直线中的几类对称问题.docx

直线中的几类对称问题直线中的几类对称问题 对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略. 一、点关于点的对称问题 点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键. 例1 求点A关于点B对称的点C的坐标. 分析 易知B是线段AC的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解. 2+xì3=ïï2解 由题意知，B是线段AC的中点，设点C，由中点坐标公式有í，ï5=4+xïî2ìx=4解得í，故C. îy=6点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题有可以利用中点的性质AB=BC，以及A，B，C三点共线的性质去列方程来求解. 二、点关于直线的对称问题 点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上. 例2 求点A关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标. 分析 因为A，A′关于直线对称，所以直线l是线段AA′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口. 解 据分析，直线l与直线AA′垂直，并且平分线段AA′，设A′的坐标为，则AA′的中点B的坐标为çy-3æ1+x3+yö,,k=. ÷AA¢2øx-1è23+yì1+x+2´-3=0ï22ï由题意可知，í， y-3æ1öï·ç-÷=-1ïîx-1è2ø3ìx=-ïï1ö5æ3解得í. 故所求点A′的坐标为ç-,-÷. 5øè5ïy=-1ï5î - 1 - 三、直线关于某点对称的问题 直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解. 例3 求直线2x+11y+16=0关于点P对称的直线方程. 分析 本题可以利用两直线平行，以及点P到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P的对称点，代入对称直线方程待定相关常数. 解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得|11+16|2+1122=|11+c|2+1122， 即|11+c|=27，得c=16或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0. 解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A，则点A关于P的对称点的B. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 将B代入，解得c=-38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0. 点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点到此两直线距离相等，而求出c，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性. 四、直线关于直线的对称问题 直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题. 例4 求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程. 分析 由题意，所给的两直线l1，l2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答. 解 根据分析，可设直线l的方程为x-y+c=0，在直线l1：x-y-1=0上取点M，则易求得M关于直线l2：x-y+1=0的对称点N， 将N的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3， 故所求直线l的方程为x-y+3=0. 点评 将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路. 另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l的形式，然后再在直线l2上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数. 例5 试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程. 分析 两直线相交，可先求其交点，再利用到角公式求直线斜率. ìx-y-2=09öæ5解 由í解得l1，l2的交点Aç-•,•-÷， 2øè2î3x-y+3=0设所求直线l的斜率为k， - 2 - 由到角公式得，3-11+3´1=k-31+3k，所以k=-7. 由点斜式，得直线l的方程为7x+y+22=0. 点评 本题亦可以先求l1，l2的交点A，再在直线l1上取异于点A的任意点B，再求点B关于点A的对称点B′，最后由A，B′两点写出直线l的方程. 总结：一般的，求与直线ax+by+c=0关于x=a0对称的直线方程，先写成a(x-a0)+by+c+aa0=0的形式，再写成a(a0-x)+by+c+aa0=0形式，化简后即是所求值. 一般的，求与直线ax+by+c=0关于y=b0对称的直线方程，先写成ax+b(y-b0)+c+bb0=0的形式，再写ax+b(b0-y)+c+bb0=0成形式，化简后即是的求值. 一般的，求与直线ax+by+c=0关于原点对称的直线方程，只需把x换成-x，把y换成-y，化简后即为所求. 一般地直线f(x，y)=0关于直线y=x+c的对称直线为f(y-c，x+c)=0. 即把f(x，y)=0中的x换成y-c、y换成x+c即可. 一般地直线f(x，y)=0关于直线y= -x+c的对称直线为f(-y+c，-x+c). 即把f(x，y)=0中的x换成-y+c，y换成-x+c. 练习：1求点A关于点B对称的点C的坐标. C(7,0) 已知点A(5,8),B(4,1),试求A点关于B点的对称点C的坐标. C (3,-6) 2若直线l1:3x-y-4=0关于点P对称的直线方程l2.求l2的方程 l2：3x-y-10=0 3求A关于直线5x+4y+21=0的对称点是______. 解：设A(4,0)关于直线5x＋4y＋21＝0的对称点为A′(x1,y1) 4+x10+y1ì5´+4´+21=0ï22ï∴í y1-0æ5öï´ç-÷=-1ïx-4è4øî1ìx1=-6解得：í y=-8î1∴A′(－6，－8) ∴A(4,0)关于直线5x＋4y＋21＝0的对称点为(－6，－8) 4已知直线l:3x-y+3=0,求p(4,5)关于l的对称点。

- 3 - 解：设点p关于l的对称点为p'(x1,y1)ìy1-5ï3x-4=-1ï 则í1ï34+x1-5+y1+3=0ïî22ìx1=-2 解得íîy1=7 \ 对称点的坐标为(-2,7)5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n的方程. 7x+2y+22=0 - 4 - 。