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1,第三篇 《动力学》,,第十章 质点动力学的基本方程 第十一章 动量定理 第十二章 动量矩定理 第十三章 动能定理 第十四章 达朗伯原理 第十五章 虚位移原理,,2,,第十二章 动量矩定理,3,§12–1 质点和质点系的动量矩 §12–2 动量矩定理 §12–3 刚体绕定轴的转动微分方程 §12–4 刚体对轴的转动惯量 §12–5 质点系相对于质心的动量矩定理 §12–6 刚体的平面运动微分方程 习题课,第十二章 动量矩定理,,,4,,,一．定义：,刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度 转动惯量恒为正值，国际单位制中单位 kg·m2 §12-4 刚体对轴的转动惯量,JZ 称为刚体对z 轴的转动惯量,若刚体的质量是连续分布，则,5,,,（１）均质细直杆对z轴的转动惯量,,设杆长为l ,质量为m ，单位长度的质量为l，,1、简单形状物体的转动惯量计算,取杆上一微段dx，其质量为l dx ：,因为,,,6,,,（2）均质薄圆环对于中心轴的转动惯量,设圆环半径为R ,质量为m ，每一微段的质量为mi , 到z轴的距离均为R :,7,,,（3）均质圆板对于中心轴的转动惯量,设圆板的半径为R ,质量为m 。

将圆板分为无数个同心的圆环，任一圆环的半径为ri,宽度为dri，则圆环的质量为mi :,,,8,对于均质刚体， 仅与几何形状有关，与密度无关对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的2. 惯性半径（回转半径）,称为刚体对 z 轴的回转半径在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已 标准化的零件的转动惯量和回转半径书中列出几种常见均质刚体的 ，以供参考对均质物体，记,其中：,9,,,3. 平行移轴定理,刚体对某轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方的乘积[例:],刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的10,证明：设质量为m的刚体， 质心为C，,,11,,,当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动惯量 若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理4．计算转动惯量的组合法,解：,[例12-9] (P270)钟摆： 均质直杆质量m1,长为 l ；均质圆盘质量m2 ,半径为 R 求对水平轴O的转动惯量JO 。

力矩 ：力相对于点的矩一．质点的动量矩,,,§12-1 质点和质点系的动量矩,力对轴 z 的动量矩：,正负号规定：右手法则,力F ，矢径为r，则,r,,质点对于点O 的动量矩 ：质点的动量相对于点O 的矩一．质点的动量矩,,,§12-1 质点和质点系的动量矩,质点动量对轴 z 的动量矩：,正负号规定：右手法则,动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱14,,,质点对点O的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系：,,,,,Mo(mv),y,z,x,mv,O,,,,,,,,,mvxy,,,[Mo(mv)]z,m,,r,15,,,二、质点系的动量矩,质点系对点O动量矩：,质点系对轴z 动量矩：,16,,,平动刚体对固定点(轴)的动量矩 等于刚体质心的动量对该点（轴）的动量矩刚体动量矩计算：,1．平动刚体,17,2．定轴转动刚体,,,定轴转动刚体对转轴的动量矩: 等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积为刚体对z轴的转动惯量,18,,,[例],,,,,,,,,,,,,,,l,O,19,[例],已知：均质杆的质量为m，均质圆盘的质量为2m，求物体对于O轴的转动惯量和动量矩解：,20,,,3．平面运动刚体,平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。

注意正负的规定,21,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,C,v,,,,,x,,,,,,,h,圆盘：,22,B,,,解：,滑轮A：m1，R1， 滑轮B：m2，R2， ； R1=2R2， 物体C：m3 ，v3 求系统对O轴的动量矩[例1],∵,∴,,,,1．质点的动量矩定理,§12-2 动量矩定理,设质点对定点O 的动量矩为MO(mv)，作用力F对同一点的矩为MO(F )，如图质点对固定点的动量矩定理,,24,,,将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得,上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定理的投影形式即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩25,,,共有n个方程，相加后得：,设质点系有n个质点，作用于每个质点的力分为 内力 和外力 ，由质点动量矩定理：,2．质点系的动量矩定理,,质点系对固定点的动量矩定理,,26,将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得,质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）质点系对固定点的动量矩定理:,,27,,,上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。

即质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同 一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）定理说明：内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的动量矩28,,,当外力对于某定点（或某定轴）的主矩等于零时，质点系对于该点（或该轴）的动量矩保持不变3．动量矩守恒定律,29,,,,已知: 物块A和B的质量分别为mA和mB，轮子O的质量为m，半径为 r[例3],求：轮子O的角加速度 解: 取整个系统为研究对象，,受力分析和运动分析如图示30,,,由动量矩定理：,其中：v = r,如何求支座O的反力？,31,[例],,卷扬机，滑轮半径为R，质量m1，作用力偶M，重物质量 m2，不计绳重和摩擦，求重物的加速度a解：受力分析和运动分析,怎样求绳子的拉力?,32,[例12-1] (P261),,卷扬机，鼓轮半径为R，质量m1，转动惯量J，作用力偶M，小车质量 m2，不计绳重和摩擦，求小车的加速度a解：运动分析和受力分析,33,,,,对于一个定轴转动刚体:,——刚体绕定轴的转动微分方程,§12-3 刚体绕定轴的转动微分方程,代入质点系动量矩定理，有,z,34,,,,特殊情况： 1） 若 ,则 恒量，刚体作匀速转动或 保持静止。

2） 若 常量，则 =常量，刚体作匀变速转动将 与 比较，刚体的转动惯量 是刚体转动惯性的度量35,匀质杆长为l ,质量为m，求：当细绳被突然剪断时，杆子的角加速度 和支座A处的反力解：,运动分析,、受力分析,[例],刚体绕定轴转动微分方程：,,,,,36,[例12-5] (P265),物理摆，质量m，C为质心，对O点的转动惯量为JO，求微小摆动的周期解：,工程中常用上式，通过测定零件的摆动周期，以计算其转动惯量37,[题12-11] （P282）,,A轮半径为r1 ，质量m1，以角速度绕A转动； B轮半径为r2 ，质量m2，原为静止两轮子间的摩擦因数为f，不计杆的重量，问：自轮A放在轮B上到两轮间没有相对滑动为止，经过多少时间？,38,,解：取A轮为研究对象,取B轮为研究对象,39,,,,A,,,,,FN,FS,FAx,m1g,,,,,,,,FN,FS,m2g,FBx,FBy,,,,40,,,运动学关系：,,,,,,41,两根质量和长度都相等的均质细杆固连成T字型，可绕通过O点的水平轴转动，m=8 k当OA处于水平位置时, T形杆具有角速度 =4rad/s 。

求该瞬时轴承O的反力已知 g，l=0.5m 解：选T 字型杆为研究对象由定轴转动微分方程,[例2],l=,,,,,,,,,受力分析,运动分析,mg,mg,aC1x,aC1y,aC2x,aC2y,42,,,根据质心运动定理，得,43,提升装置中，轮A、B的质量分别为m1 、m2 ,半径分别为 r1 、 r2 , 可视为均质圆盘; 物体C 的质量为m3 ; 轮A上作用常力矩M1 [例3],分析：运动分析和受力分析,求： 物体C上升的加速度,44,,,取轮B 连同物体C为研究对象,应用动量矩定理,补充运动学条件,化简(1) 得：,化简(2) 得：,解：取轮A为研究对象,45,§12-5 质点系相对于质心的动量矩定理,,,此动量矩定理只适用于相对惯性参考系为固定的点或固定的轴，对于一般的动点或动轴，动量矩定理具有更复杂的形式但是，相对于质点系的质心或随同质心平动的动轴，动量矩定理的形式不变46,例：已知轮半径为r ，质量m，作用力F， 求：轮子的角角速度47,,,质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关系质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心之矩的矢量和。

48,,,设有一平面运动刚体具有质量对称平面，力系 可以简化为该平面内的一个力系取质量对称平面为平面图形S，质心一定位于S内§12–6 刚体的平面运动微分方程,应用质心运动定理和 相对质心的动量矩定理：,49,,,写成投影形式：,上式称为平面运动微分方程质心运动定理和相对质心的动量矩定理表达为：,50,[例12-11] （P276）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,r,x,C,M,,,,,,均质圆轮半径为r，质量为m，沿水平直线纯滚动，轮的惯性半径为C，作用于圆轮的力偶矩为M1）求轮心的加速度2）如果圆轮对地面的静滑动摩擦系数为fs，问M应满足什么条件使圆轮只滚不滑解： （ 1）受力分析和运动分析和M均以顺时针为正51,（2）只滚不滑的条件：,,52,已知：轮半径为r ，质量m，与斜面间的摩擦因数为 f= ， 求：轮子中心沿斜面落下的加速度aC[题12-21] （P284）,解： 受力分析和运动分析运动学关系：,静力学关系：,解得：,53,均质棒AB的质量为m=4kg，其两端悬挂在两条平行绳上，棒处在水平位置设其中一绳突然断了，求此瞬时另一绳的张力[题综-8]（P319）,刚体的平面运动微分方程,,,,54,,,,,,解： 受力分析和运动分析。

建立刚体的平面运动微分方程,,,,,,,运动学关系：,,55,[例],均质圆盘C，质量为2m，半径为R．在水平板上只滚不滑平板AB质量为m，可沿光滑水平面滑动圆盘上缘作用有一水平力P，不计滚动摩阻，求圆盘C的角加速度 和圆盘与平板间的摩擦力56,,,,,P,A,B,C,,,,,aC,aAB,,,mg,FN2,解：圆盘C,运动学关系：,解得：,平板AB,（板子aAB为牵连加速度）,57,重物A质量为m1， 轮C作纯滚动， 轮C和轮B的总质量为m2，对O轴的回转半径为，求重物A的加速度轮D和绳子的质量不计[题12-14] P282,,,解：重物A：,圆盘C：,58,,,解：重物A：,圆盘C：,运动学关系：,解得：,59,均质杆AB长l，放在铅直平面内，杆的一端A靠在光滑的铅直墙上，另一端B放在光滑的水平地板上，并与水平面成0角此后，杆由静止倒下求：1）杆在任意时的角速度和角加速度；2）杆脱离墙时的[题12-17]P283,,,,,A,,0,B,,,解：研究对象杆AB,,,,,,,刚体的平面运动微分方程,,60,,,,A,,B,,,,,,,,FA,FB,,,,,61,,,,,刚体的平面运动微分方程,,,,,62,,,63,,,,64,,,质量为m半径为R的均质圆轮置放于倾角为 的斜面上，在重力作用下由静止开始运动。

设轮与斜面间的静、动滑动摩擦。