《2008年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)》.pdf

12008 年全国统一高考数学试卷（理科） （全国卷）年全国统一高考数学试卷（理科） （全国卷）一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分）1 （5 分）函数的定义域为（）Ax|x0Bx|x1Cx|x10Dx|0 x12 （5 分）掷一个骰子，向上一面的点数大于 2 且小于 5 的概率为 p1，拋两枚硬币，正面均朝上的概率为 p2，则（）Ap1p2Bp1p2Cp1=p2D不能确定3 （5 分）在ABC 中，= ，= 若点 D 满足=2，则=（）ABCD4 （5 分）设 aR，且（a+i）2i 为正实数，则 a=（）A2B1C0D15 （5 分）已知等差数列an满足 a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前 10 项的和 S10=（）A138 B135 C95D236 （5 分）若函数 y=f（x）的图象与函数 y=ln的图象关于直线 y=x 对称，则 f（x）=（）Ae2x2Be2xCe2x+1De2x+27 （5 分）设曲线在点（3，2）处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直，则 a=（）A2BCD28 （5 分） 为得到函数的图象， 只需将函数 y=sin2x 的图象 （）A向左平移个长度单位B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位D向右平移个长度单位9 （5 分）设奇函数 f（x）在（0，+）上为增函数，且 f（1）=0，则不等式0 的解集为（）2A （1， 0） （1， +）B （， 1） （0， 1）C （， 1） （1， +）D （1，0）（0，1）10 （5 分）若直线=1 与圆 x2+y2=1 有公共点，则（）Aa2+b21Ba2+b21CD11 （5 分）已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面 ABC 内的射影为ABC 的中心，则 AB1与底面 ABC 所成角的正弦值等于（）ABCD12 （5 分）如图，一环形花坛分成 A，B，C，D 四块，现有 4 种不同的花供选种，要求在每块里种 1 种花， 且相邻的 2 块种不同的花， 则不同的种法总数为 （）A96B84C60D48二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分）13 （5 分）若 x，y 满足约束条件，则 z=2xy 的最大值为14 （5 分）已知抛物线 y=ax21 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为15 （5 分）在ABC 中，AB=BC，若以 A，B 为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率 e=16 （5 分）等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB，二面角 CABD 的3余弦值为， M， N 分别是 AC， BC 的中点， 则 EM， AN 所成角的余弦值等于三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 74 分）分）17 （10 分） 设ABC 的内角 A， B， C 所对的边长分别为 a， b， c， 且 acosBbcosA=c（）求的值；（）求 tan（AB）的最大值18 （12 分）四棱锥 ABCDE 中，底面 BCDE 为矩形，侧面 ABC底面 BCDE，BC=2，AB=AC（）证明：ADCE；（）设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45，求二面角 CADE 的大小19 （12 分）已知函数 f（x）=x2+ax+1lnx（）当 a=3 时，求函数 f（x）的单调递增区间；（）若 f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数 a 的取值范围20 （12 分）已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止方案乙：先任取 3 只，将它们的血液混在一起化验若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止 ； 若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验（）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（） 表示依方案乙所需化验次数，求 的期望21 （12 分）双曲线的中心为原点 O，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 l1，l2，4经过右焦点 F 垂直于 l1的直线分别交 l1，l2于 A，B 两点已知|、|、|成等差数列，且与同向（）求双曲线的离心率；（）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程22 （12 分）设函数 f（x）=xxlnx数列an满足 0a11，an+1=f（an） （）证明：函数 f（x）在区间（0，1）是增函数；（）证明：anan+11；（）设 b（a1，1） ，整数证明：ak+1b52008 年全国统一高考数学试卷（理科） （全国卷）年全国统一高考数学试卷（理科） （全国卷）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分）1 （5 分） （2008全国卷）函数的定义域为（）Ax|x0Bx|x1Cx|x10Dx|0 x1【分析】偶次开方的被开方数一定非负x（x1）0，x0，解关于 x 的不等式组，即为函数的定义域【解答】解：由 x（x1）0，得 x1，或 x0又因为 x0，所以 x1，或 x=0；所以函数的定义域为x|x10故选 C2 （5 分） （2008全国卷）掷一个骰子，向上一面的点数大于 2 且小于 5 的概率为 p1，拋两枚硬币，正面均朝上的概率为 p2，则（）Ap1p2Bp1p2Cp1=p2D不能确定【分析】计算出各种情况的概率，然后比较即可【解答】解：大于 2 小于 5 的数有 2 个数，p1=；投掷一次正面朝上的概率为，两次正面朝上的概率为 p2=，p1p2故选 B3 （5 分） （2008全国卷）在ABC 中，= ，= 若点 D 满足=2，则=（）ABCD6【分析】把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量， 走到要求向量的终点， 把整个过程写下来， 即为所求 本题也可以根据 D点把 BC 分成一比二的两部分入手【解答】解：由，故选 A4 （5 分） （2008全国卷）设 aR，且（a+i）2i 为正实数，则 a=（）A2B1C0D1【分析】注意到 a+bi（a，bR）为正实数的充要条件是 a0，b=0【解答】解：（a+i）2i=（a2+2ai1）i=2a+（a21）i0，a=1故选 D5 （5 分） （2008全国卷）已知等差数列an满足 a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前 10 项的和 S10=（）A138 B135 C95D23【分析】 本题考查的知识点是等差数列的性质， 及等差数列前n项和， 根据a2+a4=4，a3+a5=10 我们构造关于基本量 （首项及公差） 的方程组， 解方程组求出基本量 （首项及公差） ，进而代入前 n 项和公式，即可求解【解答】解：（a3+a5）（a2+a4）=2d=6，d=3，a1=4，S10=10a1+=95故选 C6 （5 分） （2008全国卷） 若函数 y=f（x） 的图象与函数 y=ln的图象关于直线 y=x 对称，则 f（x）=（）Ae2x2Be2xCe2x+1De2x+2【分析】由函数 y=f（x）的图象与函数 y=ln的图象关于直线 y=x 对称知这7两个函数互为反函数，故只要求出函数 y=f（x）的反函数即可，欲求原函数的反函数，即从原函数 y=ln中反解出 x，后再进行 x，y 互换，即得反函数的解析式【解答】解：，x=（ey1）2=e2y2，改写为：y=e2x2答案为 A7 （5 分） （2008全国卷） 设曲线在点 （3， 2） 处的切线与直线 ax+y+1=0垂直，则 a=（）A2BCD2【分析】 （1）求出已知函数 y 在点（3，2）处的斜率；（2）利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系 k1k2=1，求出未知数 a【解答】解：y=y=x=3y=即切线斜率为切线与直线 ax+y+1=0 垂直直线 ax+y+1=0 的斜率为a（a）=1 得 a=2故选 D8 （5 分） （2008全国卷）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x 的图象（）A向左平移个长度单位B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位D向右平移个长度单位【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案【解答】解：，8只需将函数 y=sin2x 的图象向左平移个单位得到函数的图象故选 A9 （5 分） （2008全国卷）设奇函数 f（x）在（0，+）上为增函数，且 f（1）=0，则不等式0 的解集为（）A （1，0）（1，+） B （，1）（0，1） C （，1）（1，+）D （1，0）（0，1）【分析】首先利用奇函数定义与得出 x 与 f（x）异号，然后由奇函数定义求出 f（1）=f（1）=0，最后结合 f（x）的单调性解出答案【解答】解：由奇函数 f（x）可知，即 x 与 f（x）异号，而 f（1）=0，则 f（1）=f（1）=0，又 f（x）在（0，+）上为增函数，则奇函数 f（x）在（，0）上也为增函数，当 0 x1 时，f（x）f（1）=0，得0，满足；当 x1 时，f（x）f（1）=0，得0，不满足，舍去；当1x0 时，f（x）f（1）=0，得0，满足；当 x1 时，f（x）f（1）=0，得0，不满足，舍去；所以 x 的取值范围是1x0 或 0 x1故选 D10 （5 分） （2008全国卷）若直线=1 与圆 x2+y2=1 有公共点，则（）Aa2+b21Ba2+b21CD【分析】用圆心到直线的距离小于或等于半径，可以得到结果【解答】解：直线与圆有公共点，即直线与圆相切或相交得：dr9，故选 D11 （5 分） （2008全国卷） 已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面 ABC 内的射影为ABC 的中心，则 AB1与底面 ABC 所成角的正弦值等于（）ABCD【分析】法一：由题意可知三棱锥 A1ABC 为正四面体，设棱长为 2，求出 AB1及三棱锥的高，由线面角的定义可求出答案；法二：先求出点 A1到底面的距离 A1D 的长度，即知点 B1到底面的距离 B1E 的长度，再求出 AE 的长度，在直角三角形 AEB1中求 AB1与底面 ABC 所成角的正切，再由同角三角函数的关系求出其正弦【解答】解：（法一）因为三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面 ABC 内的射影为ABC 的中心，设为 D，所以三棱锥 A1ABC 为正四面体，设棱长为 2，则AA1B1是顶角为 120等腰三角形，所以 AB1=22sin60=2，A1D=，所以 AB1与底面 ABC 所成角的正弦值为=；（法二）由题意不妨令棱长为 2，点 B1到底面的距离是 B1E，如图，A1在底面 ABC 内的射影为ABC 的中心，设为 D，10故 DA=，由勾股定理得 A1D=故 B1E=，如图作 A1SAB 于中点 S，易得 A1S=，所以 AB1=2，所以 AB1与底面 ABC 所成角的正弦值 sinB1AE=故选 B12 （5 分） （2008全国卷）如图，一环形花坛分成 A，B，C，D 四块，现有 4种不同的花供选种，要求在每块里种 1 种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的种法总数为（）A96B84C60D48【分析】这道题比起前几年出的高考题要简单些，只要分类清楚没有问题，分为三类：分别种两种花、三种花、四种花，分这三类来列出结果【解答】解：分三类：种两种花有 A42种种法；种三种花有 2A43种种法；种四种花有 A44种种法11共有 A42+2A43+A44=84故选 B二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分）13 （5 分） （2008全国卷）若 x，y 满足约束条件，则 z=2xy 的最大值为9【分析】首先作出可行域，再作出。