数学物理方程.pdf

2《数学物理方程与特殊函数》（第三版）王元明 编 东南大学数学系 高等教育出版社王元明 编 东南大学数学系 高等教育出版社3参考书[1] 梁昆淼，《数学物理方法》，人民教育出版社，梁昆淼，《数学物理方法》，人民教育出版社，1998 [2] 张渭滨，《数学物理方程》，清华大学出版社，张渭滨，《数学物理方程》，清华大学出版社，2007[3] 谢鸿证等，《数学物理方程》，科学出版社，谢鸿证等，《数学物理方程》，科学出版社，2001[4] 孙振绮，《数学物理方程》，机械工业出版社，孙振绮，《数学物理方程》，机械工业出版社，2004课程的主要内容?三种方程 、 四种求解方法、二个特殊函数三种方程 、 四种求解方法、二个特殊函数波动方程 热传导 拉普拉斯方程分离变量法 行波法 积分变换法 格林函数法贝塞尔函数 勒让德函数数学物理思想数学物理思想数学物理方程（简称数学物理方程（简称数理方程数理方程）是指从物理 学及其它各门自然科学、技术科学中所导 出的函数方程，主要指偏微分方程数学物理方程所研究的内容和所涉及的领 域十分广泛，它深刻地描绘了）是指从物理 学及其它各门自然科学、技术科学中所导 出的函数方程，主要指偏微分方程。

数学物理方程所研究的内容和所涉及的领 域十分广泛，它深刻地描绘了自然界中自然界中的许 多的许 多物理现象物理现象和和普遍规律普遍规律. .课程背景?17世纪牛顿、莱布尼茨发明微积分?物理、力学、电磁学、自动化工程、生物工程等 领域中,需要研究某物理量和其它物理量之间的变 化关系科学家利用微积分处理力学、物理学中各 种问题的过程中导出了大量的微分方程课程背景?有些是常微分方程?但更多的是偏微分方程课程背景?欧拉、拉格朗日等科学家在研究流体力学 、声音传播和膜振动等问题时 ?拉普拉斯在研究势函数和潮汐理论时 ?傅立叶在研究热传导 ?麦克斯韦在研究电磁理论时导出的偏微分 方程 ?……偏微分方程?物理量仅是时间的函数——常微分方程?物理量仅是时间和空间的函数——偏微分方程?求解具体问题：?必须考虑对象所处的“环境”——边界条件?必须考虑对象所处的“历史”——初始条件?边界条件和初始条件反应了具体问题的特点环境和历史， 即问题的特殊性、个性，在数学上，边界条件和初始条件 合称定解条件普遍性、 共性?物理问题的共性共性——物理规律的数学表示：数学建 模，通俗地讲，就是把物理规律用数学语言“翻译翻译 ”出来，体现为物理量在时空中的变化关系，这种 关系通常是偏微分方程偏微分方程。

数学物理方程——物理规律的偏微分方程形式是同 类物理现象的共性，更具体的条件无关，称为泛 定方程物理问题在数学上的完整提法——数学物理定解问 题（定解问题）；在给定定解条件下，求解数学 物理方程从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的 是场和产生这种场的源之间的关系．从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的 是场和产生这种场的源之间的关系．三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程双曲型方程双曲型方程波动方程为代表抛物型方程抛物型方程扩散方程为代表椭圆型方程椭圆型方程位势方程为代表退化为拉普拉斯方程三类典型的泛定方程三类典型的泛定方程波动方程—双曲方程 描述现象：声波、电磁波等波动过程—双曲方程 描述现象：声波、电磁波等波动过程 扩散方程—抛物方程 描述现象：热扩散、物质扩散等扩散过程—抛物方程 描述现象：热扩散、物质扩散等扩散过程 位势方程—椭圆方程 电势、稳定温度场分布等与时间无关的稳定场 ——共性—椭圆方程 电势、稳定温度场分布等与时间无关的稳定场 ——共性边界条件—研究的物理系统与外部的相互作用；—研究的物理系统与外部的相互作用； 初始条件—研究的物理系统过去的历史 ——个性—研究的物理系统过去的历史 ——个性分离变量法分离变量法偏微分方程标准的常微分方程偏微分方程标准的常微分方程标准解，即为各类特 殊函数三类数学物理方程的一种最常用解法标准解，即为各类特 殊函数三类数学物理方程的一种最常用解法第一章第一章 一些典型方程和一些典型方程和 定解条件的推导定解条件的推导一、基本方程的建立二、定解条件的推导三、定解问题的概念?中心：中心：将物理问题翻译成数学语言?目的：目的： 1、1、如何用数理方程研究物理问题 2、如何导出方程目的: 3、能正确写出定解问题用数理方法研究问题的步骤?1、写出定解问题?2、求解:?求解方法：行波法、分离变量法、积分变 换法、格林函数法、……?3、分析解答： 物理意义?存在 适应性唯一 稳定一、基本方程的建立用数理方法研究问题的步骤?1、写出定解问题?泛定方程：数理方程(一般规律)?定解条件：初始、边界、衔接条件（个性)数学物理方程的建立——数学建模?由于物理规律反映的是物理量在临近地点和临近时间之间 的联系，因此原则上讲，其建立过程为：?1、确定研究对象；?2、分析临近部分与所划出的小部分间的相互作用；?3、分析短时间内相互作用的影响。

把上述作用和影响经简化（只考虑主要的、重要的作 用和影响）整理就是数学物理方程三类数理方程的导出 The derivation of three types of mathematical equations for physics一、波动方程(一一)、物理规律与波动方程、物理规律与波动方程1、什么叫物理规律？某物理量在空间和时间中的变化规律 它反映同一类物理现象的共同规律什么叫物理规律？某物理量在空间和时间中的变化规律 它反映同一类物理现象的共同规律波动方程波动方程如何建立偏微分方程？如何建立偏微分方程？(1).明确物理过程与研究对象明确物理过程与研究对象(待研究物理量待研究物理量);(2).进行微元分析；分析微元和相邻部分的相互作用，根据 物理定律用算式表达这种作用进行微元分析；分析微元和相邻部分的相互作用，根据 物理定律用算式表达这种作用3).化简、整理算式化简、整理算式例一、 弦的横振动研究张紧的弹性轻研究张紧的弹性轻弦的微小横振动的微小横振动讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要 确定弦的运动方程，需要明确：讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要 确定弦的运动方程，需要明确：确定 弦的 运动 方程（确定 弦的 运动 方程（2）被研究的物理量遵循哪些 物理定理？）被研究的物理量遵循哪些 物理定理？牛顿第二定律牛顿第二定律.（（3）按物理定理写出数学物 理方程）按物理定理写出数学物 理方程(1)要研究的物理量是什么？要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移弦沿垂直方向的位移( , )u x t注意：物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假设才能使方程简化。

数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍规律，所以考察点不能取在端点上，但可以取除端点之外的任何位置作为考察点物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假设才能使方程简化数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍规律，所以考察点不能取在端点上，但可以取除端点之外的任何位置作为考察点均匀柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，而且除受不随时间而变的张力作用及弦本身的重 力外，不受外力影响下面研究弦作均匀柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，而且除受不随时间而变的张力作用及弦本身的重 力外，不受外力影响下面研究弦作微小横向振动的规律所谓“微小”是指横向振动的规律所谓“微小”是指振动的幅度及弦在任意位置处及弦在任意位置处切线的倾角都都很小，一致它们的高于一次方的项都可略而不计一致它们的高于一次方的项都可略而不计t时刻 位移NM记作u u(x,t)由于假定弦是柔软的，所以在任一点张力 的方向总是沿着弦在该点的切线方向由于假定弦是柔软的，所以在任一点张力 的方向总是沿着弦在该点的切线方向'MM弧段两端 所受的张力记作T,T’现在考虑弧段MM’在t时刻的受力情况现在考虑弧段MM’在t时刻的受力情况如何建立偏微分方程？(1). 明确物理过程与研究对象明确物理过程与研究对象(待研究物理量待研究物理量);(2).从内部划出一小块，进行微元分析；分析微元和相邻部分的相互作用，根据从内部划出一小块，进行微元分析；分析微元和相邻部分的相互作用，根据 物理定律用算式表达这种作用。

用算式表达这种作用3).化简、整理算式化简、整理算式例二、均匀杆的纵振动方程?考虑一沿杆长方向作微小纵振动的均匀细杆x均匀杆，只要杆中任一小段有纵向位移或速度，必导致临 近段的压缩或伸长，这种压缩传播开去，就形成杆的纵振 动试推导杆的微小纵振动方程均匀杆，只要杆中任一小段有纵向位移或速度，必导致临 近段的压缩或伸长，这种压缩传播开去，就形成杆的纵振 动试推导杆的微小纵振动方程?张力＝杨氏模量×横截面积×相对伸长?其中?相对伸长＝伸缩长度/原来的长度?在任意时刻t杆上任一点x处的相对伸长为 ux(x,t)?杆的纵向受迫振动?F(x,t) 应理解为杆每单位长度每单位横截面 上所受的纵向外力作 业?第17页?习题一?3、?4（建立振动方程）例三、 电磁场方程Aperture Antennas三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程双曲型方程双曲型方程波动方程为代表波动方程为代表抛物型方程抛物型方程热传导方程为代表热传导方程为代表椭圆型方程椭圆型方程Poisson方程为代表方程为代表退化为退化为Laplace方程方程例四、传输线方程考虑双线传输线，把单位传输线所具有的考虑双线传输线，把单位传输线所具有的 导线电阻、、线间电导、、电容以及以及电感分别记 作分别记 作R, G, C和和L。

建立电压建立电压 v(x,t) 和电流强度和电流强度 i(x,t) 所满足的微分方程分析：传输线上电阻、电感，线间电容、电导考虑 为均匀分布，于是可画出微元等效电路图：所满足的微分方程分析：传输线上电阻、电感，线间电容、电导考虑 为均匀分布，于是可画出微元等效电路图：二、扩散方程二、扩散方程例五：细杆的热传导问题截面积为A的均匀细杆，侧面绝热，沿杆 长方向杆 长方向有温差，求杆内温度的变化规律xx+dxLu(x,t)xn温度函数u仅与空间变量x及时间t有关设均匀且各向同性的导热体,置于温度比它高的热场 中,求物体中温度设均匀且各向同性的导热体,置于温度比它高的热场 中,求物体中温度u(x，，y，，z, t)所分布的规律所分布的规律例六、三维空间中的热传导问题导热体导热体热场热场热传导现象：当导热介质中 各点的温度分 布不均匀时， 有热量从高温 处流向低温处当导热介质中 各点的温度分 布不均匀时， 有热量从高温 处流向低温处三、位势方程稳态场方程稳态场方程稳态场问题是一类重要的典型物理问题，主要特征是 所研究的物理量不随时间而变化稳态场问题是一类重要的典型物理问题，主要特征是 所研究的物理量不随时间而变化。

三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程双曲型方程双曲型方程波动方程为代表波动方程为代表抛物型方程抛物型方程热传导方程为代表热传导方程为代表椭圆型方程椭圆型方程泊松方程为代表泊松方程为代表退化为拉普拉斯方程退化为拉普拉斯方程二、定解条件的推导§1.2 初始条件与边界条件?引入定解条件的必要性：a.从物理的角度看：数理方程仅能表示一般性b.从数学的角度看：微分方程的解的任意性也需附加条件来确定具体物理过程描述具体物理过程描述——定解条件具体物理系统所处物理状况除受一般物理 规律支配外，还受系统所处的定解条件具体物理系统所处物理状况除受一般物理 规律支配外，还受系统所处的“环境环境”和系 统的和系 统的“历史状况历史状况”的影响系统所处的的影响系统所处的“环境环境”状况：边界条件系统的状。