第二章非线性求解_图文.ppt

第二章,非线性求解,2000年10月16日,2-2,5.7版 非线性结构,,在完成本章的学习后，应理解非线性分析中所用到的基本术语：,1. Newton-Raphson法2. 收敛3. 载荷步，子步和平衡迭代4. 自动时间步5. 输出文件信息6. 非线性求解自动控制7. 非线性求解过程8. 高级求解控制9. 重启动分析,目 标,2000年10月16日,2-3,5.7版 非线性结构,非线性求解,F,u,在非线性分析中，不能直接由线性方程组推得响应需要将载荷分解成许多增量求解，每一增量确定一平衡条件2000年10月16日,2-4,5.7版 非线性结构,渐变式加载,非线性求解的一种方法是将载荷分解为一系列增量在每一增量步求解结束后，调节刚度矩阵以适应非线性响应纯增量法的问题在于载荷增量步导致误差累积，使最终结果偏离平衡F,u,误差,,累计响应,位移,载荷,,2000年10月16日,2-5,5.7版 非线性结构,Newton-Raphson 法,ANSYS 使用Newton-Raphson平衡迭代法 克服了增量求解的问题 在每个载荷增量步结束时，平衡迭代驱使解回到平衡状态F,u,一个载荷增量中全 Newton-Raphson 迭代求解。

四个迭代步如图所示）,位移,载荷,1,2,3,4,2000年10月16日,2-6,5.7版 非线性结构,Newton-Raphson法(续),Newton-Raphson 法迭代求解使用下列方程：[KT]{u} = {Fa} - {Fnr}这里:[KT] = 切向刚度矩阵 {u} = 位移增量{Fa} = 施加的载荷矢量{Fnr} = 内力矢量目标是迭代至收敛 (后面定义)Fa,u,1,2,3,4,[KT],,2000年10月16日,2-7,5.7版 非线性结构,Newton-Raphson 法(续),Newton-Raphson法是ANSYS用于求解非线性方程组的一种数值方法 Newton-Raphson法基于增量加载与迭代，使每个载荷增量步达到平衡Newton-Raphson 法的优点是对于一致的切向刚度矩阵有二次收敛速度（在以后有详细的探讨）也就是每一迭代步的求解误差与前一步误差的平方成正比2000年10月16日,2-8,5.7版 非线性结构,收 敛,Newton-Raphson 法需要一个收敛的度量以决定何时结束迭代给定外部载荷（Fa），内部载荷（ Fnr ）（由单元应力产生并作用于节点），在一个体中，外部载荷必须与内力相平衡。

Fa - Fnr = 0,收敛是平衡的度量2000年10月16日,2-9,5.7版 非线性结构,收 敛(续),Fa,u1,,,,,,,Newton-Raphson 迭代过程如下所示基于 u0 时的结构构形，计算出切向刚度KT，基于F 计算出的位移增量是u ，结构构形更新为 u1Fnr,u,在更新的构形中计算出内力（单元力） 迭代中的Newton-Raphson 不平衡量是: R = Fa - Fnr,,,F,,u0,,,位移,载荷,,R,,,,KT,,,2000年10月16日,2-10,5.7版 非线性结构,收 敛(续),Newton-Raphson不平衡量 (Fa - Fnr) 实际上从未真正等于零当不平衡量小到误差允许范围内时，可中止Newton-Raphson 迭代，得到平衡解在数学上，当不平衡量的范数||{Fa} - {Fnr}||小于指定容限乘以参考力的值时就认为得到收敛2000年10月16日,2-11,5.7版 非线性结构,收敛判据,ANSYS 缺省的收敛判据是力 / 力矩和位移 / 旋转增量对于力 / 力矩缺省的容限是0.5%，对于位移 / 旋转增量的容限是 5% 。

经验表明这些容限对于大多数问题具有足够的精确度缺省的设置对于广泛的工程问题既不“太紧”也不“太松”2000年10月16日,2-12,5.7版 非线性结构,收敛判据(续),,力收敛判据提供了一个收敛的绝对度量，因为它可直接度量内部力与外部力间的平衡基于检查的位移判据只应作为力收敛判据的辅助手段使用只依据位移判断收敛在一些情况下将导致错误的结果2000年10月16日,2-13,5.7版 非线性结构,收敛半径,虽然使用一致切向刚度的Newton-Raphson法具有平方的收敛速度，但它不能保证一定收敛！只有初始构形在收敛半径以内， Newton-Raphson 才可以保证收敛F,u,位移,载荷,收敛半径 如果 ustart 在收敛半径内将收敛，否则将发散ustart ?,2000年10月16日,2-14,5.7版 非线性结构,收敛半径(续),ANSYS 使用了许多求解工具（以后将探讨）既使用渐变式加载（在收敛半径内开始求解），又扩大收敛半径渐变式加载,扩大收敛半径,F,u,ustart,F1,F,u,ustart,2000年10月16日,2-15,5.7版 非线性结构,切向刚度,为得到平方的收敛速度，切向刚度矩阵需要是全一致的。

切向刚度矩阵[KT]由四部分组成：[KT] = [Kinc] + [Ku] + [K] - [Ka]这里[Kinc] = 主切向刚度矩阵[Ku] = 初始位移矩阵[K] = 初始应力矩阵[Ka] = 初始载荷矩阵,2000年10月16日,2-16,5.7版 非线性结构,切向刚度(续),切向刚度矩阵代表多维空间中载荷－位移曲线的斜度 （在几何非线性一章中我们将更详细地讨论切向刚度矩阵,[Kinc] 是主切向刚度矩阵[Ku] 考虑了与单元形状与位置改变有关的刚度[K] 考虑了与单元应力状态有关的刚度；它结合了应力刚化效应[Ka] 考虑了与压力载荷取向改变有关的刚度，取向改变是由变形引起的2000年10月16日,2-17,5.7版 非线性结构,载荷步与子步,在ANSYS中，结构上施加的载荷由一系列定义的 载荷步 来描述给定载荷步中的载荷是逐步施加上去的载荷的每个增量称之为子步2000年10月16日,2-18,5.7版 非线性结构,载荷步，子步与平衡迭代,非线性求解可按下列三个层次组织：载荷步载荷步是顶层，求解选项，载荷与边界条件都施加于某个载荷步内子步子步是载荷步中的载荷增量子步用于逐步施加载荷。

平衡迭代步平衡迭代步是ANSYS为得到给定子步（载荷增量）的收敛解而采用的方法2000年10月16日,2-19,5.7版 非线性结构,,,,载荷步，子步与平衡迭代(续),“时间”,载荷,,,,,,,载荷步 2,载荷 1,子步,,,,在每一增量载荷步中完成平衡迭代步载荷步一中有两个子步，载荷步二中有三个子步每个载荷步及子步都与 “ 时间 ”相关联两个载荷步的求解,2000年10月16日,2-20,5.7版 非线性结构,在非线性求解中的 “ 时间 ”,每个载荷步与子步都与 “ 时间 ”相关联 子步 也叫时间步在率相关分析（蠕变，粘塑性）与瞬态分析中，“ 时间 ”代表真实的时间对于率无关的静态分析，“ 时间 ” 表示加载次序在静态分析中，“ 时间 ” 可设置为任何适当的值 建模技巧: 在静态分析中，“ 时间 ”可设置为给定载荷的大小这样将易于绘制载荷－位移曲线2000年10月16日,2-21,5.7版 非线性结构,,,,子步中的载荷增量大小 (DF) 由时间步的大小Dt决定 时间步大小可由用户设定或由ANSYS自动预测与控制自动时间步 算法可在载荷步内为所有子步预测与控制时间步长的大小（载荷增量）。

DF,时间,载荷,,,,,,,F1,F2,,,,,,Dt,,,,,,,,,,,t1,t2,自动时间步,2000年10月16日,2-22,5.7版 非线性结构,,自动时间步算法是 非线性求解控制 中包含的多种算法的一种在以后的非线性求解控制中有进一步的讨论基于前一步的求解历史与问题的本质，自动时间步算法或者增加或者减小子步的时间步大小自动时间步(续),2000年10月16日,2-23,5.7版 非线性结构,输出文件的信息,在非线性求解过程中，输出窗口显示许多关于收敛的信息输出窗口包括：力/力矩不平衡量 {R} FORCE CONVERGENCE VALUE最大的自由度增量 {u} MAX DOF INC力收敛判据 CRITERION载荷步与子步数 LOAD STEP 1 SUBSTEP 14,2000年10月16日,2-24,5.7版 非线性结构,输出文件的信息(续),输出窗口包括（续） ：当前子步的迭代步数 EQUIL ITER 4 COMPLETED 累计迭代步数 CUM ITER = 27时间值与时间步大小 TIME = 59.1250 TIME INC = 5.00000自动时间步信息 AUTO STEP TIME: NEXT TIME INC = 5.0000 UNCHANGED,2000年10月16日,2-25,5.7版 非线性结构,输出文件的信息(续),*** LOAD STEP 1 SUBSTEP 14 COMPLETED. CUM ITER = 27 *** TIME = 54.1250 TIME INC = 5.00000 *** MAX PLASTIC STRAIN STEP = 0.1512 CRITERION = 0.2500 *** AUTO STEP TIME: NEXT TIME INC = 5.0000 UNCHANGED FORCE CONVERGENCE VALUE = 349.2 CRITERION= 2.598 DISP CONVERGENCE VALUE = 0.1320 CRITERION= 0.9406 >> SOLUTION CONVERGED AFTER EQUILIBRIUM ITERATION 4 *** LOAD STEP 1 SUBSTEP 15 COMPLETED. CUM ITER = 31 *** TIME = 59.1250 TIME INC = 5.00000 *** MAX PLASTIC STRAIN STEP = 0.2136 CRITERION = 0.2500 *** AUTO STEP TIME: NEXT TIME INC = 5.0000 UNCHANGED,,,,,,,,2000年10月16日,2-26,5.7版 非线性结构,输出文件的信息(续),输出文件中的信息可用于求解调试。

下列内容代表求解过程中的一些典型问题：力/力矩不平衡量 － 求解收敛的如何？不平衡量是在增加、减少或振荡？自由度增量 － 自由度增量是变小、变大或振荡？力收敛判据 － 在你的问题中这个值是太大还是太小？它如何能与力收敛值相匹配？,2000年10月16日,2-27,5.7版 非线性结构,输出文件的信息(续),载荷步与子步数 － 求解现位于载荷历程的何处？当前载荷步使用了多少子步？迭代数 － 每一子步使用了多少次迭代？载荷增量是太大还是太小？时间参数 － 求解现位于载荷历程的哪一点？自动时间步信息 － 下一子步的时间步长是缩小还是增大？ 收敛历史是顺利还是困难？,2000年10月16日,2-28,5.7版 非线性结构,图示收敛信息,在图形窗口显示的是图形化的收敛历史显示了时间、迭代步数与不平衡量的信息在求解过程中这一显示不断更新。