概率论及数理统计四川版.ppt

2018/12/17,1,概率论与数理统计,主讲人： 贺巧琳 qlhejenny@ 四川大学数学学院,Probability & Statistics,教材：《概率论与数理统计》陈鸿建等编 高等教育出版社,各位同学务必在学子书店购买本教材的习题册，每本八元并欢迎同学访问精品课程网站 上课时间：1-17周,,2018/12/17,3,序言,确定性现象、随机性现象？ 确定性现象--- 随机性现象--- 概率论与数理统计是研究什么的？ ---是研究和揭示随机现象的统计规律性的一个数学分支2018/12/17,4,第一章 概率论基础知识,§1.1 样本空间与随机事件,2018/12/17,5,§1.1.1 随机试验,随机试验的三个特点:,2018/12/17,6,例:考虑试验E1：将一枚硬币抛掷两次，,(H,T)：,(T,H):,(T,T)：,(H,H):,可能结果为:,={(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)},可见，该随机试验 的所有可能的结果， 构成一个集合：,我们称该集合为这 个随机试验的样本 空间2018/12/17,7,§1.1.2样本空间sample space,Ω表示一个试验的所有可能的集合，称Ω 为样本空间. 而这个随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.,样本点,,2018/12/17,8,随机事件event----样本空间的子集 .,例：掷一颗骰子，观察出现的点数,= { 1,2,3,4,5,6｝,样本空间：,B = {1,3,5｝,B发生当且仅当B中的样本点1，3，5中的某一个出现.,事件B就是 的一个子集,2018/12/17,9,从集合的角度看,,,,,,,,,2018/12/17,10,§1.1.3 事件的关系及运算,1.事件的包含与相等,A 发生必然导致 B 发生,例如: A={1}，B={1，3，5},{A1,…An中至少一个发生},2018/12/17,11,,{A,B同时发生},3.,§1.1.3 事件的关系及运算,例如：A={1，3，5}； B={2，4，6}，则 AB=,说明AB同时发生是不可能事件；,2018/12/17,12,4.,{A发生而B不发生},A－ B =,5. A与B互不相容（或互斥）,§1.1.3 事件的关系及运算,B,2018/12/17,13,6. A 的对立事件,§1.1.3（续）,须满足：,注意对立事件与互斥的区别,综上得一般结论：,2018/12/17,14,§1.1.3 事件的关系及运算,7. A1, A2,…,An 构成 完备事件组,完备事件组将样本空间分为有限个 互不相容的事件的和。

2018/12/17,15,运算律：(Page4),• 交换律,• 结合律,• 分配律,• 对偶律,2018/12/17,16,例1.1,检查产品质量时，从一批产品中任意抽取 5件进行检查，设事件,请用集合表示下列事件：,（1）完备事件组； （2）发现两件或三件次品； （3）最多两件次品； （4）至少一件次品；,2018/12/17,17,例1.2,事件A,B,C分别表示一同学高数、线代、 概率三门课程成绩优秀,请用事件的关系 运算表示(1)仅有线代优秀;,(2)高数,概率至少一门优秀而线代不优秀;,(3)至少两门优秀;(4)恰有两门优秀;,解: (1),(2),2018/12/17,18,例1.2,(3)至少两门优秀,(4)恰有两门优秀;,2018/12/17,19,我们关心某个随机事件A发生的可能 性大小：,想法：用P(A)来度量，P(.)的取值 跟A有关，即：用一个与A有关函数 来定义因此：P(.)是个集函数 下面考虑该集函数的应具有的性质§1.2事件发生的概率,2018/12/17,20,§1.2.1 频率及性质,定义1.1 在 次重复试验中，若事件A发生 了 次，则称 为事件A发生的频数，称 为事件A发生的频率，记为,大量实践表明：频率有波动性，但随着试 验次数增加，频率总稳定在某个值附近。

2018/12/17,21,频率的性质：,2018/12/17,22,设E是随机试验，Ω是它的样本空间对于每一个事件A赋予一个实数 P(A),称为事件A 的概率，如果它满足以下三条：,§1.2.2概率的公理化定义,2018/12/17,23,概率的性质,一般地，若,2018/12/17,24,,小结论:,概率的性质,2018/12/17,25,6° （一般加法公式）,推广：,概率的性质,2018/12/17,26,例1.6,A，B为两事件，已知,解：,,,,,,2018/12/17,27,例1.6（续）,A，B为两事件，已知,接,,2018/12/17,28,,§1.3.1 古典概型,（1）试验只有有限个可能结果; （2）每次试验中，每个样本点出现的可能性相同；,在古典概型中，若 中有n个样 本点，事件A中有k个样本点，则,2018/12/17,29,两个基本的摸球模型,口袋中有N只球，其中m个红球，余下是白球,他们除颜色以外没有差别，现随机从中摸球n次并观察摸出球的颜色，计算恰好摸到k个红球的概率考虑如下两种情况:,(1)有放回摸球 (2)不放回摸球,2018/12/17,30,（1）有放回抽样 样本空间中的样本点总数一共有Nn,取出的 n 个球 究竟哪 k 个是红球 Cnk,m个红球中 取 k 个 mk,(N-m)中取出 n – k 个 (N-m)n – k,概率论中称为是二项分布的概率公式,2018/12/17,31,（2）无放回抽样,2018/12/17,32,例1.10,30只元件中有27只一等品，3只二等品。

随机将30只元件均分装入三盒，求： （1）每盒有一只二等品的概率； （2）有一盒有3只二等品的概率；,解： （1）3只二等品均分到三个盒子有：,,,,1,2,3,3x2x1种可能性余下的27只应该平 均分到3个盒子中；,2018/12/17,33,第2个问题，首先从3个盒子中任选一个 出来放3只二等品，这个盒子的另7只从 余下的27个一等品中选；,例1.10,例: (抽签问题)一袋中有a个红球，b个白球，记a＋b＝n．设每次摸到各球的概率相等，每次从袋中摸一球，不放回地摸n次 设 { 第k次摸到红球 }，k＝1,2,…,n．求 解1：,n,① ——,n,号球为红球，将n个人也编号为1,2,…,n．,----------与k无关,可设想将n个球进行编号： 其中,视 的任一排列为一个样本点，每点出现的概率 相等解3： 将第k次摸到的球号作为一样本点：,总样本点数为 ，每点出现的概率相等，而其中有 个 样本点使 发生，,解2： 视哪几次摸到红球为一样本点,2018/12/17,36,§1.3.2 几何概型,例1.11 随机在单位圆内掷一点M,求M点 到原点距离小于1/4的概率.,,,,,1,1/4,解：,2018/12/17,37,几何概率的计算,作为一般的欧氏区域，m(A),作为A的测度（一维是长度，2维是面 积等）就得到几何概率计算方法：,如果把,2018/12/17,38,例1.12,某货运码头仅能容一船卸货，而甲、乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时，设甲、乙两船在24小时内随时可能到达，求它们中任何一船都不需要等待码头空出的概率。

解：,2018/12/17,39,,,,,,,２４,２,１,,,,,,,,,,Y=x+1,Y=x-2,解：,2018/12/17,40,例1.13蒲丰问题,1777年，法国数学家蒲丰取一根针，量出它的长度，然后在纸上画上一组间距相等的平行线，这根针的长度是这些平行线的距离的一半把这根针随机地往画满了平行线的纸面上投去小针有的与直线相交，有的落在两条平行直线之间，不与直线相交这次实验共投针2212次，与直线相交的有704次，2212÷704≈3.142得数竟然是π的近似值这就是著名的蒲丰投针问题2018/12/17,41,平行线的距离a，针的长度l，求针与平行 线相交的概率怎样描述针与直线相交的情况？,X表示针的中点与最近的一条平行线的距离,,2018/12/17,42,例1.13蒲丰问题,2018/12/17,43,取a=2L，投针N次，如果有k次与直线 相交，则Phi的近似值为N/k,例1.13蒲丰问题,2018/12/17,44,零概率事件不一定不发生,在[0,1]区间上任意取一个随机数,则这个随机数恰好等于0.5的概率是多少?,,0,1,,0.5,P=点(0.5)的长度/[0,1]区间的长度=0,2018/12/17,45,§1.4.1 条件概率,例1.14 一个家庭中有两个小孩,已知其中 一个是女孩,问另一个也是女孩的概率是多 少?(假定生男生女是等可能的),解: 由题意,样本空间为:,设B={其中一个是女孩},A={两个女孩},则 B={(M,F),(F,M),(F,F)},A={(F,F)},因此,要求的是:,P(A|B)=1/3,2018/12/17,46,定义1.3 （P.16）,设A，B是两个事件，且,则称,为事件B发生的条件下事件A的条件概率。

易知,条件概率具有如下性质:,2018/12/17,47,条件概率的性质,2018/12/17,48,,§1.4.2 乘法公式,2018/12/17,49,例1.16,,2018/12/17,50,例1.16,,2018/12/17,51,§1.4.3 全概率与贝叶斯公式,例1.18 一计算机系统,有3条输入线, 其性质如下表:,,,,通讯线,通讯量份额,无误差的讯息份额,1,2,3,0.4,0.35,0.25,0.9998,0.9999,0.9997,(1)求一随机选择的进入讯号无误差地被 接受的概率;,2018/12/17,52,例1.18 (续),解: 设事件B:“一讯号无误差地被接受”,Ai：“讯号来自于第i条通讯线”，i=1,2,3,由题意，问题转化为，已知：,,,2018/12/17,53,例1.18 (续),,我们的做法是把样本 空间分割成了3个不相 交的部分，这样，事件 B也被分割成3部分：,利用乘法 公式可得,2018/12/17,54,例1.18 (续),原问题简化为，已知：,2018/12/17,55,例1.18 (续),(2)已知一讯号是有误差地被接受,则这一 讯号最有可能来自哪条通讯线路?,,解：由（1），已知P(B)=0.99981，想,（本质是一个条件概率）,2018/12/17,56,定理1.1 全概率与Bayes公式,设Ai是样本空间的完备事件组,P(Ai)0,即,2018/12/17,57,例1.19,一盒中装有12个球,其中8个是新球,第一次 比赛从盒中任取两球,使用后放入盒中,第二 次比赛时再从盒中任取两球,求:,(1)第2次取出两个新球的概率,(2)已知第2次取出两个新球,而第一次 仅取出1个新球的概率.,解:把第1次取球的所有可能情况,作为样本 空间的划分,Ai:第1次取出i个新球,i=0,1,2,2018/12/17,58,例1.19(续),第1步: P(A0)=?, P(A1)=?, P(A2)=?,第2步: P(B|A0)=?, P(B|A1)=?, P(B|A2)=?,第3步: 写公式:,第4步: 利用Bayes公式计算第2问;,2018/12/17,59,例1.19 (续),一盒中装有12个球,其中8个是新球,第一次 比赛从盒中任取两球,使用后放入盒中,第二 次比赛时再从盒中任取两球,,(1)令Ai:第一次取出i个新球,i=0,1,2,同理,(2)令B:第二次取出2个新球,计算P(B|Ai),2018/12/17,60,例1.19 (续),=0.2893,(2)已知第2次取出两个新球,而第一次 仅取出1个新球的概率.,=0.5333,2018/12/17,61,商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中。