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用于麦克风阵列的球面谐波分解摘要：随着麦克风阵列在室内声场分析、声场再现、语音通信中的广 泛应用，球面谐波分解在阵列信号处理中的地位变得更加重要针对 球面阵列的球面谐波分解是近年发展起来的波束形成新技术，它还可 以扩展到线阵和环形阵等其它阵形中从球面傅里叶变换着手，在球 面谐波域内对不同条件下波束形成算法的原理、性能及其在阵列信号 处理中可能的应用进行了全面的综述关键词：麦克风阵列；球面谐波；波束形成； 波达方向估计0 引言球面谐波是波动方程在球坐标系下的解中关于角度的函数，它是 球面傅里叶变换的基函数，不同阶次的谐波之间相互正交球面谐波 分解在麦克风阵列处理中的应用是基于入射声场的传播与散射，由傅 里叶声学原理［1］提出的，这类方法也称为球面谐波域阵列处理基 于球面谐波分解的波束形成就是首先通过球面傅里叶变换将入射信 号的声压变换到球面谐波域内，然后对各阶次的谐波进行加权求和得 到整个阵列的输出Meyer和Elko［2］通过对声场进行球面谐波分解，得到一种简单、 灵活、有效的波束形成器结构，输出波束的形状并不会随着方向的改 变而变化Abhayapala和Ward［3］将类似的阵列应用到高阶声场录音 和重构中oAbhayapala⑷还将3D球面阵的分解方法扩展到环形阵中， 进一步扩展了球面谐波在不同阵形中的应用范围。

随着研究的深入， 学者们对球面谐波的提取及球面谐波域波束形成进行了更详细的阐述，提出了许多有效的算法Rafely⑸曾针对远场窄带情况对球面阵 的采样和波束形成进行了总结本文结合新近出现的算法，从球面谐波的分解原理和提取方法出 发，按照空间域波束形成的分类方法［6］，对球面远场窄带波束形成 进行分类，并总结了针对近场源和宽带信号提出的新算法同时也对 比分析了球面谐波域中不同阵形波束形成算法的原理和性能，及其在 麦克风阵列信号处理中的可能应用，以方便那些从事麦克风阵列应用 研究的读者1 基础理论球面傅里叶变换是整个算法的基础，它实现了信号从阵元域到球 面谐波域的变换，在实际工程应用中，通常利用采样的离散变换来代 替连续的变换本部分将对球面傅里叶变换和空间采样的规则进行介 绍1.1 球面傅里叶变换1.2 空间采样此外，Vicente［9］提出了两种新的采样方法，将阵元分布在不同 的圆环上，每个环可以构成一个子阵，并将圆环按照纬度排列在保 证满足奈奎斯特定理的前提下，增加阵元之间的距离，从而减少阵元 的数目新的方法能够保持较高的方向性和波束响应的对称性2 球面阵波束形成2.1 远场窄带波束形成根据Van Veen和Buckly对传统波束形成的分类方法［6］,我们将 球面阵远场窄带波束形成也分为三大类：固定波束形成、统计最优波 束形成和多约束的最优波束形成。

2.1.1 固定波束形成2.1.2 统计最优波束形成 在球面谐波域内,统计最优波束形成与空间域类似,权值依赖于阵列接收数据的统计特性其实,阵列的输出不仅可以表示成球面谐 波域的采样结果,也可以直接在空间域中表示,具有类似的表达形式 如式（6）所示因此,可以将空间域中的统计最优算法扩展到球面谐波域中使 用,例如, MVDR、LCMV、GSC 等经典算法,并且在球面谐波域中 可以减少运算量,提高运行效率［10］2.1.3 多约束最优波束形成 多约束最优波束形成是指在保证期望波束的同时,可以对其它方向的信号或者相关的性能指标进行约束,最后得到一个最优化的权 值,达到对波束进行优化的目的Li和Duraswami［ll］、Meyer和Elko［12］提出了权值优化的球面 波束形成算法,引入白噪声增益作为性能约束条件,权值 w 是整个 优化过程的结果，在一定条件下是最优的Rafely［13］提出了能够同 时在空间域和球面谐波域中实现的多零陷算法,针对非对称的普通波 束，在保证期望波束的同时可以对多个方向的干扰进行抑制，增强期 望信号，并应用到室内脉冲响应的测量中Shefeng Yan［17］将二阶锥化与波束形成相结合，在球面谐波域内 将多约束的最优算法看成是凸优化的二阶锥化过程，权值和输出的波 束是对多项性能指标优化后得到的最优结果。

例如，鲁棒的最小旁瓣 算法［14］，在保证期望方向的响应和主瓣宽度的同时，使得旁瓣的峰 值最小最优的模态波束形成［15］，它将多个性能参数约束考虑到一 个优化过程中，试图从这些相关的参数中得到有效的最优解与前面 提到的算法不同的是，它可以动态地对干扰进行抑制，可以应用到语 音增强和去混响中此外，该思想也可以应用到多波束形成算法［16］ 中，可以同时对多个期望的波束进行约束2.2 远场宽带波束形成球面阵的远场宽带波束形成，也可以分为频域和时域两类进行实 现结合频域的算法，先将宽带信号经过DFT变成窄带信号，然后 在球面谐波域内计算各个频率的权值同样，基于FIR滤波器的时域 算法也可以扩展到球面谐波域内，Shefeng Yan［17］提出了一种在时域 内实现球面谐波域宽带波束形成的算法，将权值的获取看成是滤波器 设计，并带有多约束的最优化过程，得到的权值是多个指标优化后的 最优解在算法实现流程中，借鉴Meyer和Elko［18］的球面波束形成 时域处理方法，将球面谐波的实部与虚部分开作为球面傅里叶变换的 基，在球面谐波域内得到实数信号，最后经过FIR波束合成模块得到 波束响应该算法有着比空间域宽带处理更小的计算量。

此外， V. Tourbabin［19］提出的实权值波束形成算法可以看作是FIR实现的一种 特例，只需要一组滤波器系数即可，它指出刚性球更适合用此类算法， 并将算法性能和复权值算法进行比对2.3 近场波束形成 上述算法都是基于远场假设的，但在实际应用，例如，手提 中信源到阵元的距离变小，远场平面波的假设将不再成立，因为在波 束响应中信号的相位和幅度可能会出现误差Meyer和Elko[20]提出 了近距离通话麦克风阵，它基于对近场源声场的球面谐波正交分解， 并通过不同模态间的比值估计出信源的距离，加上角度估计可以对信 源进行定位Fisher和Rafely[21 ]也已经用阵列的阶数，信号频率和 位置等参数定义了近场准则，并对波束响应随径向距离变化的情况进 行了研究最近， Fisher 和 Rafely[22， 23]又将径向滤波器应用到实 际的近场球面阵和实际语音信号中，在控制波束响应方向性能的基础 上，试图提高阵列的径向性能常用的滤波器有径向契比雪夫、径向 V 型滤波器等，分析它们的设计方法和性能，结果表明它们可以提高 对不同距离干扰的抑制能力，具有不同的距离分辨力3 线阵和环形阵波束形成 在进行球面谐波分解时，通常将球面阵作为第一选择，但是它要 求阵元的位置必须严格正交，这会限制阵列形状的灵活性。

Kennedy 和 Abhayapala[24， 25]课题组对球面谐波阵波束形 成中的应用进行了研究他们根据z轴上线阵波束的轴对称性，简化 了波动方程的球面谐波解，并论证了近场和远场波束响应的等价性 通过径向变换、径向互惠关系等将近场宽带响应变换到远场中，利用 成熟的远场算法设计相应的波束Meyer和Elko[26]试图用环形阵去提取球面谐波，利用了 x-y平 面内的环形阵和原点处的一个阵元，这种阵列结构对于高度不变的2D 声场分析比较有效，不能完全提取出 3D 场的全部谐波 Abhayapala[4]提出更适用于3D声场分解的阵列结构，阵列由一组互 相平行的环形阵组成在进行球面谐波分解的时候，根据波动方程、 勒让德函数和球面贝塞尔函数的性质，将环形阵分为位于x-y平面的、 平行于x-y平面的，并在z轴上放置相应数目的阵元，最后将该混合 结构应用到远场宽带波束形成中4DOA 估计球面谐波域内的高精度DOA估计主要针对用球面麦克风阵列观 测相干和/或宽带源的情况Teutsch[27]提出了球面阵子空间DOA估 计的算法，思想类似于阵元域中的算法接着，Teutsch[28]将球面谐 波分解后得到的子波束应用到多个宽带信号源的检测和定位中，在定 位过程中用到球面Esprit算法。

Goossens和Rogier[29]对上述的球面 Esprit 算法进行改进，它可以对方位角和俯仰角自动配对，并进行二 维DOA估计，即使在相干情况下，它的运算量更低性能也更好Sun Haohai[30]等指出球面子空间Esprit算法在现实应用中存在的关键问 题，例如，相干源和多个信源的定位问题等，并结合频率平滑、方向 矢量扩展等技术来提高算法的性能，利用Eigenmike麦克风阵列进行 测试Khaykin[31]在利用球面阵对相干源进行DOA估计时，在频 域将频率平滑和MUSIC算法结合，并在实际环境中得到了比波束形 成更好的性能Li Xuan[32]等利用球面阵阵元的正交性，提出了球面 MUSIC算法，与传统MUSIC、波束空间MUSIC以及很多改进算法 相比，该算法有更好的估计精度Sun Haohai[33]将子波束MVDR算 法用到宽带相干源的定位和提取中，在较精确地估计出DOA之后， 通过计算TDOA可以确定信号的空间位置Mabande和Sun Haohai[34， 35]等人在室内环境中利用 Eigenmike 麦克风阵列，对基 于子空间和基于波束形成的DOA估计算法的性能进行比对，包括子 空间MUSIC，子空间ESPRIT和MVDR等算法，主要测试了不同算 法对室内反射体的定位性能。

5 结语本文对球面谐波分解在麦克风阵列信号处理中的应用进行了系 统的描述，内容涵盖球面谐波的获取、球面阵的空间采样等理论基础， 以及波束的分类和权值的设计等核心部分在此基础上，将球面阵远 场窄带波束形成分为三大类：固定波束形成、统计最优波束形成和多 约束最优波束形成，并归纳整理了新近提出的处理近场和/或宽带源 的方法此外，还指出了在非球面阵中应用球面谐波分解时，对不同 阵形的约束条件，总结了球面谐波分解在宽带相干源高精度DOA估 计中的应用现状参考文献：[1] WILLIAMS E G. Fourier acoustics ： sound radiation and nearfield acoustical holography [M]. Cambridge： Academic Press， 1999.[2] MEYER J， ELKO G. A highly scalable spherical microphone array based on an orthonormal decomposition of the soundfield[C]. IEEEInternational Conference on Acoustics， Speech， and Signal Processing （ICASSP）， 2002.[3] ABHAYAPALA T D， WARD D B. Theory and design of high order sound field microphones using spherical microphone array[C]. IEEE International Conference on Acoustics， Speech， and Signal Processing （ICASSP）， 2002.[4] ABHAYAPALA T D， GUPTA A. Spherical harmonic analysis of wavefields using multiple circular sensor arrays[J]. IEEE Transactions on Audio， Speech， and Language Processin， 2010（6）.[5]RAF。