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[研究生入学考试题库]考研数学二分类模拟题131一、选择题下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．问题:1. A． B． C． D． 答案:B[解析] 问题:2. 设则当x→0时，f(x)与g(x)相比是______A.等价无穷小B.同阶但非等价无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小答案:B[解析] 需要计算f(x)与g(x)比值的极限． 故当x→0时，f(x)与g(x)是同阶但非等价无穷小． 问题:3. 设则______A.N≤P≤QB.N≤Q≤PC.Q≤P≤ND.P≤N≤Q答案:D[解析] x2sin3x是奇函数，故N=0，x3ex2是奇函数，故 所以P≤N≤Q． 问题:4. 若[x]表示不超过x的最大整数，则积分的值为______A.0B.2C.4D.6答案:D[解析] 问题:5. 设φ(x)在[a，b]上连续，且φ(x)＞0，则函数A.在(a，b)内的图形为凸B.在(a，b)内的图形为凹C.在(a，b)内有拐点D.在(a，b)内有间断点答案:B[解析] 先将Φ(x)利用|x-t|的分段性分解变形，有 因为φ(t)在[a，b]上连续，所以Φ(x)可导，因而答案不可能是D．要讨论其余三个选项，只需求出Φ"(x)，讨论Φ"(x)在(a，b)内的符号即可．因 故y=Φ(x)在(a，b)内的图形为凹．应选B． 问题:6. 设则F(x)______A.为正常数B.为负常数C.恒为零D.不为常数答案:A[解析] 因esinxsinx是以2π为周期的周期函数，所以 又esinxcos2x≥0，且不恒等于0，故选A． 问题:7. 设f(x)是以l为周期的周期函数，则之值______A.仅与a有关B.仅与a无关C.与a及k都无关D.与a及k都有关答案:C[解析] 因为f(x)是以l为周期的周期函数，所以 故此积分与a及k都无关． 问题:8. 设则______A.N＜P＜MB.M＜P＜NC.N＜M＜PD.P＜M＜N答案:D[解析] 因是奇函数，所以M=0. 所以P＜M＜N． 问题:9. 下列反常积分收敛的是______ A． B． C． D． 答案:C[解析] 选项A中， 在选项B中， 在选项C中， 收敛； 在选项D中， 发散．问题:10. A． B． C． D． 答案:B[解析] 此题若立刻作变换tanx=t或则在0≤x≤2π上不能确定出单值连续的反函数x=φ(t)．可先利用周期性和奇偶性将积分区间缩小，在此小区间上作变换tanx=t． 在第2式中作变换x=π-t，即可化为第1式，于是 问题:11. 已知则在(-∞，+∞)内，下列结论中正确的是______A.f(x)不连续且不可微，F(x)可微且为f(x)的一个原函数B.f(x)不连续，不存在原函数，因而F(x)不是f(x)的原函数C.f(x)和F(x)均为可微函数，且F(x)为f(x)的一个原函数D.f(x)连续，且F'(x)=f(x)答案:A[解析] 可以验证x=0为f(x)的第二类间断点，因为 故x=0为f(x)的第二类振荡间断点，可能存在原函数． 通过计算，有 放F(x)可微．容易证明F'(x)=f(x)，故A正确． 问题:12. 设f(x)是以T为周期的可微函数，则下列函数中以T为周期的函数是______ A． B． C． D． 答案:D[解析] 当g(x+T)=g(x)时，因为 因为f(x)是以T为周期的函数，且所以是以T为周期的函数，即D正确；A不正确，因为不一定有；B，C显然也不正确．问题:13. 设f(x)是以2为周期的连续函数，则______A.G(x)是以2为周期的周期函数，G'(x)也是以2为周期的周期函数B.G(x)是以2为周期的周期函数，G'(x)不是以2为周期的周期函数C.G(x)不是以2为周期的周期函数，G'(x)是以2为周期的周期函数D.G(x)不是以2为周期的周期函数，G'(x)也不是以2为周期的周期函数答案:A[解析] 因为对任意的x，有 所以G(x)也是以2为周期的周期函数．又 显然，G'(x)也是以2为周期的周期函数．故选择A． 问题:14. 设常数α＞0，积分则______A.I1＞I2B.I1＜I2C.I1=I2D.I1与I2的太小与α有关答案:A[解析] 故应选A．二、填空题问题:1. 答案:其中C为任意常数[解析] 问题:2. 答案:其中C为任意常数[解析] 问题:3. 答案:其中C为任意常数[解析] 问题:4. 答案:其中C为任意常数[解析] 问题:5. 已知函数F(x)的导函数为 答案:[解析] 由题意有故 问题:6. 答案:其中C为任意常数[解析] 问题:7. 答案:其中C为任意常数[解析] 令则 问题:8. 答案:其中C为任意常数[解析] 问题:9. 设f(x)连续，则 答案:[解析] 是形如形式的变上限积分，由知， 问题:10. 答案:0[解析] 显然积分难以积出．考虑积分中值定理，其中ξx介于x，x+a之间．所以 问题:11. 答案:[解析] 令所以 问题:12. 答案:2[解析] 又 所以ea=(a-1)ea，a=2. 问题:13. 设是f(x)的一个原函数，则答案:[解析] 由于是f(x)的原函数，所以所以 问题:14. 设f(x)有一个原函数 答案:-π2+2π+6[解析] 因是f(x)的原函数，所以 问题:15. 答案:其中C为任意常数[解析] 问题:16. 设y=y(x)，如果且当x→+∞时，y→0，则y=______．答案:e-x[解析] 由已知得由不定积分定义有 所以分离变量，两边积分，再由已知条件得结果y=e-x．问题:17. 设f(x)连续，则 答案:xf(x2)[解析] 问题:18. 答案:1[解析] 问题:19. 答案:[解析] 令则x=t2+2，dx=2tdt，所以 问题:20. 曲线9y2=4x3(y＞0)上从x=0到x=1的一段弧的长度为______．答案:[解析] 曲线方程可化为弧长元素 所以弧长 问题:21. 答案:其中C为任意常数[解析] 设则 问题:22. 答案:其中C为任意常数[解析] 问题:23. 设f(x)连续，且a为常数，则 答案:a[解析] f(x)是抽象函数，不能具体地计算积分，要用积分中值定理然后再计算极限． 问题:24. 设两曲线y=f(x)与在点(0，0)处有相同的切线，则 答案:2[解析] 由已知条件知故得 问题:25. 设n是正整数，则 答案:[解析] 由得 故 问题:26. 答案:[解析] 则 问题:27. 位于x轴上区间[-a，a]内质量为m的均匀细棒对位于y轴上点(0，-a)处质量为m0的质点的引力为______．答案:，k为引力系数[解析] 对于任意将此小区间看作质点，其质量元素为对应的引力元素为其中k为引力系数． 由对称性可知，其在x轴上的分力被对称于y轴的小区间上分力所抵消，而 所以 问题:28. 设函数f(x)在(0，+∞)上连续且对任意正值a与b，积分的值与a无关，且f(1)=1，则f(x)=______．答案:[解析] 由与a无关，所以 f(ab)b-f(a)≡0. 上式对任意a成立，所以令a=1亦应成立，有即有可以验算， 问题:29. 答案:[解析] C为任意常数．。