空间向量的数乘运算.doc

金太阳新课标资源网 空间向量的数乘运算知识点一 空间向量的运算 已知ABCD—A′B′C′D′是平行六面体.(1)化简 (2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC′B′对角线BC′上的分点,设,试求α,β,γ的值. 解 (1)方法一 取AA′的中点为E,则又取F为D′C′的一个三等分点(D′F=D′C′),则D′F =∴ + + =+ + =方法二 取AB的三等分点P使得,取CC′的中点Q,则 + +=(2) = = = ∴α＝，β＝，γ＝.【反思感悟】 化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时可转化为加法，也可按减法进行运算．本题第一问是开放式的表达式，形式不唯一，有多种解法． 如图所示,平行六面体A1B1C1D1- ABCD，M分成的比为，N分成的比为，N分成的比为2，设 ＝ a，＝b，＝c，试用a、b、c表示， 解 = ＝－(a＋b)＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c知识点二 共线问题 设空间四点O，A，B，P满足其中m+n=1，则（ ）A．点P一定在直线AB上B．点P一定不在直线AB上C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上D. 与与的方向一定相同答案　A解析 已知m+n=1，则 因为≠ 0 .所以和共线，即点A，P，B共线，故选A.【反思感悟】（1）考察点P是否在直线AB上，只需考察与是否共线；（2）解决本题的关键是利用条件m+n=1把证明三点共线问题转化为证明与是否共线. 已知A、B、P三点共线，O为空间任意一点，求α+β的值.解 ∵A、B、P三点共线，由共线向量知， 存在实数t，使 = t由= ，= 代入得：；又由已知，∴α＝1－t，β＝t，∴α＋β＝1.知识点三 共面问题 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH.证明 (1)由已知得EF綊HG， ∴∵, 不共线，∴ 共面且有公共点G，∴E，F，G，H四点共面. （2） ∵与不共线，∴，，共面．由于BD不在平面EFGH内，所以BD∥平面EFGH.【反思感悟】 利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练的进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．　用向量法证明：空间四边形ABCD的四边中点M，N，P，Q共面． 证明 △AMQ中,= △ CNP中, = 所以,所以M,N,P,Q四点共面.课堂小结：1．向量共线的充要条件及其应用(1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样，当我们说a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a∥b时，也具有同样的意义．(2)“共线”这个概念具有自反性a∥a，也具有对称性，即若a∥b，则b∥a.(3)如果应用上述结论判断a，b所在的直线平行，还需说明a(或b)上有一点不在b(或a)上．＝λ或＝μ即可．也可用“对空间任意一点O，有＝t＋(1－t)”来证明三点共线．2．向量共面的充要条件的理解＝x＋y.满足这个关系式的点P都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．(2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具．另外，在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任意一点O，有＝(1－t)＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P、A、B、C四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．课时作业一、选择题1．下列命题中是真命题的是( )A．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反C. 若向量 满足 | |>| |，且 与 同向，则 >D. 若两个非零向量 与满足+ = 0，则∥答案 D解析 A错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面．B错．因为|a|＝|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关．C错.因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有>这种写法．D．对.∵ + = 0 ,∴ = ，∴与共线，故∥，正确.2．满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是( )A．＋＝B．－＝C．＝D．||＝||答案 C3．在下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是( )A．＝2－－ B．＝＋＋C．＋＋＝0D．＋＋＋＝0答案　C解析 若有 ＝ x ＋ y，则M与点A、B、C共面，或者＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1，则M与点A、B、C共面，A、B、D三项不满足x＋y＋z＝1，C项满足＝x＋y，故选C.4．已知向量a与b不共线，则a，b，c共面是存在两个非零常数λ，μ使c＝λa＋μb的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　验证必要性时，当a，b，c共面且a∥c(或b∥c)时不能成立，不能使λ，μ都非零．5. 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，向量 是（ ）A．有相同起点的向量B．等长向量C．共面向量D．不共面向量答案　C解析 如图所示，因为而,∴ ，即,而 与 不共线，所以 ， ， 三向量共面.二、填空题6．已知P和不共线三点A，B，C四点共面且对于空间任一点O，都有＝2＋＋λ，则λ＝________.答案　－2解析　P与不共线三点A，B，C共面，且＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则x＋y＋z＝1是四点共面的充要条件．7．三个向量xa－yb，yb－zc，zc－xa的关系是________．(填“共面”“不共面”“无法确定是否共面”)．答案　共面解析　因xa－yb，yb－zc，zc－xa也是三个向量，且有zc－xa＝－(yb－zc)－(xa－yb)所以三向量共面．8. 在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若 a ,B = b , 则 等于 ________．答案 a＋b三、解答题9 如图所示，E，F，G，H分别为正方体ABCD—A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1，B1C1，D1C1的中点．求证：(1)E，F，D，B四点共面； (2)平面AEF∥平面BDHG.证明 （1）∵ ,∴共面且具有公共点E，∴E，F，D，B四点共面. (2)∵E，F，G，H分别是A1B1，A1D1，B1C1，D1C1的中点，＝＝， ＝ ＋＝，∴EF∥GH，AF∥BG，∴EF∥平面BDHG，AF∥平面BDHG，又AF∩EF＝F，∴平面AEF∥平面BDHG.10．对于任何空间四边形，试证明它的一对对边中点的连线与另一对边平行于同一平面．证明 . 如图，利用多边形加法法则可得， , ＝＋＋ ①又E，F分别是AB，CD的中点，故有 ＝ － ，＝－， ②将②代入①后，两式相加得2 ＝ ＋，∴ ， 即 与，共面，∴EF与AD，BC平行于同一平面．第 6 页 共 6 页 金太阳新课标资源网 。