山东省郓城县实验中学高中数学一绝对值不等式学案新人教A版必修4.doc

学案76　不等式选讲绝对值不等式导学目标：1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|，(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.自主梳理1．含________________的不等式叫做绝对值不等式．2．解含有绝对值的不等式的方法关键是去掉绝对值符号，基本方法有如下几种：(1)分段讨论：根据|f(x)|＝去掉绝对值符号．(2)利用等价不等式：|f(x)|≤g(x)⇔－g(x)≤f(x)≤g(x)；|f(x)|≥g(x)⇔f(x)≤－g(x)或f(x)≥g(x)．(3)两端同时平方：即运用移项法则，使不等式两边都变为非负数，再平方，从而去掉绝对值符号．3．形如|x－a|＋|x－b|≥c (a≠b)与|x－a|＋|x－b|≤c (a≠b)的绝对值不等式的解法主要有三种：(1)运用绝对值的几何意义；(2)____________________；(3)构造分段函数，结合函数图象求解．4．(1)定理：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当____________时，等号成立．(2)重要绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.使用时(特别是求最值时)要注意等号成立的条件，即|a＋b|＝|a|＋|b|⇔ab≥0；|a－b|＝|a|＋|b|⇔ab≤0；|a|－|b|＝|a＋b|⇔b(a＋b)≤0；|a|－|b|＝|a－b|⇔b(a－b)≥0；注：|a|－|b|＝|a＋b|⇔|a|＝|a＋b|＋|b|⇔|(a＋b)－b|＝|a＋b|＋|b|⇔b(a＋b)≤0.同理可得|a|－|b|＝|a－b|⇔b(a－b)≥0.自我检测1．(2020·江西)不等式＞的解集是(　　)A．(0,2) B．(－∞，0)C．(2，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)2．(2020·天津)已知集合A＝{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝{x∈R|x＝4t＋－6，t∈(0，＋∞)}，则集合A∩B＝________.3．(2020·潍坊模拟)已知不等式|x＋2|＋|x－3|≤a的解集不是空集，则实数a的取值范围是(　　)A．a<5 B．a≤5C．a>5 D．a≥54．若不等式|x＋1|＋|x－2|7＋x；(3)|x－1|＋|2x＋1|<2.变式迁移1 (2020·江苏)解不等式x＋|2x－1|<3.探究点二　绝对值不等式的恒成立问题例2　(2020·商丘模拟)已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m.(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为∅.分别求出实数m的取值范围．变式迁移2　设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|，若f(x)>a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．探究点三　绝对值三角不等式定理的应用例3　“|x－A|<，且|y－A|<”是“|x－y|<ε”(x，y，A，ε∈R)的(　　)A．充分而不必要条件　　　 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件变式迁移3　(1)求函数y＝|x＋2|－|x－2|的最大值；(2)求函数y＝|x－3|＋|x＋2|的最小值．转化与化归思想的应用例　(10分)设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a (－1≤x≤1)，(1)若|a|≤1，求证：|f(x)|≤；(2)求a的值，使函数f(x)有最大值.多角度审题　第(1)问|f(x)|≤⇔－≤f(x)≤，因此证明方法有两种，一是利用放缩法直接证出|f(x)|≤；二是证明－≤f(x)≤亦可．第(2)问实质上是已知f(x)的最大值为，求a的值．由于x∈[－1,1]，f(x)是关于x的二次函数，那么就需判断对称轴对应的x值在不在区间[－1,1]上．【答题模板】证明　(1)方法一　∵－1≤x≤1，∴|x|≤1.又∵|a|≤1，∴|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x|≤|x2－1|＋|x|＝1－|x|2＋|x|＝－2＋≤.[3分]∴若|a|≤1，则|f(x)|≤.[5分]方法二　设g(a)＝f(x)＝ax2＋x－a＝(x2－1)a＋x.∵－1≤x≤1，∴当x＝±1，即x2－1＝0时，|f(x)|＝|g(a)|＝1≤；[1分]当－12 B．|a＋b|＋|a－b|<2C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小3．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　)A．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．[1,2] D．(－∞，1]∪[2，＋∞)4．若不等式|8x＋9|<7和不等式ax2＋bx>2的解集相等，则实数a、b的值分别为(　　)A．a＝－8，b＝－10 B．a＝－4，b＝－9C．a＝－1，b＝9 D．a＝－1，b＝25．若关于x的不等式|x－1|＋|x－3|≤a2－2a－1在R上的解集为∅，则实数a的取值范围是(　　)A．a<－1或a>3 B．－13，则<.其中所有正确命题的序号是________________．7．(2020·陕西)不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集为________．8．(2020·深圳模拟)若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是_____________________________________________________________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2020·福建)已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．10．(12分)(2020·辽宁)设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；(2)如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．11．(14分)对于任意实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|(|x－1|＋|x－2|)恒成立，试求实数x的取值范围．学案76　不等式选讲(一)绝对值不等式自主梳理1．绝对值符号　3.(2)零点分区间讨论法4．(1)(a－b)(b－c)≥0自我检测1．A　[∵＞，∴＜0，∴0＜x＜2.]2．{x|－2≤x≤5}解析　|x＋3|＋|x－4|≤9，当x<－3时，－x－3－(x－4)≤9，即－4≤x<－3；当－3≤x≤4时，x＋3－(x－4)＝7≤9恒成立；当x>4时，x＋3＋x－4≤9，即40，又∵x<0，∴x不存在；当0≤x<时，原不等式可化为－2x＋10，又∵0≤x<，∴07＋x，可得2x＋5>7＋x或2x＋5<－(7。