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第九章第九章 双因素和多因素方差双因素和多因素方差分析分析学习目标学习目标掌握：两因素交叉分组（有重复观察值、无重复观察值）资料的方差分析方法熟悉：多因素试验线性模型和不同变异来源期望均方构成了解：缺失数据的估计原理及方差分析方法讲授内容讲授内容第一节 双因素方差分析概述第二节 不同实验类型的双因素方差分析第三节 多因素试验的方差分析第四节 缺失数据的估计第五节 数据变换第一节第一节 双因素方差分析概述双因素方差分析概述一、双因素试验汇中的几个基本概念1、主效应（main effect）：各实验因素相对独立的效应，该效应水平的改变会造成因素效应的改变，如包装方式对果汁销售量的影响2、互作效应（interaction）：两个或多个实验因素的相互作用而产生的效应3、无交互作用的双因素方差分析或无重复双因素方差分析(Two-factor without replication)：两个因素对试验结果两个因素对试验数据的影响4、有交互作用的双因素方差分析或可重复双因素方差分析 (Two-factor with replication)：如果两个因素对试验数据的单独影响外，两个因素的搭配还会对结果产生一种新的影响。

二、双因素交叉分组试验设计的描述二、双因素交叉分组试验设计的描述（一）双因素试验的数据描述（二）观测值的描述（三）平方和与自由度的分解（四）平方和的简便计算公式（五）各项均方的计算（一）试验数据的描述（一）试验数据的描述（二）观测值的描述（二）观测值的描述对于上表中的每一个观测值可用线性统计模型描述（三）平方和与自由度的分解（三）平方和与自由度的分解 1、平方和的分解 总平方和SST被分解为A因素所引起的平方和SSA、B因素所引起的平方和SSB、AB交互作用所引起的平方和SSAB、误差平方和SSe•A因素误差平方和•B B因素误差平方和•AB交互作用误差平方和•随机误差项平方和2、平方和的分解与平方和相应的自由度分别为：总自由度：dfT=abn-1A因素处理间自由度：dfA=a-1B因素处理间自由度：dfB=b-1交互作用自由度：dfAB=(a-1)(b-1)处理内自由度：dfe=ab(n-1)dfT=dfA+dfB+dfAB+dfe（四）平方和的简便计算方式（四）平方和的简便计算方式（五）各项均方的计算（五）各项均方的计算第二节第二节 不同实验类型的双因素方差分析不同实验类型的双因素方差分析一、固定模型（一）重复试验时的双因素方差分析1、观察值的线性统计模型 2、提出假设3、检验统计量的计算 在F检验时，A因素、B因素和互作效应的检验统计量均以MSe做分母：FA=MSA/MSe FB=MSB/MSe FAB=MSAB/MSe 用F分布的上尾检验，拒绝域为F>Fα4、均方期望（二）无重复实验时的双因素方差分析1、观测值的描述2、提出假设3、检验统计量的计算 在F检验时，A因素、B因素的检验统计量均以MSe做分母 FA=MSA/MSe FB=MSB/MSe 用F分布的上尾检验，拒绝域为F>Fα（三）交互作用的判断（三）交互作用的判断Tukey提供的方法进行因素间是否存在交互作用的判断P150n二、随机模型1、观察值的线性统计模型 2、提出假设3、检验统计量的计算 在F检验时，A因素、B因素主效应的检验统计量是以MSAB做分母；互作效应的检验统计量以MSe做分母 FA=MSA/MSAB FB=MSB/MAB FAB=MSAB/MSe 用F分布的上尾检验，拒绝域为F>Fα 注意：检验统计量的分母与统计量的第二自由度与固定效应不同4、均方期望三、混合模型（以A为固定因素、B为随机因素为例）在混合模型中，A、B因素的效应为非可加性， 为固定效应，                         为随机效应对A做检验时用随机模型，对B及AB交互效应做检验时用固定模型。

P177例1：随机选择4个小麦品种，施以三种肥料，小区产量列于下表，该问题属于哪种模型？从方差分析的结果可得出什么结论？ 肥料种类小麦品种不同条件下小区产量/kg(NH4)2SO4NH4NO3Ca(NO3)2121.118.019.4224.022.021.7314.213.312.3431.531.427.5题解题解解：本题影响产量的因素包括肥料种类和小麦品种该问题属于混合模型中无重复的两因素分组交叉分析肥料种类小麦品种不同条件下小区产量/kg(NH4)2SO4NH4NO3Ca(NO3)2121.118.019.419.5224.022.021.722.57314.213.312.313.27431.531.427.530.1322.721.1820.23变差来源平方和自由度均方统计量F小麦品种442.173147.39115.02**肥料种类12.4726.244.87误差7.6961.28　总和462.3311　　小麦品种间差异极显著，肥料间无显著差异 例2：用两种不同的饲料添加剂A和B，以不同比例搭配饲养大白鼠，每一种饲料添加剂取4个水平，每一处理设两个重复大白鼠增重结果列于下表。

请进行统计分析，并回答下列问题添加剂B添加剂A不同条件下大白鼠增量/g1234132，3628，2218，1623，21226，2429，3327，2317，19333，3930，2433，3723，27439，4331，3528，32`36，34该实验有可能属于哪几种模型？前提是什么？如果认为是随机模型，设置重复与不设重复对分析结果有无影响？若实验本身是固定模型，但分析时误认为随机模型，对结论有何影响？若不设重复，又有何影响？题解：（1）该实验可能属于固定模型、随机模型、混合模型取决于添加剂本身的性质，即添加剂的效果能否严格重复（2）分析：固定模型下：           ajaiB123413425172224.522531251824.7533627352530.7544133303534.75342926.752528.69变差来源平方和自由度均方统计量FA592.3753197.45824.68**B365.3753121.79215.22**AB425.125947.2365.904**误差128168总和1510.87531查F分布表：所以FA、FB、FC均达极显著，所以大白鼠增重与添加剂A、B及其交互作用都有显著关系。

随机模型下：查F分布表： FA显著但未达极显著，FB不显著，FAB极显著所以大白鼠增重与A、AB的交互作用有显著关系综合上面可知，随机模型和固定模型对主效应的认识不同；若不设重复，对固定模型，统计检验无法进行第三节第三节 多因素试验的方差分析多因素试验的方差分析一、观测值的描述 假设在一个试验中，A因素有a个水平，B因素有b个水平，C因素有c个水平，每个因素有n次重复，那么观测值的线性统计模型为 A1A2 A3B1B2B3A1A2 A3B2B3B1                   (a) 无交互效应无交互效应 (b) 有交互效应有交互效应 图图中中每每条条曲曲线线代代表表B因因素素的的一一个个水水平平若若各各曲曲线线平平行行或或近近似似平平行行，，可可认认为为无无交交互互效效应应，，否否则则为为有有交交互互效效应应以以上上只只是是一一种种直直观观的的判判断断，，在在多多因因素素方方差分析的过程中，我们对交互作用的有无也可进行统计检验差分析的过程中，我们对交互作用的有无也可进行统计检验 交互效应交互效应H01:  i =0, i=1, 2, ……aH02:βj=0, j=1, 2, ……bH03:()ijij=0, i=1, 2, =0, i=1, 2, ……a, j=1, 2, a, j=1, 2, ……b b备择假设为备择假设为:H HA A: : 上述各参数中至少有一个不为上述各参数中至少有一个不为0 0。

(这实际上是三个备择假设这实际上是三个备择假设) ) 零假设零假设方差分析的基本思想仍是总变差分解：方差分析的基本思想仍是总变差分解：即：即： SST = SSA + SSB + SSAB + SSe自由度：自由度：abn-1 a-1 b-1 (a-1) (b-1) ab(n-1)总变差分解总变差分解均方数学期望均方数学期望  检检验验两两个个主主效效应应及及一一个个交交互互效效应应的的下下述述三三个个统统计计量量中中，，分分母母全全部部采采用用MSe即可检验检验H01，，H02，，H03的统计量分别为：的统计量分别为： 检验检验H H0101，，H H0202，，H H0303的统计量的统计量 从从前前述述的的各各均均方方期期望望可可知知，，只只有有当当各各H0成成立立时时，，上上述述三三个个分分子子才才是是 2的的无无偏偏估估计计量量，，此此时时各各统统计计量量均均服服从从F分分布布；；若若某某个个H0不不成成立立，，则则相相应应的的分分子子将将有有偏偏大大的的趋趋势，从而使对应的统计量也有偏大的趋势，因此可用势，从而使对应的统计量也有偏大的趋势，因此可用F分布上单尾分位数进行检验。

分布上单尾分位数进行检验 各效应的估计值各效应的估计值 其中其中i=1, 2 ……a, j=1, 2, ……b计算公式计算公式计算排列如下表：计算排列如下表：表中最下一行是各列的平均，最右一列是各行的平均表中最下一行是各列的平均，最右一列是各行的平均 计算步骤计算步骤变差来源平方和自由度均方统计量F主效应A主效应B交互效应AB误差    总和         方差分析表方差分析表 把把计计算算所所得得结结果果填填入入上上表表后后，，再再根根据据各各F统统计计量量的的自自由由度度查查出出其其F0.95及及F0.99分分位位数数，，并并将将F计计算算值值与与相相应应分分位位数数相相比比，，大大于于F0.95则则在在统统计计量量F右右上上角角标标一一个个“*”号号；；大大于于F0.99则则再再加加一一个个“*”号号最最后后用用一一句句话话对对上上述述方方差差分分析析的的结结果果加加以以总总结结，，即哪些主效应或交互效应达到显著或极显著水平，哪些不显著即哪些主效应或交互效应达到显著或极显著水平，哪些不显著 F F测验测验 如如果果MSAB小小于于或或约约等等于于MSe，，即即FAB小小于于或或约约等等于于1，，说说明明此此时时交交互互作作用用不不存存在在，，在在这这种种情情况况下下也也可可把把MSAB和和MSe合合并并在在一一起起(即即把把平平方方和和和和自自由由度度都都合合并并)作为作为σσ2 2的估计量，这样可以提高检验的精确度。

具体计算公式如下的估计量，这样可以提高检验的精确度具体计算公式如下 交互作用不存在交互作用不存在 然然后后可可用用作作统统计计量量FA和和FB的的分分母母，，对对两两个个主主效效应应进进行行统统计计检检验验注注意意查查表表时时分分母母自由度要相应改变自由度要相应改变 原料种类(A)温   度（B）30℃35℃40℃1414923251113252462226182475950404338333682214183355350433847445533262930例例3 3 选择最适发酵条件选择最适发酵条件  本本题题中中显显然然温温度度是是一一个个因因素素，，原原料料种种类类是是另另一一个个因因素素这这两两个个因因素素各各有有三三个个水水平平由由于于它它们们的的影影响响都都是是可可控控制制、、可可重重复复的的，，因因此此都都是是固固定定因因素素在在同同样样温温度度、、原原料料下下所所做做的的几几次次实实验验应应视视为为重重复复，，它它们们之之间间的的差差异是由随机误差所造成的异是由随机误差所造成的 固定因素固定因素         j    i123    134.518.251823.58    24937.515.534    345.25462739.42    42.9233.9220.12 各处理平均数各处理平均数 发酵实验方差分析表发酵实验方差分析表 变差来源平方和自由度均方F原料A温度BAB误差1554.183150.50808.821656.5022427777.091575.25202.2161.3512.67**25.68**3.30*总和7170.0035  查查F分布表，得：分布表，得：F0.95(2,27)≈F0.95(2,30)=3.316, F0.99(2,27)≈F0.99(2,30)=5.390,F0.95(4,27)≈F0.95(4,30)=2.690, F0.99(4,27)≈F0.99(4,30)=4.018,∴F∴FA A,F,FB B均均达达极极显显著著，，标标上上“* * * *”，，F FABAB只只达达显显著著，，标标上上“* *”。

因因此此酒酒精精产产量量不不仅仅与与原原料料和和温温度度的的关关系系极极显显著著，，与与它它们们的的交交互互作作用用也也有有显显著著关关系系即即对对不不同同原原料料应选用不同的发酵温度应选用不同的发酵温度 F F测验测验 在在固固定定效效应应模模型型中中，，若若各各F F统统计计量量有有达达到到显显著著或或极极显显著著水水平平时时，，常常还需要在各处理间进行多重比较，以选出所需要的条件组合常常还需要在各处理间进行多重比较，以选出所需要的条件组合各处理间进行多重比较各处理间进行多重比较 如如果果有有交交互互作作用用存存在在，，则则一一般般需需要要把把所所有有abab个个水水平平组组合合放放在在一一起比比较的方法仍与单因素方差分析相同，最常用起比比较的方法仍与单因素方差分析相同，最常用Duncan法  当当交交互互作作用用存存在在时时，，对对固固定定模模型型若若不不设设置置重重复复，，则则无无法法把把SSAB与与SSe分分开开，，这这样样将将无无法法进进行行任任何何统统计计检检验验因因此此在在固固定定模模型型中中有有交交互互作作用用时时，，不不设设置置重重复复的的试试验是无意义时。

验是无意义时 对固定模型来说，结论只能适用于参加实验的几个水平，不能任意推广到其对固定模型来说，结论只能适用于参加实验的几个水平，不能任意推广到其他水平上去他水平上去 几点注意事项：几点注意事项：二、平方和与自由度的分解（P179）三、检验统计量的计算 在各种模型中，要特别注意统计量F的计算一定要根据因素的性质来决定 对于固定因素主效应做检验时用随机模型，对随机因素主效应做检验时用固定模型四、各均方的数学期望由于由于F FABAB<1<1，为提高检验精度，可将，为提高检验精度，可将SSSSABAB与与SSSSe e合并：合并：查表，得查表，得：：F F0.950.95(2, 22) = 3.44, (2, 22) = 3.44, F F0.990.99(2, 22) = 5.72,(2, 22) = 5.72,由由于于F FA A = = 12.77 12.77 > > F F0.990.99(2, (2, 22), 22), F FB B = = 14.21 14.21 > > F F0.990.99(2, (2, 22), 22), 因因此此两两因因素素（（饮饮料料与与窝窝别别））的的主主效效应应均均达达极极显显著著水水平平。

交交互互效效应应显显然然不不显著 四、方差分析的规律总结一、假设(1) 对于固定效应A的假设：(2) 对于随机效应B的假设：二、平方和与自由度的分解平方和的分解根据线性统计模型计算自由度的分解规律如下：每一组因素主效应的自由度为该因素的水平减1，每一交互作用的自由度是产生交互作用各因素的自由度的乘积，误差自由度是各因素水平与重复数减1的乘积三、均方期望的推演方法（一）对均方期望做规律性规定 方差分析中均方数学期望的推导是选择合适检验统计量的前提以多因素实验为例，均方期望的规律性做如下规定：1、下标： 中的下标写为 ，括号中的ijk为不同处理水平组合的下标，称为 “活下标”；括号外的l和其他方差分量中的下标均称为“活下标”2、固定模型中各因素的效应分别改模型分量的平方和除以自由度表示，如A因素的效用 表示，3、随机模型中各因素的效应分别以希腊字母为下标的方差表示，如A因素的效应记为 ；B因素的效应记为 ，AB交互作用的效应记为 ，以上各量分别称为各因素的方差分量4、混合模型中，交互作用的两个因素只要有一个是随机的，则交互作用即被认为是随机的，两因素的交互效应记为5、不论哪一种模型，误差的方差均记为四、检验统计量的计算检验统计量F要根据各均方期望的构成来决定，它的规律是为了得到检验的某个效应的统计量。

在计算F时，分子均方的组成比分母均方的组成多出了欲检验的效应（固定因素）或方差（随机因素）分量，除此之外，其他成分完全相同对固定因素主效应做检验时用随机模型，对随机因素主效应做检验时用固定模型。