(甘志国)桃园三结义——一种重要的三角变换.doc

桃园三结义桃园三结义————一种重要的三角变换一种重要的三角变换甘志国(已发表于 新高考(高一·数学(必修 4))，2015(2)：38-39)读者一定熟知桃园三结义的故事，正因为有了刘备、关羽、张飞桃园三结义的“不求 同生，但求同死”的海誓山盟、同甘共苦、肝胆相照，才有蜀国的鼎盛辉煌.在三角函数中有一个重要公式“” ，由此立得1cossin22xx22)cos(sin11)cos(sincossin2xxxxxx所以，在三个式子中，只要知道任一个，就可求出xxxxxxcossincossincossin，， 另外两个：(1)若知道，得；rxxcossinrxxrxx21cossin21cossin，(2)若知道，得；txxcossin22 2cossin21cossintxxtxx，(3)若知道，得.sxxcossin22 2cossin21cossinsxxsxx，笔者在教学时就把这种变换叫做“桃园三结义”.在使用时，还应注意均有有限tsr,,的范围；“”要根据具体情形选取，有时只能选其一，有时两者均可取到；求出后还可立即求得.所以“桃园三结义”一定有广泛、xxxxcossin,cossinxx sin,sin快捷的应用.例例 1 求函数的值域.)cos(sin32sinxxxy解解 可设，得，所以)22(cossinttxx12sin2 tx，可求得函数的值域是.)22( 132tttyy]231 ,231 [例例 2 求函数的值域.xxxxycossin1cossin 解解 可设且，得，所以22(cossinttxx) 1t21cossin2txx且，可得函数的值域是22(21 ) 1(212 tt tty) 1ty.      212, 11,212例例 3 (2007 年上海交通大学冬令营选拔测试数学试题第 8 题)设，且函数0a的最大值为，则 .)sin)(cos()(xaxaxf225a解解 .设，得.22)22(cossinttxx1)()(222aatxf(1)当即时，可得；2a2a2225,1)2(22aaa(2)当即时，可得(舍去)；22a20 a2625,12aa(3)当即时，与矛盾！2a2a0a所以.22a例例4 (2008年全国高中数学联赛陕西赛区预赛第13题)若实数满足，则yx,122 yx的最小值是 .12  yxxy解解 .可设，得.21sin,cosyx 1cossincos2sin 12  yxxy又设且，得，所以22(cossintt) 1t1cos2sin2 t且，得其最小值为. 22( 112ttyxxy) 1t21例例 5 (2004 年首届中国东南地区数学奥林匹克竞赛试题第五题)已知对任意，均有，求实数的 2, 0632sin2cossin6 4cos)32(2 aaa取值范围.解解 设，得，所以原)21 (cossinxx12sin,24cos2 xx不等式即63) 1(26)32(2axxxa02)32( axxx因为，所以，得题设即恒成立，所以所求21 x032x)21 (2xaxx实数的取值范围是.a), 3( 例例6 (第四届(2008年)北方数学奥林匹克邀请赛试题第七题)设为直角三角形的cba,,三边长，其中为斜边长，求使得成立的的最大值.ckabccba333 k解解 可设，得 20sin,coscbca  cossin1)cossin1)(cos(sin sincos1sincos33333 abccba设，得，所以.)21 (cossintt21cossin2tttabccba 12333易知函数是减函数，所以函数，)21 (12)(ttttf22)2()]([min ftf所以所求的最大值是.k22例例 7 的三边长，且ABCbCAaBCcAB,,.CBCABCBAACABAB2(1)判断的形状并求的取值范围；ABCBAsinsin(2)若不等式恒成立，求的取值范围.kabcbacacbcba)()()(222k解解 (1)得，再由余弦定理可得，即CabBcaAbcccoscoscos2222cba是直角三角形.ABC可得的取值范围是. 204sin2cossinsinsinAAAABA]2, 1 ((2)由正弦定理，可得题设即.1cossin11)cossin1 ( kAAAA可设，得，所以)21 (cossinttAA21cossin2tAA212) 1(cossin11)cossin1 ( ttAAAA可求得函数的最小值是，所以)21 (212) 1()(ttttf323)2(f所求的取值范围是.k2]23 ,(例例 8 (普通高中课程标准实验教科书《数学 4·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第 2 版)第 147 页复习参考题 B 组第 4 题)已知，求47 1217,53 4cos xx.xxx tan1sin22sin2解解 由，得，所以2435,53 4cos xx54 4sin x    102cos2107sin,254sincos253sincosxxxxxx所以.7528 tan1sin22sin2  xxx例例9 (2008年复旦大学自主招生数学试题第116题)已知是关于的方程cos,sinx的两个根，这里R R.则 .02aaxxa33cossinA. B. C. D.21212222解解 C.得，由可 04cossincossin2aaaa 22,cossin21)cos(sin2a求得.21a所以.22)1 ()cossin1)(cos(sincossin33aa例例10 (2008年上海交通大学冬令营选拔测试数学试题第一题第5题)已知，求.21sincosxxxx33sincos解解 把已知等式两边平方，可得.所以83cossinxx1611 83121)cossin1)(sincos(sincos33 xxxxxx例例11 (2005年复旦大学自主招生数学试题第二题第5题)已知，求关于的表达式.)20(cossinaanncossina解解 可得，所以 21cossincossin2aannnnaaaa       22 22cossin22 例例1212 设，求的取值范围. 2, 0x 4sin2sin5 xx解解 可设，得)21 (cossinttxx  ttttxx42424sin2sin52可得所求取值范围是.)25 , 6[注注 该题是《中学数学教学参考》(上旬)2012年第4期第36页的问题6，原答案是不对的.), 6[ 。