挑战满分大题专练（十二）—导数（1）.doc

挑战满分大题专练（十二）—导数（1）1．已知函数．（Ⅰ）已知曲线在点，（1）处的切线方程为，求的值；（Ⅱ）若存在，，使得，求的取值范围．解：（Ⅰ）由切线方程为，可得斜率，因为，，所以（1），解得．（Ⅱ）存在，，使得，当时，成立，，当，时，即有解，令，则，设，，因为，，所以，单调递减，所以（1），所以，所以在，上单调递增，所以（1），所以．综上可得，若存在，，使得，则的取值范围是，．2．已知函数．（1）求的单调区间；（2）当时，证明：．解：（1），令，解得：，令，解得：或，故在递增，在递减，在递增；（2）证明：，设函数，则，令，解得：，令，解得：，故，则当时，，设函数，则，故在，上单调递减，则（1），即，故，即，，，又，．3．已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）若，求证：．解：（1）的定义域是，，①当，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，②当，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在递减，在递增，③当时，令恒成立，故在递增，无递减区间，④当，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在递减，在递增，综上：当，在递减，在递增，当，在递增，在递减，在递增，当时，故在递增，无递减区间，当，在递增，在递减，在递增；（2）证明：令，则，，在上单调递增，（e），，设，，则，递增，，即，，使得，即，且当时，，，时，，在递减，在，递增，，设，，则，在上单调递减，，原命题成立．4．已知函数，，，．（1）当时，求证：；（2）若函数有两个零点，求的取值范围．解：（1）证明：当时，，则，，因为，，所以，，因此，所以在，上单调递增，于是，因此在，上单调递增，所以 ．（2）由（1）知，当时，，当且仅当时取等号，此时函数仅有1个零点，当时，因为，所以，，当，时，，单调递增，当，时，，因为，，所以，所以单调递增，又，，因此在，上存在唯一的零点，且．当时，，所以单调递减，当，时，，所以单调递增，又，，，因此在，上存在唯一的零点，且，，当时，，所以单调递减，当，时，，所以单调递增，又 ， ，，所以在，上存在唯一零点，因此在，上有两个零点，综上，的取值范围是，．5．已知函数，．（1）证明：有且仅有一个零点；（2）当，时，试判断函数是否有最小值？若有，设最小值为（a），求（a）的值域；若没有，请说明理由．（1）证明：因为，所以时，，函数无零点；又因为，所以，时，，单调递增，又（1），，，即（1），故存在唯一，使，综上可知，函数有且仅有一个零点．（2）解：，，，，，单调递增，又（1），，故存在唯一，使，即，，，单调递减；，，，单调递增，因此有最小值，（a），令，，，故单调递减，进而，（1），，即（a）的值域为，．6．已知函数．（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）求函数在，的最小值．解：（1）当时，，，又得切点，，所以切线方程为，即；（2）法一：，，，，令，，由，得，所以在上为单调增函数，又，所以在上恒成立，即，当时，，知在上为减函数，从而，当时，，知在上为增函数，从而；综上，当时；当时．法二：，，，，由，得，，，当时，知在上为减函数，从而，当时，知在上为增函数，从而，综上，当时；当时．。