的随机变量，x在[0，1]上服从均匀分布，h的概率密度为 (1)求x和h的联合概率密度； (2)设含有a的二次方程为a2+2xa+h=0，试求a有实根的概率 解：(1)∵x 在(0，1)上服从均匀分布 ∴ 且 又x和h相互独立 ∴ (2)若二次方程a2+2xa+h=0有实根，必须4x2-4h≥0，因而所求概率为 16.设(x，h)的联合概率密度为 ，(1)求待定系数k；(2)求关于x和关于h的边际概率密度；(3)判定x，h的独立性 。

解：(1)因为 ，故有 ；因此2) ，类似地，可求得 (3)因为 ，故x与h相互独立17.如果x，h的联合分布律用下列表格给出：(x，h)(1，1)(1，2)(1，3)(2，1)(2，2)(2，3)p1/61/91/181/3αβ那末α、β取什么值时，x，h才相互独立？解：因所给的联合概率分布表中第一行的概率元素不含待定常数,易求得边缘分布: p1.=P(X=1)=1/6+1/9+1/18=1/3.又由独立性,可求得另一随机变量Y的边缘分布: p(Y=1)=P(X=1,Y=1)/P(X=1)=(1/6)/(1/3)=1/2, p(Y=2)=P(X=1,Y=2)/P(X=1)=1/3, p(Y=3)=P(X=1,Y=3)/P(X=1)=1/6.又 p(X=2)=P(X=2,Y=1)/P(X=1)=(1/3)/(1/2)=2/3,于是 α=P(X=2,Y=2)=P(X=2)P(Y=2)=(2/3)×(1/3)=2/9; β=P(X=2,Y=3)=P(X=2)P(Y=3)=(2/3)×(1/6)=1/9.18.设二维随机变量(x，h)的联合分布律为： hx-2-10-11/121/123/121/22/121/12032/1202/12试求(1) x+h；(2) x-h；(3) x2+h-2的分布律。

解：(1)x+h的可能取值为-3，-2，-1，-3/2，-1/2，1/2，1，2，3其概率P{x+h=-3}=P{x=-1，h=-2}=1/12，P{x+h=-2}=P{x=-1，h=-1}=1/12，类似地可求得x+h取其它值的概率，列表如下：.x+h-3-2-1-3/2-1/213p1/121/123/122/121/122/121/12 (2) 类似地可求得x-h的分布律如下：x-h-1013/25/235p3/121/121/121/122/122/122/12 (3) x2+h-2的分布律如下：x2+h-2-15/4-3-11/4-2-157p。