超平面排列中的一些问题.pdf

Ab s t r a c tA fi n it e h y p e r p l a n e a r r a n g e m e n t 人i s a fi n i t e s e t o f a f fi n e h y p e r p l a n e s i n s o m e v e c -t o r s p a c e V = K “ , w h e r e Ki s a fi e l d , a n d a l i n e a r h y p e r p l a n e i s a n n 一1 d i m e n s i o n a ls u b s p a c e . T h i s p 即o r m a i n l y c o n c e rn s th e b a s i c d e fi n i t i o n o f h y p e r p l a n c a r r a n g e m e n t s ; t h e p r i n c i p l e o f fi n i t e fi e l d s , a n d t h e m e t h o d b a s e d o n fi n i t e fi e l d s f o r c o m p u t i n g t h e c h a r a c t e r i s ti c p o l y n o m i a l o f a n a r r a n g e m e n ts d e f in e d o n Q a n d t h e n u m b e r o f r e g i o n s , s o m e c o m b i n a t o r i a l i n t e r p r e t a t i o n s o f r e g i o n s f o r L i n i a l a r r a n g e m e n t a n d S h i a r r a n g e - m e n t , e s p e c ia l l y c o m p u t i n g th e c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l s o f L i n i a l a n d S h i h y p e r p l a n e a r r a n g e m e n t s , t h e c h a r a c t e r i s ti c p o l y n o m i a l s o f a c l a s s o f h y p e r p l a n e a r r a n g e m e n t s ; t h e d i s ta n c e e n u m e r a t o r p o l y n o m i a l o f S h i a r r a n g e m e n t , t h e d i s t a n c e e n u m e r a to r p o l y n o- m i a l s o f s u p e r s o l v a b l e a r r a n g e m e n t s . T h e c o r e c o n t e n t i s t o c o m p u t e th e c h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a l s o f h y p e r p l a n e a r r a n g e m e n t s b y t h e m e th o d o f fi n i t e fi e l d s , a n d t o t a l k a b o u t t h e c o m b i n a t o r i a l i n te r p r e t a t i o n s o f t h e r e g i o n s o f L i n i a l a n d S h i h y p e r p l a n e a r r a n g e -立t e n 招.K e y w o r d s : h y p e r p l a n e a r r a n g e m e n t , p a r k i n g f u n c ti o n , c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l , g e - o m e t r i c l a t t i c e , d i s t a n c e e n u m e r a t o r p o l y n o m i a l南 开 大 学 学 tt 论 文 电 - 3 4 版 授 丰 S C I X用 协 议( 请将此协议书装订于论文首页)论文 《南开大学工作和学习期间创作完成的作品，并己 通过论文答辩。

》 系本人在本人系本作品的唯一作者 ( 第一作者)，即著作权人现本人同意将本作品收录于 “ 南开大学博硕士学位论文全文数据库” 本人承诺:己提交的学位论文电子版与印刷版论文的内容一致，如因不同而引起学术声誉上的损失由本人自负本人完全了解 《 南同意南开大学图书馆在下述范围内免费使用本人作品的电子版 :本作品呈交当年，在校园网上提供论文目 录检索、文摘浏览以及论文全文部分浏览服务 ( 论文前1 6 页) 公开级学位论文全文电 子版于提交1 年后， 在校园网上允许读者浏览并下载全文.注:本协议书对于 “ 非公开学位论文”在保密期限过后同样适用院系所名称:作者签名 :学号:日期;年月日南开大学学位论文版权使用授权书本人完全了解南开大学关于收集、 保存、 一 使用学位论文的规定，同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本; 学校有权保存学位论文的印 刷本和电 子版， 并采用影印、 缩印、扫描、数字化或其它手段保存论文;学校有权提供目 录检索以及提供本学位论文全文或者部分的阅览服务;学校有权按有关规定向国家有关部门 或者机构送交论文的复印件和电子版;在不以 赢利为目的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内 容用于学术活动。

学位论文作者签名:年月日经指导教师同意， 本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书指导教师签名:学位论文作者签名:解密时间:年月日各密级的最长保密年限 及书写格式规定如下:内 部6 年 ( 最长导 年， 可少于5 年) 默10 'F (r -} I() `I I IT-} 1 10 '}-?南开大学学位论文原创性声明本人郑重声明: 所呈交的学位论文， 是本人在导师指导下， 进行研究工作 所取得的成果 除文中己经注明引用的内 容外， 本学位论文的研究成果不包含任何他人创作的、 己 公开发表或者没有公开发表的作品的内容对本论文所涉及的研究工作做出 贡献的其他个人和集体， 均己 在文中以明确方式标明 本学位论文原创性声明的法律责任由本人承担学位论文作者签名:年月日第一章 引言第一章引言' 1 .1 超平面排列的 基 本介绍在引入超平面的概念之前， 我们首先来看下面一个问题: 给定一块蛋糕， 然 后用一把刀对其切割n 次， 问怎样切割蛋糕才能使切割后得到的块数最多? 我们可以这样转化: 把每一刀看作一个超平面， 那么所切的刀就构成一个超平面排列， 怎样的一个超平面排列才能满足要求呢? 问题的答案是这些超平面排列必须处于所谓的“ 一般位置” 才能满足要求， 即任何两个超平面必须有一条交线、 任何三个超平面必须有一个交点并且这些交点是互不相同的。

一个超平面是指n 维线性空间中的一个 一1 维的线性子空间， 比较重要的 进 展由T . Z a s l a v s k y 在[ 2 2 ] 中 给出， 作者主要 运用了 删除限 制的 方 法来推导有 关 超平面排列的特征多项式以及区域个数等有关计数问题的递推关系式， 一个类似的结 果由M. L a s . V e r g n a s 独立地发 现. 此外， T . Z a s l a v s k y 引进了 超平面 排列中 一 个 很 重 要 的 概 念: 超 平 面 排 列 的 相 交 偏 序 集L ( A ) ， 同 时 使 用 莫比 乌 斯 函 数 来 定 义侧 川的 特 征 多 项 式 更 多 的 进 展 由 P O r lik 以 及L . S o lo m o n 在1 9 8 0 年 的 文 章[[ 9 ] 中 使用组 合数 学的方 法得到 当超平 面排列 在复空 间 上定义的时 候， 要很 好地研究它们相关的性质需要用到大量的代数、 拓扑等方面的知识 一个很好的 探索 超平面 排列的 现 代理论可 参见文献[[ 6 ] ， 更多 其它内 容的 研究请见参 考文献 [ 1 0 ] 。

本文主 要从 组合 数学的角 度来 研究超平 面 排列的 有关问 题在下面一些章节中， 我们将会看到有关超平面排列的区域可以 通过它的特征多项式求出. 那么如何求特征多项式呢? 虽然超平面排列问 题比较复杂并且一般很难求出它们的 特征多项式， 但是有时候可以计算出特征多项式的生成函数， 甚 至是 它的T u tt e 多 项式， 文章[[ 1 ] 对这个问 题做了 很详 细的 研究 并给出了 求超平 面排列的T u tt e 多项式的多种方法. 求特征多项式的另一个比较有效的方法是有限 域 方法， 它的 基 本思想 来源于C r a p 以 及R o t a 虽然 一般 超平面的 特征多 项式 很难求出， 但用有限域方法可以 求出一类超平面排列的特征多项式， 并且它们的 特征 多项式 一 般都很 简单 在C h r i s t o s A . A t h a n a s i a d i : 的 文章[[ 2 ] 中 做了 非常 具体 的计算与研究 值得一提的是对于一类特殊的 超平面排列， 它们的特征多项式可第一章 引言以写成因子乘积的形式L i n i a l 超平面排列区域与光滑偏序集以及满足某些性质的有向竞赛图之间有 一个双射， 这个组合 解释由A l e x a n d e r P o s t n i k o v以 及R i c h a r d P S t a n l e y 在文献 [ 1 1 ] 中 给出 。

L i n i a l 超 平面排 列区 域的数目 恰好 就是顶 点集为[ n + 1 ] 的 交错 树的 个数， 并且两位作者在上述文章中也给出了该计数. S h i 超平面排列区域的组合性 质的 研究 主要参 见R i c h a r d P S t a n l e y 的 文 章[ 1 6 ] ， 并 且在该篇文 章中， 作 者证 明了S h i 超平面排列的区域与停车函数是对应的， 同时给出了一个很好的双射另外作者通过对 S h i 超平面排列区域的 刻画给出了它的距离计数多项式， 并且证 明了 这 个多 项 式与以0 为 根的 顶点 集为[ 二 十 1 ] 的树的 逆 序多 项式有 密切 联系 此 外， C h r i s t o s A . A t h a n a s i a d i s 给出了S h i 超 平 面排列的 区 域和 满足某 种条 件的 偏序 集之间的 一 一对 应， 详 细内 容见 参考文 献[ 3 ] .本文 的 大体框 架 如下:在 第二 章中， 我 们引 入超平 面排列 相关的 基本 概念 及基本 定理、 给出 拟阵以 及几何格与超平面排列之间的关系，引入超可解超平面排列的定义，最后给出Wh i t n e y 定理的 证明。

定理 1 . 1 . 1 ( W h i t n e y 定理) . 滋是 维向 童空间 的 超平面 排列， 那么风的 特 征 多项式为X A (t ) =又 ( - 1 ) # g 一、 ( .日 CA定理 1 . 1 .2 . 首先 令(。