(完整版)6-1-9_鸡兔同笼问题[1].题库教师版.doc

一、 鸡兔同笼这个问题，是我国古代著名趣题之一. 大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题. 书中是这样叙述的："今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是： 有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有 35个头；从下面数，有 94只脚•求笼中各有几只鸡和兔？你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？二、 解鸡兔同笼的基本步骤解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔” •这样，鸡和兔的脚的总数就由 94只变成了 47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1 .因此，脚的总只数 47与总头数35的差，就是兔子的只数，即 47 35 12 （只）.显然，鸡的只数就是35 12 23 （只）了.这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已•除此之外， “鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”.假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到.解鸡兔同笼问题的基本关系式是：如果假设全是兔，那么则有：鸡数=（每只兔子脚数X鸡兔总数-实际脚数）+ （每只兔子脚数-每只鸡的脚数）兔数=鸡兔总数-鸡数如果假设全是鸡，那么就有：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数X鸡兔总数）+ （每只兔子脚数 -每只鸡的脚数）鸡数=鸡兔总数-兔数当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的 当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程 等专题中也都会接触到假设法板块一、两个对象的“鸡兔同笼”【例1】 鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？【解析】假设46只都是兔，一共应有 4 46 184只脚，这和已知的128只脚相比多了 184 128 56只脚， 这是因为我们把鸡当成了兔子，如果把 1只鸡当成1只兔，就要比实际多 4 2 2 （只）脚，那么56只脚是我们把 56 2 28只鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是 28，兔的只数是 46 28 18（只）•当然，这里我们也可以假设 46只全是鸡！鼓励学生从两个方面假设解题，更深一步理解假设法.【巩固】 点点家养了一些鸡和兔子， 同时养在一个笼子里， 点点数了数，它们共有35个头，94只脚•问:点点家养的鸡和兔各有多少只？【解析】方法一：我们假设，每只鸡都是“金鸡独立” ，一只脚站着；而每只兔子都是两条后腿，像人一样用两只脚站着.现在，地面上出现的脚是总数的一半，也就是 94 2 47（只）.在47这个数中，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次，因此从 47减去总头数35 ,剩下的就是兔子头数， 47 35 12（只），所以有12只兔子，有35 12 23（只）鸡.方法二：假设35只都是兔子，那么就有35 4 140（只）脚，比94只脚多了 140 94 46（只）.每 只鸡比兔子少4 2 2（只）脚，那么共有鸡46 2 23（只）方法三：还可以假设 35只都是鸡，那么共有脚 2 35 70（只），比94只脚少了 94 70 24（只） 脚，每只鸡比兔子少 4 2 2（只）脚，那么共有兔子 24 2 12（只）.方法一可以归结为：总脚数 2总头数 兔子数.能够这样算，主要是利用了兔和鸡的脚数分别为4和2，而且4是2的2倍.方法二说明假设的 35只兔子中有23只不是兔子，而是鸡.由此可以列出公式：鸡数 俛脚数 总头数 总脚数）俛脚数 鸡脚数） 方法三说明假设的 35只鸡中有12只是兔•由此可以列出公式:兔数（总脚数鸡脚数总头数）俛脚数鸡脚数）【巩固】 鸡兔共有45只，关在同一个笼子中.每只鸡有两条腿，每只兔子有四条腿，笼中共有100条腿•试 计算，笼中有鸡多少只？兔子多少只？【解析】⑴假设法：若假设所有的 45只动物都是兔子，那么一共应该有 4 45 180（条）腿，比实际多算180 100 80（条）腿.而每将一只鸡算做一只兔子会多算两条腿， 所以有80 2 40（只）鸡被当作了兔子，所以共有 40只鸡，有45 40 5（只）兔子.注意：假设为兔子时，按照“多算的腿数”计算出的是鸡的数目；假设为鸡时，按照“少算的 腿数”计算出的是兔子的数目.同学们可以自己来做一下当假设为鸡时的算法.⑵“金鸡独立”法（砍足法）假设所有的动物都只用一半的腿站立，这样就出现了鸡都变成了 “金鸡独立” ，而兔子们都只用两条腿站立的“奇观” •这样就有一个好处：鸡的腿数和头数一样多了；而每只兔子的腿数则 会比头数多1 •因此，在腿的数目都变成原来的一半的时候，腿数比头数多多少，就有多少只兔子•原来有100只腿，让兔子都抬起两只腿，鸡抬起一只腿，则此时笼中有 100 2 50（条）腿，比头数多50 45 5，所以有5只兔子，另外40只是鸡.【巩固】 动物园里有一群鸵鸟和大象，它们共有36只眼睛和52只脚，问：鸵鸟和大象各有多少？【解析】由于每只动物有两只眼睛，由题意知：动物园里鸵鸟和大象的总数为： 36 2 18，假设鸵鸟和大象一样也有4只脚，则应该有（4 18 ）72只脚，多了 （72 52 ）20只脚，由假设引起的差值：4 2 2，则鸵鸟数为20 2 10 （只），大象数为18 10 8 （头）•【巩固】 鸡兔同笼，上有35头，下有94足，求笼中鸡兔各几只？【解析】 有兔（94 35 2） （4 2） 12 （只），有鸡35 12 23 （只）•【例2】 动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟，共有脚 208只，鸵鸟比梅花鹿多 20只，梅花鹿和鸵鸟各有多少只？20只的脚数得： 208 20 2 168【解析】 假设梅花鹿和鸵鸟的只数相同，则从总脚数中减去鸵鸟多的（只）•这168只脚是梅花鹿的脚数和鸵鸟的脚数 （注意此时梅花鹿和鸵鸟的只数相同 ）脚数的和,一只梅花鹿和一只鸵鸟的脚数和是： 2 4 6（只），所以梅花鹿的只数是：168 6 28（只），从而鸵鸟的只数是：28 20 48（只）（本题也可给学生讲成“捆绑法”，一鸡一兔一组，这个怎么 分组时有倍数关系得到的）【巩固】 一个养殖园内，鸡比兔多 36只，共有脚792只，鸡兔各几只？【解析】已知鸡比兔多 36只，如果把多的 36只鸡拿走，剩下的鸡兔只数就相等了，拿走的 36只鸡有2 36 72 （只）脚，可知现在剩下 792 72 720 （只）脚，一只鸡与一只兔有 6只脚，那么兔有 720 6 120 （只），鸡有 120 36 156 （只）•【巩固】 鸡兔同笼，鸡、兔共有 107只，兔的脚数比鸡的脚数多 56只，问鸡、兔各多少只？【解析】 这道例题和前面的例题有所不同，前面的题是已知头数之和和脚数之和求各有几只，而这道题是已知头数之和和脚数之差，这样就比前面的例题增加了一点难度.我们用两种方法来解这道题.（方法一）考虑如果补上鸡脚少的 56只的话，那么就要增加 56 2 28 （只）鸡•这样一来，鸡、兔共有107 28 135 （只）,这时鸡脚、兔脚一样多.已知一只鸡的脚数是一只兔的一半，而现在鸡脚、兔脚相同，可知鸡的只数是兔的 2倍，根据和倍问题有：兔有：135 （2 1） 45 （只）鸡有：135 45 28 62 （只）或者 107 45 62 （只）（方法二）不妨假设107只都是兔，没有鸡，那么就有兔脚： 107 4 428 （只），而鸡的脚数为零.这样兔脚比鸡脚多 428只，而实际上只多56只，这说明假设的兔脚比鸡脚多的数比实际上多： 428 56 372 （只）•现在以鸡换兔，每换一只，兔脚减少 4只，鸡脚增加2只，即兔脚与鸡脚的总数差就会减少4 2 6 （只）•鸡的只数：372 6 62 （只）兔的只数：107 62 45 （只）【巩固】 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多 20只•问：鸡、兔各多少只 ？【解析】 假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚 200只，而兔的脚数为零•这样鸡脚比兔脚多 200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多 200 20 180（只）.现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少 2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少 4 2 6（只），而180 6 30，因此有兔子 30只，鸡100 30 70（只）.【巩固】 鸡、兔共60只，鸡脚比兔脚多 60只•问：鸡、兔各多少只？【解析】 假设60只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚 120只，而兔的脚数为零•这样鸡脚比兔脚多 120只，而实际上只多60只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多 120 60 60（只）•现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少 2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少 4 2 6（只）,而60 6 10,因此有兔子10只，鸡60 10 50（只）•【巩固】 鸡、兔同笼，鸡比兔多 26只，足数共274只，问鸡、兔各几只？【解析】 这道例题是已知鸡、兔的脚数和，鸡比兔多的只数，求鸡、兔各几只•我们假设鸡与兔只数一样多，那么现在它们的足数一共有： 274 2 26 222 （只）,每一对鸡、兔共有足：2 4 6 （只），鸡兔共有对数（也就是兔子的只数） ：222 6 37 （对），则鸡有37 26 63 （只）•【巩固】 鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少 28•问鸡与兔各几只 ？【解析】 解一:假如再补上 28只鸡脚，也就是再有鸡 28 +2=14（只）,鸡与兔脚数就相等 ，兔的脚是鸡的脚4 -2=2（倍）,于是鸡的只数是兔的只数的 2倍•兔的只数是（100+28 +2） +（2+1）=38（只）.鸡是 100-38=62（只）.当然也可以去掉兔 28 +4=7（只）.兔的只数是（100-28 +4） +（2+1）+7=38（ 只）.也可以用任意假设一个数的办法©阳I価皇敦目解二：假设有50只鸡,就有兔100-50=50（ 只）•此时脚数之差是4 X50-2 X50=100,比28多了 72.就说明假设的兔数多了 （鸡数少了 ）.为了保持总数是 100,一只兔换成一只鸡，少了 4只兔脚，多了 2只鸡脚，相差为6只（千万注意，不是2）.因此要减少的兔数是 （100-28）十（4+2）=12（只）.兔只数是 50-12=38（只）.【例3】 在一个停车场上，现有车辆41辆，其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车共有127个 轮子，那么三轮摩托车有多少辆？【分析】假设都是三轮摩托车，应有 3 41 123（个）轮子，少了 127 123 4（个）轮子•每把一辆汽车假设为三轮摩托车，会减少4 3 1（个）轮子.汽车有4 1 4（辆）；从而求出三轮摩托车有41 4 37（辆）•或者假设都是汽车，应有 4 41 164（个）轮子，多了 164 127 37（个）轮子； 所以摩托车有37 （4 3） 37 （辆）.【巩固】 体育老师买了运动服上衣和裤子共 21件，共用了 439元，其中上衣每件 24元、裤子每件19元，问老师买上衣和裤子各多少件？【解析】 假设买的都是上衣，那么裤子的件数为： （24 21 439） （24 19） 13 （件），上衣：21 13 8 （件）.【巩固】 小建和小雷做仰卧起坐， 小建先做了 3分钟，然后两人各做了 5分钟，一共做仰卧起坐136次.已知每分钟小建比小雷平均多做 4次，那么小建比小雷多做了多少次？【解析】假设。