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固体物理习题集 第一章晶体的结构 1.解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ [ 解答 ] 晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为 面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 2.在结晶学中 , 晶胞是按晶体的什么特性选取的? [ 解答 ]在结晶学中 , 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性. 3. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？ [ 解答 ] 晶体中原子间距的数量级为 10 10 米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长应小于 10 10 米. 但可见 光的波长为7.64.0 7 10 米 , 是晶体中原子间距的1000 倍. 因此 , 在晶体衍射中，不能用可见光. 4. 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比, 对于同级衍射, 哪一晶面族衍射光弱? 为什么 ? [ 解答 ]对于同级衍射, 高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍射光强. 低指数的晶面族面间距大, 晶面上的 原子密度大 , 这样的晶面对射线的反射( 衍射 ) 作用强 . 相反 , 高指数的晶面族面间距小, 晶面上的原子密度小, 这样 的晶面对射线的反射( 衍射 ) 作用弱 . 另外 , 由布拉格反射公式 nsin2 hkl d 可知 , 面间距 hkl d 大的晶面 , 对应一个小的光的掠射角. 面间距 hkl d 小的晶面 , 对应一个大的光的掠射角. 越 大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱. 5. 温度升高时 , 衍射角如何变化? X 光波长变化时, 衍射角如何变化? [ 解答 ]温度升高时 , 由于热膨胀 , 面间距 hkl d 逐渐变大 . 由布拉格反射公式 nsin2 hkl d 可知 , 对应同一级衍射, 当 X光波长不变时, 面间距 hkl d 逐渐变大 , 衍射角逐渐变小 . 所以温度升高 , 衍射角变小 . 当温度不变 , X 光波长变大时, 对于同一晶面族, 衍射角随之变大 . 第二章晶体的结合 1. 是否有与库仑力无关的晶体结合类型? [ 解答 ]共价结合中 , 电子虽然不能脱离电负性大的原子, 但靠近的两个电负性大的原子可以各出一个电子, 形成电 子共享的形式, 即这一对电子的主要活动范围处于两个原子之间, 通过库仑力 , 把两个原子连接起来. 离子晶体中 , 正离子与负离子的吸引力就是库仑力. 金属结合中 , 原子实依靠原子实与电子云间的库仑力紧紧地吸引着. 分子结合 中, 是电偶极矩把原本分离的原子结合成了晶体. 电偶极矩的作用力实际就是库仑力. 氢键结合中 , 氢先与电负性大 的原子形成共价结合后, 氢核与负电中心不在重合, 迫使它通过库仑力再与另一个电负性大的原子结合. 可见 , 所有 晶体结合类型都与库仑力有关. 2. 如何理解库仑力是原子结合的动力? [ 解答 ] 晶体结合中 , 原子间的排斥力是短程力, 在原子吸引靠近的过程中, 把原本分离的原子拉近的动力只能是长 程力 , 这个长程吸引力就是库仑力. 所以 , 库仑力是原子结合的动力. 3. 晶体的结合能, 晶体的内能 , 原子间的相互作用势能有何区别? [ 解答 ] 自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量, 或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量, 称为晶体的结合 能. 原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能. 在 0K 时, 原子还存在零点振动能. 但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多. 所以 , 在 0K 时 原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能. 4. 原子间的排斥作用取决于什么原因? [ 解答 ] 相邻的原子靠得很近, 以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时, 相邻的原子间便产生巨大排斥力. 也 就是说 , 原子间的排斥作用来自相邻原子内层闭合壳层电子云的重叠. 5.原子间的排斥作用和吸引作用有何关系? 起主导的范围是什么? [ 解答 ] 在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合状态. 可见 , 晶 体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为 0 r , 当相邻原子间的距离 r0 r 时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离 rTL, 由于 ( 1 / HBT k e )小于 ( 1 / LBT k e ), 所以温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目. 5. 高温时 , 频率为 的格波的声子数目与温度有何关系? [解答 ] 温度很高时 , 1 /TkB e , 频率为 的格波的 (平均 ) 声子数为 1 1 )( /TkB e n TkB . 可见高温时 , 格波的声子数目与温度近似成正比. 6. 在甚低温下 , 不考虑光学波对热容的贡献合理吗? [解答 ] 参考本教科书（3.119）式 , 可得到光学波对热容贡献的表达式 2/ / 2 )1( d)( max min Tk O Tk B BVO B B O O e De Tk kC . 在甚低温下 , 对于光学波 , TkB e / 1, 上式简化为 d)( / 2 max min O Tk B BVO De Tk kC B O O . 以上两式中 )( O D 是光学波的模式密度, 在简谐近似下, 它与温度无关. 在甚低温下 , 0)/( / Te TkB , 即光学波对 热容的贡献可以忽略. 也就是说 , 在甚低温下 , 不考虑光学波对热容的贡献是合理的. 从声子能量来说, 光学波声子的能量 O很大 (大于短声学波声子的能量), 它对应振幅很大的格波的振动, 这种振 动只有温度很高时才能得到激发. 因此 , 在甚低温下 , 晶体中不存在光学波. 7. 在甚低温下 , 德拜模型为什么与实验相符? [解答 ] 在甚低温下 , 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发, 得到激发的只是声子能量 较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此 , 在甚低温下 , 德拜模型与事实 相符 , 自然与实验相符. 第四章晶体中电子能带理论 1.波矢空间与倒格空间有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的? [解 答 ] 波 矢 空 间 与 倒 格 空 间 处 于 统 一 空 间 , 倒 格 空 间 的 基 矢 分 别 为 321 bbb、、 , 而 波 矢 空 间 的 基 矢 分 别 为 32 NN/// 321 bbb、、1N , N1、N2、N3分别是沿正格子基矢 321 aaa、、 方向晶体的原胞数目. 倒格空间中一个倒格点对应的体积为 * 321 )(bbb , 波矢空间中一个波矢点对应的体积为 NN b N b N b * 3 3 2 2 1 1 )( , 即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N. 由于 N 是晶体的原胞数目, 数目巨 大, 所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的. 也就是说 , 波矢点在倒格空间看是极其稠 密的 . 因此 , 在波矢空间内作求和处理时, 可把波矢空间内的状态点看成是准连续的. 2. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 其有效质量何以与真实质量有显著差别? [解答 ]晶体中的电子除受外场力的作用外, 还和晶格相互作用. 设外场力为F, 晶格对电子的作用力为Fl, 电子的加 速度为 )( 1 l m FFa . 但 Fl的具体形式是难以得知的. 要使上式中不显含Fl, 又要保持上式左右恒等 , 则只有 Fa * 1 m . 显然 , 晶格对电子的作用越弱, 有效质量m*与真实质量m 的差别就越小. 相反 , 晶格对电子的作用越强, 有效质量m* 与真实质量m 的差别就越大. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 与布里渊区边界平行的晶面族对电子的散射作用 最强烈 . 在晶面族的反射方向上, 各格点的散射波相位相同, 迭加形成很强的反射波. 正因为在布里渊区边界上的电子 与晶格的作用很强, 所以其有效质量与真实质量有显著差别. 3. 紧束缚模型电子的能量是正值还是负值? [解答 ] 紧束缚模型电子在原子附近的几率大, 远离原子的几率很小, 在原子附近它的行为同在孤立原子的行为相近. 因此，紧束缚模型电子的能量与在孤立原子中的能量相近. 孤立原子中电子的能量是一负值, 所以紧束缚模型电子的能 量是负值 . s 态电子能量 (5.60)表达式 n i ss at ss n eJCEE Rk k)( 即是例证 . 其中孤立原子中电子的能量 at s E 是主项 , 是一负值 , ss JC 和 是小量 , 也是负值 . 4. 紧束缚模型下 , 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽 ? 为什么 ? [解答 ] 以 s 态电子为例 . 由图 5.9 可知 , 紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分 s J 的大小 , 而积分 rRrRrrrd)()]()([ )( * n at sn at N at ss VVJ 的大小又取决于 )(r at s与相邻格点的 )( n at s Rr 的交迭程度. 紧束缚模型下, 内层电子的 )(r at s与 )( n at s Rr 交叠 程度小 , 外层电子的 )(r at s与 )( n at s Rr 交迭程度大. 因此 , 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比 较, 外层电子的能带宽. 5. 一维简单晶格中一个能级包含几个电子? [解答 ]设晶格是由N 个格点组成 , 则一个能带有N 个不同的波矢状态, 能容纳 2N 个电子 . 由于电子的能带是波矢的 偶函数 , 所以能级有 (N/2)个. 可见一个能级上包含4 个电子 . 6. 本征半导体的能带与绝缘体的能带有何异同? [解答 ]在低温下 , 本征半导体的能带与绝缘体的能带结构相同. 但本征半导体的禁带较窄, 禁带宽度通常在2 个电子 伏特以下 . 由于禁带窄 , 本征半导体禁带下满带顶的电子可以借助热激发, 跃迁到禁带上面空带的底部, 使得满带不满 , 空带不空 , 二者都对导电有贡献. 第五章自由电子论和电子的输运性质 1. 如何理解电子分布函数 )(Ef 的物理意义是: 能量为E的一个量子态被电子所占据的平均几率? [ 解答 ] 金属中的价电子遵从费密- 狄拉克统计分布, 温度为T时, 分布在能级E上的电子数目 1 /)(TkEE BF e g n , g为简并度 , 即能级E包含的量子态数目. 显然 , 电子分布函数 1 1 )( /)(TkEE BF e Ef 是温度T时, 能级E的一个量子态上平均分布的电子数. 因为一个量子态最多由一个电子所占据, 所以 )(Ef 的物理意 义又可表述为 : 能量为E的一个量子态被电子所占据的平均几率. 2. 绝对零度时 , 价电子与晶格是否交换能量? [ 解答 ] 晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际是价电子与格波交换能量. 格波的能量子称为声子, 价电 子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量. 频率为i的格波的声子数 1 1 /Tk i Bi e n . 从上式可以看出, 绝对零度时 , 任何频率的格波的声子全都消失. 因此 , 绝对零度时 , 价电子与晶格不再交换能量. 3. 为什么温度升高, 费密能反而降低? [ 解答 ] 当 0T 时, 有一半量子态被电子所占据的能级即是费密能级. 温度升高 , 费密面附近的电子从格波获取的 能量就越大 , 跃迁到费密面以外的电子就越多, 原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半, 有一半 量子态被电子所占据的能级必定降低. 也就是说 , 温度升高 , 费密能反而降低 4. 为什么价电子的浓度越高, 电导率越高 ? [ 解答 ] 电导 是金属通流能力的量度. 。