高考数学竞赛组合教案讲义(18).docx

    -高考数学竞赛组合教案讲义(18)    2019-2020年高考数学竞赛组合教案讲义（18）一、方法与例题1．抽屉原理例1 设整数n≥4,a1,a2,…,a n是区间(0,2n)内n个不同的整数，证明：存在集合{a1,a2,…,a n}的一个子集，它的所有元素之和能被2n整除[证明] （1）若n{a1,a2,…,a n},则n个不同的数属于n-1个集合{1,2n-1}，{2,2n-2},…,{n-1,n+1}由抽屉原理知其中必存在两个数a i,a j(i≠j)属于同一集合，从而a i+a j=2n被2n整除；（2）若n∈{a1,a2,…,a n}，不妨设a n=n，从a1,a2,…,a n-1(n-1≥3)中任意取3个数a i, a j, a k(a i,0)不被n整除，考虑n个数a1,a2,a1+a2,a1+a2+a3,…,a1+a2+…+a n-1ⅰ）若这n个数中有一个被n整除，设此数等于k n，若k为偶数，则结论成立；若k为奇数，则加上a n=n知结论成立ⅱ）若这n个数中没有一个被n整除，则它们除以n的余数只能取1,2,…,n-1这n-1个值，由抽屉原理知其中必有两个数除以n的余数相同，它们之差被n整除，而a2-a1不被n整除，故这个差必为a i, a j, a k-1中若干个数之和，同ⅰ）可知结论成立。

2 极端原理例2 在n×n的方格表的每个小方格内写有一个非负整数，并且在某一行和某一列的交叉点处如果写有0，那么该行与该列所填的所有数之和不小于n证明：表中所有数之和不小于[证明] 计算各行的和、各列的和，这2n个和中必有最小的，不妨设第m行的和最小，记和为k，则该行中至少有n-k个0，这n-k个0所在的各列的和都不小于n-k，从而这n-k 列的数的总和不小于(n-k)2，其余各列的数的总和不小于k2，从而表中所有数的总和不小于(n-k)2+k2≥3.不变量原理俗话说，变化的是现象，不变的是本质，某一事情反复地进行，寻找不变量是一种策略例3 设正整数n是奇数，在黑板上写下数1，2，…，2n，然后取其中任意两个数a,b,擦去这两个数，并写上|a-b|证明：最后留下的是一个奇数[证明] 设S是黑板上所有数的和，开始时和数是S=1+2+…+2n=n(2n+1)，这是一个奇数，因为|a-b|与a+b有相同的奇偶性，故整个变化过程中S的奇偶性不变，故最后结果为奇数例4 数a1, a2,…,a n中每一个是1或-1，并且有S=a1a2a3a4+ a2a3a4a5+…+a n a1a2a3=0. 证明：4|n.[证明] 如果把a1, a2,…,a n中任意一个a i换成-a i，因为有4个循环相邻的项都改变符号，S模4并不改变，开始时S=0，即S≡0，即S≡0(mod4)。

经有限次变号可将每个a i都变成1，而始终有S≡0(mod4)，从而有n≡0(mod4)，所以4|n4．构造法例5 是否存在一个无穷正整数数列a1,[证明] 存在取a n=(n!)3即可当A=0时，{a n}中没有素数；当|A|≥2时，若n≥|A|，则a n+A均为|A|的倍数且大于|A|，不可能为素数；当A=±1时，a n±1=(n!±1)?[(n!)2±n!+1]，当≥3时均为合数从而当A为整数时，{(n!)3+A}中只有有限个素数例6 一个多面体共有偶数条棱，试证：可以在它的每条棱上标上一个箭头，使得对每个顶点，指向它的箭头数目是偶数[证明] 首先任意给每条棱一个箭头，如果此时对每个顶点，指向它的箭头数均为偶数，则命题成立若有某个顶点A，指向它的箭头数为奇数，则必存在另一个顶点B，指向它的箭头数也为奇数（因为棱总数为偶数），对于顶点A与B，总有一条由棱组成的“路径”连结它们，对该路径上的每条棱，改变它们箭头的方向，于是对于该路径上除A，B外的每个顶点，指向它的箭头数的奇偶性不变，而对顶点A，B，指向它的箭头数变成了偶数如果这时仍有顶点，指向它的箭头数为奇数，那么重复上述做法，又可以减少两个这样的顶点，由于多面体顶点数有限，经过有限次调整，总能使和是对每个顶点，指向它的箭头数为偶数。

命题成立5．染色法例7 能否在5×5方格表内找到一条线路，它由某格中心出发，经过每个方格恰好一次，再回到出发点，并且途中不经过任何方格的顶点？[解] 不可能将方格表黑白相间染色，不妨设黑格为13个，白格为12个，如果能实现，因黑白格交替出现，黑白格数目应相等，得出矛盾，故不可能6．凸包的使用给定平面点集A，能盖住A的最小的凸图形，称为A的凸包例8 试证：任何不自交的五边形都位于它的某条边的同一侧[证明] 五边形的凸五包是凸五边形、凸四边形或者是三角形，凸包的顶点中至少有3点是原五边形的顶点五边形共有5个顶点，故3个顶点中必有两点是相邻顶点连结这两点的边即为所求7．赋值方法例9 由2×2的方格纸去掉一个方格余下的图形称为拐形，用这种拐形去覆盖5×7的方格板，每个拐形恰覆盖3个方格，可以重叠但不能超出方格板的边界，问：能否使方格板上每个方格被覆盖的层数都相同？说明理由[解] 将5×7方格板的每一个小方格内填写数-2和1如图18-1所示，每个拐形覆盖的三个数之和为非负因而无论用多少个拐形覆盖多少次，盖住的所有数字之和都是非负的另一方面，方格板上数字的总和为12×(-2)+23×1=-1，当被覆盖K层时，盖住的数字之和等于-K，这表明不存在满足题中要求的覆盖。

8．图论方法例10 生产由六种颜色的纱线织成的双色布，在所生产的双色布中，每种颜色的纱线至少与其他三种颜色的纱线搭配过证明：可以挑出三种不同的双色布，它们包含所有的颜色[证明] 用点A1，A2，A3，A4，A5，A6表示六种颜色，若两种颜色的线搭配过，则在相应的两点之间连一条边由已知，每个顶点至少连出三条边命题等价于由这些边和点构成的图中有三条边两两不相邻（即无公共顶点）因为每个顶点的次数≥3，所以可以找到两条边不相邻，设为A1A2，A3A41）若A5与A6连有一条边，则A1A2，A3A4，A5A6对应的三种双色布满足要求2）若A5与A6之间没有边相连，不妨设A5和A1相连，A2与A3相连，若A4和A6相连，则A1A2，A3A4，A5A6对应的双色布满足要求；若A4与A6不相连，则A6与A1相连，A2与A3相连，A1A5，A 2A 6，A 3A 4对应的双色布满足要求综上，命题得证二、习题精选1．药房里有若干种药，其中一部分药是烈性的药剂师用这些药配成68副药方，每副药方中恰有5种药，其中至少有一种是烈性的，并且使得任选3种药恰有一副药方包含它们试问：全部药方中是否一定有一副药方至少含有4种烈性药？（证明或否定）2．21个女孩和21个男孩参加一次数学竞赛，（1）每一个参赛者最多解出6道题；（2）对每一个女孩和每一个男孩至少有一道题被这一对孩子都解出。

求证：有一道题至少有3个女孩和至少有3个男孩都解出3．求证：存在无穷多个正整数n ，使得可将3n 个数1, 2,…, 3n 排成数表a 1, a 2…a nb 1, b 2…b nc 1, c 2…c n满足：（1）a 1+b 1+c 1= a 2+b 2+c 2=…= a n +b n +c n =，且为6的倍数2）a 1+a 2+…+a n = b 1+b 2+…+b n = c 1+c 2+…+c n =，且为6的倍数4．给定正整数n ，已知克数都是正整数的k 块砝码和一台天平可以称出质量为1，2，…，n 克的所有物品，求k 的最小值f(n)5．空间中有1989个点，其中任何3点都不共线，把它们分成点数各不相同的30组，在任何3个不同的组中各取一点为顶点作三角形试问：为使这种三角形的总数最大，各组的点数应分别为多少？6．在平面给定点A 0和n 个向量a 1，a 2，…，a n ，且使a 1+a 2+…+a n =0这组向量的每一个排列都定义一个点集：A 1，A 2，…，A n =A 0，使得n n i i i A A a A A a A A a n12110,,,21-===求证：存在一个排列，使由它定义的所有点A 1，A 2，…，A n-1都在以A 0为角顶的某个600角的内部和边上。

7．设m, n, k ∈N ，有4个酒杯，容量分别为m,n,k 和m+n+k 升，允许进行如下操作：将一个杯中的酒倒入另一杯中或者将另一杯倒满为止开始时，大杯中装满酒而另3个杯子却空着，问：为使对任何S ∈N ，S8．设有30个人坐在一张圆桌的周围，其中的每个人都或者是白痴，或者是聪明人对在座的每个人都提问：“你右边的邻座是聪明人还是白痴？”聪明人总是给出正确的答案，而白痴既可能回答正确，也可能回答不正确已知白痴的个数不超过F ，求总可以指出一位聪明人的最大的F 9．某班共有30名学生，每名学生在班内都有同样多的朋友，期末时任何两人的成绩都可分出优劣，没有相同的问：比自己的多半朋友的成绩都要好的学生最多能有多少人？2019-2020年高考数学第10课时—函数的奇偶性教案二．教学目标：掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题．三．教学重点：函数的奇偶性的定义及应用．四．教学过程：（一）主要知识：1．函数的奇偶性的定义；2．奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；3．为偶函数．4．若奇函数的定义域包含，则．（二）主要方法：1．判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；2．牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；3．判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，．4．设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇．5．注意数形结合思想的应用．（三）例题分析：例1．判断下列各函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）22(0)()(0)x x x f x x xx ?+??． 解：（1）由，得定义域为，关于原点不对称，∴为非奇非偶函数．（2）由得定义域为，∴， ∵2222lg[1()]lg(1)()()x x f x x x ----=-=-- ∴为偶函数 （3）当时，，则22()()()()f x x x x x f x -=---=-+=-，当时，，则22()()()()f x x x x x f x -=--=--+=-，综上所述，对任意的，都有，∴为奇函数．例2．已知函数对一切，都有，（1）求证：是奇函数；（2）若，用表示．解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称．在中，令，得，令，得，∴，∴，即， ∴是奇函数．（2）由，及是奇函数，得(12)2(6)4(3)4(3)4f f f f a ===--=-．例3．（1）已知是上的奇函数，且当时，，则的解析式为．（2） （《高考计划》考点3“智能训练第4题”）已知是偶函数，，当时，为增函数，若，且，则 （ ）. .. .例4．设为实数，函数，．（1）讨论的奇偶性； （2）求 的最小值．解：（1）当时，2()()||1()f x x x f x -=-+-+=，此时为偶函数；当时，，，∴()(),()(),f a f a f a f a -≠-≠-此时函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）①当时，函数2213()1()24f x x x a x a =-++=-++， 若，则函数在上单。