《高中数学阶段常见函数性质汇总》.pdf

1高中阶段常见函数性质汇总高中阶段常见函数性质汇总函 数 名 称：常数函数常数函数解析式 形 式：f(x)=b (bR)f(x)=b (bR)图象及其性质：函数f(x)f(x)的图象是平行于x x轴或与x x轴重合（垂直于y y轴）的直线定 义 域：R R值 域：bb单 调 性：没有单调性奇 偶 性：均为偶函数当b=0b=0 时，函数既是奇函数又是偶函数反 函 数：无反函数周 期 性：无周期性函 数 名 称：一次函数一次函数解析式 形 式：f(x)=kx+b (k0,bR)f(x)=kx+b (k0,bR)图象及其性质：直线型图象k|k|越大，图象越陡；|k|k|越小，图象越平缓；当b=0b=0 时，函数f(x)f(x)的图象过原点；当b=0b=0 且k=1k=1 时，函数f(x)f(x)的图象为一、三象限角平分线；当b=0b=0 且k=-1k=-1 时，函数f(x)f(x)的图象为二、四象限角平分线；定 义 域：R R值 域：R R单 调 性：当k0k0 时，函数f(x)f(x)为 R R 上的增函数；当k0k0k0 时，函数f(x)f(x)的图象分别在第一、第三象限 ； 当k0k0k0 时，函数f(x)f(x)为和上的减函数；)0 ,(), 0( 当k0k0k0 时，函数f(x)f(x)的图象分cay cdx别在直线与直线形成的左下与右上部分；当k0k0 时，函数f(x)f(x)的图象分别cay cdx在直线与直线形成的左上与右下部分；cay cdx双曲线型曲线，直线与直线分别是曲线的两条渐近线；cay cdx图象成中心对称图形，对称中心为点；),(cacd图象成轴对称图形，对称轴有两条，分别为、；cdaxycdaxy由于cacdxcadbcdcxcadbcadcxcadbdcxcadcxbaxxf2)()(令，则2cadbckcacdxkxf)(进而函数f(x)f(x)的图象可以看成是由函数向左平移个单位，向上平移 个单位得xky cdca到的定 义 域：),(),(cdcd值 域：),(),(caca单 调 性：当时，函数在和上均为减函数；0 adbc),(cd),(cd当时，函数在和上均为增函数；0 adbc),(cd),(cd奇 偶 性：非奇非偶函数反 函 数：acxbdxy周 期 性：无abx2xyOf(x)=dcxbax3函 数 名 称：二次函数二次函数解析式 形 式：一般式：)0()(2acbxaxxf顶点式：)0()()(2ahkxaxf两根式：)0)()()(21axxxxaxf图象及其性质：图形为抛物线，对称轴为，顶点坐标为abx2或，与轴的交点为；)44,2(2abacab),(hky), 0(c当时， 抛物线的开口向上， 此时函数图象有最低点； 当时，0a)44,2(2abacab0a抛物线的开口向下，此时函数图象有最高点；)44,2(2abacab当时，函数图象与轴有两个交点，当时，函数图象042acbx042acb与轴有一个交点，当时，函数图象与轴没有交点；x042acbx横坐标关于对称轴对称时，纵坐标相等；当时，横坐标距对称轴近则函数值小，0a当时，横坐标距对称轴近则函数值大；0a函数均可由函数平移得到；)0()(2acbxaxxf)0()(2aaxxf定 义 域：R R值 域：当时，值域为；当时，值域为0a),44(2abac0a)44,(2abac单 调 性：当时，上为减函数，上为增函数；0a2,(ab),2ab当时，上为减函数，上为增函数；0a),2ab2,(ab奇 偶 性：当时，函数为偶函数；当时，函数为非奇非偶函数0b0b反 函 数：定义域范围内无反函数，在单调区间内有反函数周 期 性：无函 数 名 称：指数函数指数函数解析式 形 式：) 1, 0()(aaaxfx图象及其性质：函数图象恒过点，与 轴不) 1 , 0(x相交，只是无限靠近；xyOf(x)=cbxax2xyOf(x)=) 1( aaxf(x)=) 10( aax4函数与的图象关于轴对称；xaxf)(xxaaxf)1()(y当时，轴以左的图象夹在在直线与轴之间，轴以右的图象在直线1ay1yxy以上；当时，轴以左的图象在直线以上，轴以右的图象夹在在直1y10 ay1yy线与轴之间；1yx第一象限内，底数大，图象在上方；定 义 域：R R值 域：), 0( 单 调 性：当时，函数为增函数；当时，函数为减函数；0a0a奇 偶 性：无反 函 数：对数函数) 1, 0(log)(aaxxfa周 期 性：无函 数 名 称：对数函数对数函数解析式 形 式：) 1, 0(log)(aaxxfa图象及其性质：函数图象恒过点，与轴不相交，只是无限)0 , 1 (y靠近；函数与的xxfalog)(xxxfaaloglog)(1图象关于轴对称；x当时，轴以下的图象夹在在直线与轴之间，轴以上的图象在直线1ax1xyx以右；当时，轴以下的图象在直线以右，轴以上的图象夹在在直1x10 ax1xx线与轴之间；1xy第一象限内，底数大，图象在右方；定 义 域：R R值 域：), 0( 单 调 性：当时，函数为增函数；当时，函数为减函数；与系数函数的单调性类似，因0a0a为两函数互为反函数奇 偶 性：无反 函 数：指数函数) 1, 0()(aaaxfx周 期 性：无xyOf(x)=) 1(logaxaf(x)=) 10(log axaxyOf(x)=xx1125函 数 名 称：对钩函数对钩函数解析式 形 式：xxxf1)(图象及其性质：函数图象与轴及直线不相交，只是无限靠近；yxy 当时，函数有最低点，即当时函数取得最小值；0 x)(xfy )2 , 1 (1x2) 1 (f当时，函数有最高点，即当时函数取得最大值0 x)(xfy )2, 1(1x；2) 1(f定 义 域：), 0()0 ,(值 域： ), 22,(单 调 性：在和上函数为增函数；在和上函数为减函数； 1,(), 1 )0 , 1 1 , 0(奇 偶 性：奇函数反 函 数：定义域内无反函数周 期 性：无23 函数单调性（考点疏理+典型例题+练习题和解析）23 函数单调性 23 函数单调性（考点疏理+典型例题+练习题和解析）23 函数单调性 【典型例题】例 1(1)则 a 的范围为( D) ( )(21),f xaxbR设函数是 上的减函数A B C D 12a 12a 12a 12a 提示：210，在其定义域内下列函数为单调增函数的为 ( )f x( )f x（为常数） ；（为常数） ； ； ( )yaf x( )yaf xa1( )yf x2 ( )yf x提示：借助复合函数的单调性.8函数上的最大和最小值的和为，则= (1)( )log0,1xxaf xa在aa12提示：是0,1上的增函数或减函数,故，可求得=( )f x(0)(1)ffaa12 9设是定义在上的单调增函数，满足( )f x(0,)()( )( ),(3)1f xyf xf yf 求：（1）f（1） ；（2）当时 x 的取值范围.( )(8)2f xf x解:(1) 令可得 (2)又 2=1+1= 1xy(1)0f(3)(3)(9)fff由,可得( )(8)2f xf x (8)(9)f x xf因为是定义在上的增函数,( )f x(0,)所以有且且，解得：0 x 80 x(8)9x x89x10求证:函数在上是增函数.( )(0)af xxax(,)a 证明:设则12xxa12()()f xf x1212()()aaxxxx1212()(1)axxx x121212()()x xaxxx x当时 , ，所以12xxa120 xx120 x x 12x xa12()()0f xf x所以函数在上是增函数.( )(0)af xxax(,)a 824 函数的奇偶性（考点疏理+典型例题+练习题和解析）24 函数的奇偶性（考点疏理+典型例题+练习题和解析）【典型例题】例 1 （1）下面四个结论中，正确命题的个数是（A）偶函数的图象一定与 y 轴相交；函数为奇函数的充要条件是；偶函数的图象关于 y( )f x(0)0f轴对称；既是奇函数，又是偶函数的函数一定是 f（x）=0（xR） A1 B2 C3 D4提示：不对，如函数是偶函数，但其图象与轴没有交点；不对，因为奇函数的定义域可21( )f xxy能不包含原点；正确；不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为 f（x）=0 x（，） ，答aa案为 A（2）已知函数是偶函数，且其定义域为 ，则（）2( )3f xaxbxab1, 2aaA，b0 B，b0 C，b0 D，b031a1a 1a 3a 提示：由为偶函数，得 b02( )3f xaxbxab又定义域为 ， ，故答案为 A1, 2aa(1)20aa31a（3）已知是定义在 R 上的奇函数，当时，则）在 R 上的( )f x0 x 2( )2f xxx( )f x表达式是（）A B C D(2)yx x(| 2)yx x|(2)yxx(| 2)yx x提示：由时，是定义在 R 上的奇函数得：0 x 2( )2f xxx( )f x当 x0 时，0 x 2( )()(2 )(2)f xfxxxxx ，即，答案为 D(2)(0)( )(2)(0)x xxf xxxx ( )(| 2)f xx x（4）已知，且，那么 f（2）等于53( )8f xxaxbx( 2)10f 26提示：为奇函数，53( )8f xxaxbx( 2)818f (2)818f (2)26f （5）已知是偶函数，是奇函数，若，则的解析式为( )f x( )g x11)()(xxgxf( )f x提示：由是偶函数，是奇函数，可得，联立，得：( )f x( )g x11)()(xxgxf11)()(xxgxf， 21111( )()1211f xxxx 11)(2xxf例 2判断下列函数的奇偶性：（1）；(2)；1( )(1)1xf xxx22( )11f xxx（3）；（4）22lg(1)( )|2| 2xf xx22(0)( )(0)xxxf xxxx解：（1）由，得定义域为，关于原点不对称，为非奇非偶函数101xx 1,1)( )f x(2) ， 既是奇函数又是偶函数222101110 xxxx ( )0f x ( )f x9（3）由得定义域为，2210|2| 20 xx ( 1,0)(0,1)22lg(1)( )(2)2xf xx22lg(1)xx 为偶函数2222lg1 () lg(1)()()xxfxxx ( )f x( )f x（4）当时，则，0 x 0 x 22()()()( )fxxxxxf x 当时，则，0 x 0 x 22()()()( )fxxxxxf x 综上所述，对任意的，都有，为奇函数(,)x ()( )fxf x ( )f x例 3若奇函数是定义在（，1）上的增函数，试解关于的不等式：( )f x1a2(2)(4)0f af a解：由已知得2(2)(4)f af a 因 f(x)是奇函数，故 ，于是22(4)(4)f afa2(2)(4)f afa又是定义在（1，1）上的增函数，从而( )f x22322412113321415335aaaaaaaaa 或即不等式的解集是( 3, 2)例4 已知定义在R上的函数对任意实数、， 恒有， 且当时，( )f xxy( )( )()f xf yf xy0 x ( )0f x 又2(1)3f （1）求证：为奇函数；（2）求证：在 R 上是减函数；（3）求在，6上的最大值与( )f x( )f x( )f x3最小值（1）证明：令，可得 ，从而，f(0) = 00 xy(0)(0)(00)(0)ffff令，可得 ，即，故为奇函数yx ( )()()(0)0f xfxf xxf()( )fxf x ( )f x（2）证明：设R，且，则，于是从而12,xx12xx120 xx12()0f xx121222122212()()()()()()()()0f xf xfxxxf xf。