金老师教育高中数学新教材同步选择性必修第二册 第4章 微专题1　数列求和.docx

微专题1　数列求和数列求和是数列问题中的基本题型，是数列部分的重点内容，在高考中也占据重要地位，它具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点．数列求和的方法主要有公式法、分组转化法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、并项求和法等．一、公式法求和例1　求数列1,3＋5,7＋9＋11,13＋15＋17＋19，…的前n项和．解　所求数列的前n项中共有1＋2＋3＋4＋…＋n＝个连续的奇数，这些奇数组成等差数列，首项为1，公差为2，故该数列的前n项和Sn＝×1＋×××2＝＋＝2＝.反思感悟　公式法求和中的常用公式有(1)等差、等比数列的前n项和①等差数列：Sn＝na1＋d(d为公差)或Sn＝.②等比数列：Sn＝其中q为公比．(2)四类特殊数列的前n项和①1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)．②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.③12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．④13＋23＋33＋…＋n3＝n2(n＋1)2.二、分组转化法求和例2　求和：Sn＝2＋2＋…＋2(x≠0)．解　当x≠±1时，Sn＝2＋2＋…＋2＝＋＋…＋＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋＝＋＋2n＝＋2n；当x＝±1时，Sn＝4n.综上可知，Sn＝反思感悟　某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．三、倒序相加法求和例3　设F(x)＝，求F＋F＋…＋F.解　∵F(x)＋F(1－x)＝＋＝1，∴F＋F＝F＋F＝…＝1.设F＋F＋…＋F＝S，∴S＝×2S＝×2 020＝1 010.反思感悟　(1)倒序相加法类比推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1＋an)．(2)如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求其和可以用倒序相加法．四、裂项相消法求和例4　求和：＋＋＋…＋，n≥2，n∈N*.解　∵＝＝，∴原式＝＝＝－(n≥2，n∈N*)．延伸探究求和：＋＋＋…＋，n≥2，n∈N*.解　∵＝＝1＋，∴原式＝＋＋＋…＋＝(n－1)＋以下同例4解法．∴原式＝ n－－(n≥2，n∈N*)反思感悟　(1)对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法，可用待定系数法对通项公式拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．(2)常见的拆项公式有①＝－.②＝.③＝.④＝－.⑤＝.五、错位相减法求和例5　已知{an}是等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝1，b1＝3，a2＋b2＝7，a3＋b3＝11.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Tn.解　(1)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，等差数列{bn}的公差为d，依题意有即解得或(舍去)．所以an＝2n－1，n∈N*，bn＝3＋2(n－1)＝2n＋1，n∈N*.(2)由(1)得cn＝＝，所以Tn＝＋＋…＋，①所以Tn＝＋＋…＋＋，②由①－②，得Tn＝3＋2－＝3＋2×－＝5－，所以Tn＝10－.反思感悟　一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便于下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．六、并项求和法求和例6　求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)．解　当n为奇数时，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1)＝2·＋(－2n＋1)＝－n.当n为偶数时，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)]＝2·＝n.∴Sn＝(－1)n·n (n∈N*)．反思感悟　通项中含有(－1)n的数列求前n项和时可以考虑使用奇偶并项法，分项数为奇数和偶数分别进行求和．。