函数三 求函数的值域 人教版.doc
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函数三 求函数的值域【课 题】函数（3）——求函数的值域【教学目标】掌握求函数值域的基本方法；掌握二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.【教学重点】值域的求法【教学难点】二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.【教学过程】一、 复习引入函数的三要素是什么？它们之间的关系如何？二、 例题分析（一）几种常见函数的值域【例1】 求下列函数的值域：⑴y=3x+2(－1x1)；⑵；⑶+1(x>0)；⑷；⑸；⑹y=|x+1|+|x－2|.分析：求函数的值域就是求由定义域和对应法则确定的函数y的取值范围，对应法则相同，不同的定义域对应不同的值域.解：⑴∵－1x1，∴－33x3，∴－13x+25，即－1y5，∴函数y的值域是[－1，5].说明：此法由定义域，通过观察、凑配，直接得出y的范围，可称为观察法.⑵∵4x－30，∴y==，∴由反比例函数的值域知，y，∴值域是{y|y}.说明：此法通过将分式的分子常数化，再利用已知反比例函数的值域，从而得出函数的值域，一般称为分离常数法.⑶∵x>0，∴y=x++1=3，∴值域是[3，+).注意：下面的解法是错误的（为什么？）：∵x>0，∴y=x++1=，∴值域是[－1，+).说明：此法通过配方，利用函数的极值得出值域，称为配方法或极值法.⑷∵x2+x+1=(x+)2+0恒成立，∴函数的定义域R，原式可化为y(x2+x+1)= x2－x+1，整理得(y－1)x2+(y+1)x+y－1=0，若y=1，即2x=0，则x=0；若y1，∵x∈R，即有0，∴(y+1)2－4(y－1)20，解得y3且 y1.综上可得函数是值域是{y|y3}.说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.⑸令u=0，则x=2－u2，原式可化为y=2－u2+u=－(u－)2+，∵u0，∴y，∴函数的值域是（－，].说明：此法通过换元将根号脱去，对于含根号的无理函数较常用，一般称为换元法.⑹法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（右图），由图象可知，函数的值域是{y|y3}.法2：∵函数y=|x+1|+|x－2|表示数轴上的动点x到两定点－1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+).说明：两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.（二）二次函数在给定区间上的值域（最值）的求法【例2】 求下列函数的最大值、最小值与值域：⑴y=x2－2x－1；⑵y=x2－2x－1，x∈[0，3]；⑶y=x2－2x－1，x∈[－2，0]；⑷y=x2－2mx－1(m为常数)，x∈[0，2].解：⑴∵y=x2－2x－1=(x－1)2－2，∴顶点为(1，－2)，顶点横坐标为1.∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，∴x=1时，ymin=－2 ，无最大值；函数的值域是{y|y－2}.⑵∵顶点横坐标1∈[0，3]，当x=1时，y=－2；x=0时，y=－1；x=3时，y=2，∴在[0，3]上，ymin=－2，ymax=2；值域为[－2，2].⑶∵顶点横坐标1[－2，0]，当x=－2时，y=7；x=0时，y=－1，∴在[－2，0]上，ymin=－1，ymax=7；值域为[－1，7].⑷∵y=x2－2mx－1=(x－m)2－m2－1，顶点为(m，－m2－1)，顶点横坐标为m.若a0，则函数在[0，2]上递增，当x=0时，ymin=－1，当x=2时，ymax=3－4a；此时函数的值域是[－1，3－4a].若a2，则函数在[0，2]上递减，当x=0时，ymax=－1，当x=2时，ymin=3－4a；此时函数的值域是[3－4a，－1].若0a2，则再分成两个对称区间讨论（否则最大最小值难确定）：① 若0a1，则x=a时，ymin=－a2－1，x=2时，ymax=3－4a；此时函数的值域是[－a2－1，3－4a]；②若1a2，则x=a时，ymin=－a2－1，x=0时，ymax=－1；此时函数的值域是[－a2－1，－1].说明：对于二次函数y=ax2+bx+c(a0)，⑴若定义域为R时，①若a>0，则当x=时，其最小值；②若a<0，则当x=时，其最大值⑵若定义域为x∈[a，b]，则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a，b].① 若x0∈[a，b]，则f(x0)是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较f(a)，f(b)的大小决定函数的最大（小）值.②若x0[a，b]，则[a，b]是在f(x)的单调区间内，只需比较f(a)，f(b)的大小即可决定函数的最大（小）值.注意：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母，或给定区间含字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.③讨论时，分类的依据就是对称轴与区间的位置关系，一般就分为对称轴在区间的“左、中、右”三种情况，有时，还要对对称轴在区间的左半侧、右半侧再进行划分，即分为“左、左半侧、右半侧、右”四种情况。
例3】 已知函数表示f(x)在区间[t,t+1]上的最小值，求g（t）的表达式.解：函数f（x）的对称轴为x=–2，函数f（x）的图象开口方向向上.(1) 当t＞–2时, f（x）在是增函数∴(2)时,结合f（x）图象可知:g（t）= f（–2）=–1；（3）当t＜–3时，，函数f（x）在区间上是减函数，综上所述：三、 课堂练习1、求下列函数的值域：⑴ y=1－；⑵ y=x+2－2；⑶ y=x2++9(x0)；⑷ y=；⑸ y=解：⑴观察法：∵0，∴－0，∴1－1，∴值域是{y|y1}.(也可用换元法，并借助图象求解)⑵法1(观察法)：∵1－x0，∴y=x+2－2=－(－1)20，即值域是{y|y0}.法2(换元法)：令u=0，则x=1－u2， ∴y=1－u2+2u－2=－u2+2u－1=－(u－1)20，即值域是{y|y0}.⑶(配方法)：∵x0，y=x2++9=(x－)2+11，∴y11.注意：∵x0，y=x2++9=(x+)2+7，∴y7的解法是错误的，想一想为什么？另外，此题利用基本不等式解更简捷：y=x2++92+9=11.⑷(分离常数法)：∵x+20，y==1－，∴y1.说明：以后学了极限，利用极限概念更易理解.⑸∵2x2－4x+3>0恒成立(为什么？)，∴函数的定义域为R，∴原函数可化为2yx2－4yx+3y－5=0，由判别式0，即16y2－42y(3y－5)=－8y2+40y0(y0)，解得0y5，又∵y0， ∴0
