多项式函数【教师教材】.ppt

主要内容主要内容定义定义定义定义性质性质性质性质第七节第七节 多项式函数多项式函数1青苗一、定义一、定义直到现在为止，我们始终是纯形式地讨论多项直到现在为止，我们始终是纯形式地讨论多项式，也就是把多项式看作形式的表达式式，也就是把多项式看作形式的表达式. 在这一节在这一节我们将从另一个观点，即函数的观点来考察多项式我们将从另一个观点，即函数的观点来考察多项式设设f (x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 (1)是是 P[x] 中的多项式，中的多项式，  是是 P 中的数，在中的数，在 (1) 中用中用   代代 x 所得的数所得的数2青苗 an  n + an-1  n-1 + … + a1  + a0称为称为 f (x) 当当 x =   时的值时的值，记为，记为 f (  ) . 这样一这样一来，多项式来，多项式 f (x) 就定义了一个数域就定义了一个数域 P 上的函数上的函数. 可可以由一个多项式来定义的函数称为数域以由一个多项式来定义的函数称为数域 P 上的上的多多项式函数项式函数.当当 P 是实数域时，这就是数学分析中是实数域时，这就是数学分析中所讨论的多项式函数所讨论的多项式函数.因为因为 x 在与数域在与数域 P 中的数进行运算时适合与中的数进行运算时适合与数的运算相同的运算规律，所以不难看出，如果数的运算相同的运算规律，所以不难看出，如果3青苗h1(x) = f (x) + g(x) ,h2(x) = f (x) g(x) ,那么那么h1(  ) = f (  ) + g(  ) ,h2(  ) = f (  ) g(  ) ,下面来讨论多项式函数的性质下面来讨论多项式函数的性质.4青苗二、性质二、性质利用带余除法，我们得到下面常用的定理：利用带余除法，我们得到下面常用的定理：定理定理 7 (余数定理余数定理) 用一次多项式用一次多项式用一次多项式用一次多项式 x x - -    去除去除去除去除多项式多项式多项式多项式 f f ( (x x) ) ，所得的余式是一个常数，这个常数，所得的余式是一个常数，这个常数，所得的余式是一个常数，这个常数，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值等于函数值等于函数值等于函数值 f f ( (   ) .) .证明证明用用 x -  去除去除 f (x) ，设商为，设商为 q(x) , 余式余式为一常数为一常数 c ，于是，于是 f (x) = ( x -  ) q(x) + c .以以   代代 x ，得，得f (  ) = c .证毕证毕5青苗如果如果 f (x) 在在 x =   时函数值时函数值 f (  ) = 0，那么，那么  就称为就称为 f (x) 的一个的一个根根或或零点零点.由余数定理我们得到根与一次因式的关系：由余数定理我们得到根与一次因式的关系：推论推论     是是是是 f f ( (x x) ) 的根的充分必要条件是的根的充分必要条件是的根的充分必要条件是的根的充分必要条件是( ( x x - -    ) | ) | f f ( (x x) .) .由这个关系，我们可以定义重根的概念由这个关系，我们可以定义重根的概念.  称称为为 f (x) 的的 k 重根，如果重根，如果 ( x -  ) 是是 f (x) 的的 k 重因式重因式.当当 k = 1 时，时，  称为称为单根单根；；当当 k > 1 时，时，  称为称为重重根根.6青苗由上面的余数定理可知，要计算由上面的余数定理可知，要计算 ，只需求出，只需求出 的余式即可！从而有的余式即可！从而有综合除法综合除法设：设：求求的余式的余式解解不妨设，商式为：不妨设，商式为：则有：则有：7青苗从而有：从而有：比较两边系数得：比较两边系数得：解得解得8青苗将这些等式列在一起就有将这些等式列在一起就有：9青苗例：例：解解用综合除法用综合除法从而商式为从而商式为余式为余式为若余式为零，则为若余式为零，则为 的根的根. .10青苗定理定理 8 P P[ [x x] ] 中中中中 n n 次多项式次多项式次多项式次多项式 ( ( n n     0 0 ) ) 在数域在数域在数域在数域 P P中的根不可能多于中的根不可能多于中的根不可能多于中的根不可能多于 n n 个，重根按重数计算个，重根按重数计算个，重根按重数计算个，重根按重数计算. .证明证明对零次多项式定理显然成立对零次多项式定理显然成立.设设 f (x) 是一个次数是一个次数 > 0 的多项式的多项式. 把把 f (x) 分分解成不可约多项式的乘积解成不可约多项式的乘积. 由上面的推论与根的重由上面的推论与根的重数的定义，显然数的定义，显然 f (x) 在数域在数域 P 中根的个数等于分中根的个数等于分解式中一次因式的个数，这个数目当然不超过解式中一次因式的个数，这个数目当然不超过 n .11青苗在上面我们看到，每个多项式函数都可以由一在上面我们看到，每个多项式函数都可以由一个多项式来定义个多项式来定义. 不同的多项式会不会定义出相同不同的多项式会不会定义出相同的函数呢？的函数呢？ 这就是问，是否可能有这就是问，是否可能有f (x)   g(x) ,而对于而对于 P 中所有的数中所有的数   都有都有f (  ) = g(  ) ？？由由不难对这个问题给出一个否定的回答不难对这个问题给出一个否定的回答.12青苗定理定理 9 如果多项式如果多项式如果多项式如果多项式 f f ( (x x) ) , , g g( (x x) ) 的次数都不超的次数都不超的次数都不超的次数都不超过过过过 n n ，而它们对，而它们对，而它们对，而它们对 n n + 1 + 1 个不同的数个不同的数个不同的数个不同的数    1 1 , ,    2 2 , … , , … ,    n n+1+1 有相同的值，即有相同的值，即有相同的值，即有相同的值，即f f ( (   i i ) ) = = g g( (   i i ) ) i i = 1 , 2 , … , = 1 , 2 , … , n n + 1 + 1 , ,那么那么那么那么 f f ( (x x) ) = = g g( (x x) .) .证明证明由定理的条件，有由定理的条件，有f ( i ) - g( i ) = 0 , i = 1 , 2 , … , n + 1 ,这就是说，多项式这就是说，多项式 f (x) - g(x) 有有 n + 1 个不同的根个不同的根.13青苗如果如果 f (x) - g(x)   0 ，那么它就是一个次数不超过，那么它就是一个次数不超过 n的多项式，的多项式，它不可能有它不可能有 n + 1 个根个根.因此，因此， f (x) = g(x) .证毕证毕因为数域因为数域 P 中有无穷多个数，所以中有无穷多个数，所以说明了，说明了，不同的多项式定义的函数也不相同不同的多项式定义的函数也不相同不同的多项式定义的函数也不相同不同的多项式定义的函数也不相同. .如果如果两个多项式定义相同的函数，就称为恒等，上面的两个多项式定义相同的函数，就称为恒等，上面的结论表明，多项式的恒等与多项式相等实际上是一结论表明，多项式的恒等与多项式相等实际上是一致的致的.换句话说，数域上的多项式既可以作为形式换句话说，数域上的多项式既可以作为形式由由14青苗表达式来处理，也可以作为函数来处理表达式来处理，也可以作为函数来处理. 但是应该但是应该指出，考虑到今后的应用与推广，多项式看成形式指出，考虑到今后的应用与推广，多项式看成形式表达式要方便些表达式要方便些.15青苗。