9_1多元函数的基本概念.doc

第九章 多元函数微分法及其应用第1节 多元函数的基本概念教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念,掌握多元函数的连续性定理,能够判断多元函数的连续性,能够求出连续函数在连续点的极限教学重点：多元函数概念和极限,多元函数的连续性定理教学难点：计算多元函数的极限教学方法：讲授为主,互动为辅教学课时：2教学内容：一、 平面点集讨论一元函数时,经常用到邻域和区间的概念由于讨论多元函数的需要,我们首先把邻域和区间概念加以推广,同时还要涉及其它一些概念1． 邻域设是平面上的一个点,是某一正数与点距离小于的点的全体,称为点的邻域,记为,即=, 也就是= {│}在几何上,就是平面以上点为中心、为半径的圆的内部的点的全体2． 区域设E是平面上的一个点集,P是平面上的一个点如果存在点的某一邻域,则称为的内点〔画图8-1显示显然,的内点属于如果的点都是内点,则称为开集例如,点集中每个点都是1的内点,因此1为开集如果点的任一邻域内既有属于的点,也有不属于的点〔点本身可以属于,也可以不属于,则称为的边界点〔可画图8-2显示的边界点的全体称为的边界例如上例中,1的边界是圆周和 =4设D是开集。

如果对于D内任何两点,都可用折线连结起来,且该折线上的点都属于D,则称开集D是连通的连通的开集称为区域或开区域例如,及都是区域开区域连同它的边界一起,称为闭区域,例如 {│≥0}及{│1≤≤4}都是闭区域对于点集,如果存在正数K,使一切点∈与某一定点A间的距离|A|不超过K,即 |A|≤k, 对一切∈成立,则称为有界点集,否则称为无界点集例如,{│1≤≤4}是有界闭区域,{│>0}是无界开区域3． 维空间我们知道,数轴上的点与实数有一一对应关系,从而实数全体表示数轴上一切点的集合,即直线在平面上引入直角坐标系后,平面上的点与二元数组一一对应,从而二元数组全体表示平面上一切点的集合,即平面在空间引入直角坐标系后,空间的点与三元数组〔一一对应,从而三元数组〔全体表示空间一切点的集合,即空间一般地,设为取定的一个自然数,我们称元数组〔的全体为维空间,而每个元数组称为维空间中的一个点,数xi称为该点的第i个坐标维空间记为Rn维空间中两点及间的距离规定为容易验知,当=1,2,3时,由上式便得解析几何中关于直线〔数轴,平面,空间内两点的距离前面就平面点集来陈述的一系列概念,可推广到维空间中去。

例如,设,是某一正数,则维空间内的点集=就定义为点的邻域以邻域概念为基础,可定义内点、边界点、区域、聚点等一系列概念二、多元函数概念在很多自然现象以及实际问题中,经常遇到多个变量之间的依赖关系,举例如下：例1 圆柱体的体积V和它的底半径、高之间具有关系这里,当、在集合内取定一对值时,的对应值就随之确定例2 一定量的理想气体的压强、体积和绝对温度之间具有关系=,其中为常数这里,当、在集合时,的对应值就随之确定例3 设是电阻、并联后的总电阻,由电学知道,它们之间具有关系对应值就随之确定上面三个例子的具体意义虽各不相同,但它们却有共同的性质,抽象出这些共性就可得出以下二元函数的定义定义一 设是平面上的一个点集如果对于每个点,变量按照一定法则总有确定的值和它对应,则称是变量的二元函数〔或点的函数,记为〔或点集称为该函数的定义域,称为自变量,也称为因变量数集称为该函数的值域是的函数也可记为 ,等等类似地可以定义三元函数以及三元以上的函数一般的,把定义1中的平面点集换成维空间内的点集,则可类似地可以定义元函数元函数也可简记为,这里点当时,元函数就是一元函数当时,元函数就统称为多元函数关于多元函数定义域,与一元函数类似,我们作如下约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数时,就以使这个算式有确定值u的自变量所确定的点集为这个函数的定义域。

例如,函数的定义域为〔图8-3,就是一个无界开区域又如,函数的定义域为〔图8-4,这是一个闭区域x+y=0图 8-4图 8-3设函数的定义域为对于任意取定的点,对应的函数值为这样,以为横坐标、为纵坐标、为竖坐标在空间就确定一点 当遍取上的一切点时,得到一个空间点集,这个点集称为二元函数的图形〔图8-5通常我们也说二元函数的图形是一张曲面例如,由空间解析几何知道,线形函数 的图形是一张平面；由方程 所确定的函数的图形是球心在圆点、半径的为球面,它的定义域是圆形闭区域 在D的内部任一点处,这函数有两个对应值,一个为,另一个为—因此,这是多值函数我们把它分成两个单值函数：及,前者表示上半球面,后者表示下半球面以后除了对多元函数另做声明外,总假定所讨论的函数是单值的；如果遇到多值函数,可以把它拆成几个单值函数后再分别加以讨论三、多元函数的极限我们先讨论二元函数当 ,,即时的极限这里表示点以任何方式趋于点,也就是点与点间的距离趋于零,即 与一元函数的极限概念类似,如果在的过程中,对应的函数值无限接近一个确定的常数,我们就说A是函数,时的极限下面用""语言描述这个极限概念定义2 设函数在开区域〔或闭区域内有定义,是的聚点。

如果对于任意给定的正数,总存在正数,使得对于适合不等式 的一切点,都有 成立,则称常数为函数当,时的极限,记作 ,或 〔,这里 为了区别于一元函数的极限,我们把二元函数的极限叫做二重极限例4 设 〔,求证 证 因为,可见,对任给,取,则当 时,总有 成立所以 我们必须注意,所谓二重极限存在,是指以任何方式趋于时,函数都无限接近于A因此,如果以某一种特殊方式,例如沿着一条直线或定曲线趋于时,即使函数无限接近于某一确定值,我们还不能由此断定函数的极限存在但是反过来,如果当以不同方式趋于时,函数趋于不同的值,那么就可以断定这函数的极限不存在下面用例子来说明这种情形考察函数显然,当点沿轴趋于点时,；又当点沿轴趋于点时, 虽然点以上述两种特殊方式<沿x轴或沿y轴>趋于原点时函数的极限存在并且相等,但是并不存在.这是因为当点沿着直线趋于点时,有 , 显然它是随着的值的不同而改变的.以上关于二元函数的极限概念,可相应的推广到元函数即上去关于多元函数极限的运算,有与一元函数类似的运算法则.例5 求 .解： 这里在区域和区域内都有定义,同时为及的边界点但无论在内还是在内考虑,下列运算都是正确的：。

四、多元函数的连续性明白了函数极限的概念,就不难说明多元函数的连续性,定义3 设函数在开区域〔闭区域内有定义,是的聚点且如果,则称函数在点连续如果函数在开区域〔或闭区域内的每一点连续,那么就称函数在内连续,或者称是内的连续函数以上关于二元函数的连续性概念,可相应地推广到元函数上去若函数在点聚点不连续,则称为函数的间断点这里顺便指出：如果在开区域〔或闭区域内某些孤立点,或者沿D内某些曲线,函数没有定义,但在内其余部分都有定义,那么这些孤立点或这些曲线上的点,都是函数的不连续点,即间断点前面已经讨论过的函数当,时的极限不存在,所以点是该函数的一个间断点二元函数的间断点可以形成一条曲线,例如函数在圆周上没有定义,所以该圆周上各点都是间断点与闭区域上一元连续函数的性质相类似,在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质性质1〔最大值和最小值定理 在有界闭区域 上的多元连续函数,在上一定有最大值和最小值这就是说,在上至少有一点及一点,使得为最大值而为最小值,即对于一切P∈D, 有.性质2〔介值定理 在有界闭区域上的多元连续函数,如果在上取得两个不同的函数值,则它在上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。

特殊地,如果是函数在上的最小值和最大值之间的一个数,则在上至少有一点,使得一元函数中关于极限的运算法则,对于多元函数仍然适用；根据极限运算法则, 可以证明多元连续函数的和、差、积均为连续函数；在分母不为零处,连续函数的商是连续函数多元连续函数的复合函数也是连续函数与一元的初等函数相类似,多元初等函数是可用一个式子所表示的多元函数,而这个式子是由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的〔这里指出,基本初等函数是一元函数,在构成多元初等函数时,它必须与多元函数复合例如,是两个多项式之商,它是多元初等函数又例如是由基本初等函数与多项式复合而成的,它也是多元初等函数根据上面指出的连续函数的和、差、积、商的连续性以及连续函数的复合的连续性,再考虑到多元多项式及基本初等函数的连续性,我们进一步可以得出如下结论：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域由多元初等函数的连续性,如果要求它在点处的极限,而该点又在此函数的定义区域内,则极限值就是函数在该点的函数值,即.例6 求.解 函数 是初等函数,它的定义域为因不是连通的,故不是区域但是区域,且 ,所以是函数的一个定义区域。

因, 故.如果这里不引进区域,也可用下述方法判定函数在点 处是连续的：因是的定义域的内点,故存在的某一邻域,而任何邻域都是区域,所以是的一个定义区域,又由于是初等函数,因此在点处连续一般地,求,如果是初等函数,且是的定义域的内点,则 在点处连续,于是例7 求解 ===小结：本节在一元函数的基础上,讨论多元函数的基本概念讨论中我们以二元函数为主,针对二元函数的极限及连续予以重点介绍从二元函数到二元以上的多元函数则可以类推作业：习题9-1 5〔4〔6、6．9 / 9。