物理光学18第十八次课光衍射基本理论.ppt

第十八次课第十八次课 光衍射基本理论光衍射基本理论 引言引言-光的衍射光的衍射 内容内容-光衍射基本理论光衍射基本理论*衍射三要素及衍射问题*惠更斯—菲涅耳原理*菲涅耳—基尔霍夫衍射公式 *菲涅耳—基尔霍夫衍射公式近似 1SΣΠP1P2P3P4(a)17世纪以前，人们认为光是直线传播的 引言引言 光的衍射光的衍射衍射现象图17世纪中叶，意大利的格里马第发现光的传播偏离直线的现象 SΣP3P4P1P2Π(b)索末菲(A. Sommerfeld)的定义：所谓衍射就是“不能用反射或折射来解释的光线对直线光路的任何偏离” 惠更斯-菲涅耳 2衍射现象中的有三项基本的要素三项基本的要素 (1)、由光源S发射的光波其性质可以用光波的波长组成、波面形状、复振幅分布等参量定量描述； (2)、衍射物Σ如果它是二维“屏”状的，其性质可以由屏的(复)振幅透射系数分布描述，不妨称其为衍射屏； (3)、观察屏Π上的“衍射图形”通常用光(电)场的复振幅分布或辐照度分布描述衍射问题衍射问题 原则上是要建立这三项要素之间的定量关系，使得其中任两项已知时，能够求出第三项要素 衍射的要素及衍射问题3SLΠ图1 由衍射求像点的辐照度分布图2 光栅光谱仪：由衍射求光波性质SΠGSCΣΠ图3 晶体衍射：由衍射求衍射屏性质4­1、惠更斯假设­2、惠更斯-菲涅耳原理 惠更斯—菲涅耳原理1、惠更斯假设“波前”的概念：光源在某一时刻发出的光波所形成的波面(等相面)。

1690年，惠更斯在其著作《论光》中提出假设：“波前上的每一个面元都可以看作是一个次级扰动中波前上的每一个面元都可以看作是一个次级扰动中心，它们能产生球面子波心，它们能产生球面子波”，并且，“后一时刻的后一时刻的波前位置是所有这些子波波前的包络面波前位置是所有这些子波波前的包络面”其中，“次级扰动中心”可以看成是一个点光源，又称作“子波源”5对于少数形状简单的波面来说，由此假设可以求出新波面位置，这种方法称为惠更斯作图法惠更斯作图法图4 惠更斯作图求球面波传播D'C'B'ECSΩ'E'A'ABDΩAA'= BB'=CC'=DD'= EE'=子波波面的包络面Ω'仍是球面，只是半径比Ω大 不难看出，当Ω是平面时，Ω'也是平面此时只要在Ω上任意取三个子波源便可确定新波面Ω'的位置 6利用惠更斯假设可以定性地理解小孔衍射图5 利用惠更斯假设理解小孔衍射ΩiΣ利用惠更斯原理无法说明在观察屏上出现亮暗相间的衍射条纹的原因；也不能定量地确定观察屏上辐照度分布规律；更根本涉及不到光波波长对衍射传播的影响因为实验表明，衍射图形的大小和分布是与波长有密切关系的 72、惠更斯-菲涅耳原理 ““波前上任何一个未受阻挡的点都可以看作是一个频率波前上任何一个未受阻挡的点都可以看作是一个频率( (或波长或波长) )与入射波相同的子波源；在其后任何一地点的光与入射波相同的子波源；在其后任何一地点的光振动，就是所有这些子波叠加的结果振动，就是所有这些子波叠加的结果””。

可见，惠更斯-菲涅耳原理实际上认为惠更斯子波是频率(波长)相同的相干光波，这些子波的传播服从光干涉叠加原理根据惠更斯-菲涅耳原理，我们可以建立一个定量计算衍射问题的公式，来描述单色光波在传播途中任意两个面，例如衍射光栏面Σ和观察面Π上光场分布之间的关系我们从平面波开始一步步引出这个关系为方便计，不考虑电场振动的方向，认为在衍射过程的光波是标量波——标量波衍射理论标量波衍射理论 8ξηθMrΣ'ΣΠP图6 平面波正入射平面波正入射设入射波在Σ面处的复振幅为A，为复常量 M处面元为 在P点产生的振动为： 是一个复比例系数，表征入射波振幅与子波源源强度之间的关系 称为称为““方向因子方向因子””，用来表明子，用来表明子波在各个方向上有不同的强弱波在各个方向上有不同的强弱菲涅耳曾假定：菲涅耳曾假定：D的值在的值在0~1之间；之间；为避免出现倒退波，并假定为避免出现倒退波，并假定D(0)=1和和 是入射波的空间圆频率ω是入射波圆频率r是M至P的距离 在单色波入射的情形下，各个子波在任意地点随时间变化的规律是相同的，所以可以只考虑M对P的复振幅贡献即可P点的合成复振幅为： (1) 式中积分域Σ上的开口区域。

9ξηθΩΩ'SΣΣ'M'r'PΠr0球面波入射S为单色点光源，源强为单色点光源，源强度为度为A'取子波源所在的波前取子波源所在的波前为与为与θ点相交的球面点相交的球面Ω，令，令Sθ=r0则Ω上的入射波复振幅为： 于是P点的复振幅为： (2)是光栏开口允许通过的波面部分问题：K和 的具体形式是什么？10菲涅耳—基尔霍夫衍射公式1882年，基尔霍夫利用亥姆霍兹方程进行分析，其工作结果认为：空间任意一点的电磁场，可以用包围该点的任意封闭曲面上的电磁场及其导数求出，其形式如下：(3) E(P)是P点的电场；公式(3)表明的规律称为“亥姆霍茨亥姆霍茨-基尔霍夫定理基尔霍夫定理”亥姆霍茨-基尔霍夫公式中的有关的几何量SPr'nk是简谐波的传播数S是包围P点的封闭曲面11(3) 亥姆霍茨-基尔霍夫公式中的有关的几何量SPr'n是基尔霍夫选取的格林函数：是基尔霍夫选取的格林函数：曲面曲面S内任意一点内任意一点P处的电场处的电场E(P)则由则由S上上所有面元发出的子波干涉叠加来确定所有面元发出的子波干涉叠加来确定nPRr'QS0单色点光源单色点光源S0照射无限大不透明的有照射无限大不透明的有开孔的屏上。

开孔的屏上12nPRr'QS0(3) (4) 为了确定三个面上E和∂E/∂n，基尔基尔霍夫作了如下假设霍夫作了如下假设：(1)、在Σ面上的开口处，E、∂E/∂n都完全取决于入射波性质，不受衍射光栏的影响；(2)、在Σ面上的挡光部分，E、∂E/∂n均等于零 ——基尔霍夫边界条件索末菲辐射条件：13nPRrQS0——基尔霍夫衍射积分公式基尔霍夫衍射积分公式点光源点光源S S0 0发射的光波在开孔处的复振幅分布发射的光波在开孔处的复振幅分布格林函数，表示格林函数，表示Q处面元发射的子波对处面元发射的子波对P点的贡献点的贡献复常数复常数K：：方向因子：14基尔霍夫衍射积分公式：可以被化简和推广傍轴近似：在实际的衍射问题中，衍射孔径的线度远远小于衍射孔径平面到观察屏的距离；光源和考察面的有效面积对衍射孔径的张角很小对于实际衍射装置：照明光源是各不相同的，有的是点光源、有的是线光源，而有的则是很复杂的光源，因而光波是复杂的，最简单的是平面波和球面波衍射物体也是不同的，有的是透明的，有的是反射的，因而对光波的调制特性，有振幅调制型，有位相调制型15把任意形状的入射波在Σ平面上的表达式简化成 。

把任意性质的衍射物体的复振幅透射(对于反射物体，为反射)系数写成：衍射问题模型θMrΣ'ΣΠP(x，y)(x，y)d于是透过衍射物体于是透过衍射物体(或被衍射物体反射或被衍射物体反射)的光波复振幅为：的光波复振幅为：根据实际情况可知，透射根据实际情况可知，透射(反射反射)系数只在有限的空间范围是有限系数只在有限的空间范围是有限的，则有：的，则有：16衍射问题模型θMrΣ'ΣΠP(x，y)(x，y)d可以看出：子波源取自可以看出：子波源取自Σ平面，各子波平面，各子波源的源强度为源的源强度为KA(ξ，，η)dσ，其中的幅角，其中的幅角部分表示子波源的初位相部分表示子波源的初位相也可以看出：观察点也可以看出：观察点P处的一个光场振动是由衍射面上衍射孔径附处的一个光场振动是由衍射面上衍射孔径附近的一个向近的一个向P点会聚的球面波点会聚的球面波S所贡献因此只要找出在离开衍射孔径的因此只要找出在离开衍射孔径的“复杂复杂”简谐波简谐波A(ξ，，η)中所含的中所含的球面波球面波S成分，便可求得成分，便可求得E(P)换言之，衍射问题被转化成将换言之，衍射问题被转化成将A(ξ，，η)分解成许多球面波问题。

分解成许多球面波问题 只要观察点只要观察点P P不非常靠近衍射屏不非常靠近衍射屏ΣΣ，并且方向因子基本为常数，，并且方向因子基本为常数，则由它计算得到的衍射图形总能很好地与实验相符合则由它计算得到的衍射图形总能很好地与实验相符合 17­(一)、菲涅耳近似、菲涅耳衍射和夫琅和费近似、夫琅和费衍射 ­(二)、傅立叶变换的存在 内容内容菲涅耳—基尔霍夫衍射公式近似18(一)、菲涅耳近似、菲涅耳衍射和夫琅和费近似、夫琅和费衍射rMξxP0ηΣzyPΣ'dΠ衍射问题中的直角坐标系统P(x、y、d)一般的情况，观察点到衍射光栏的一般的情况，观察点到衍射光栏的距离总是远大于光栏开口距离总是远大于光栏开口Σ的大小以的大小以及观察范围的大小，这样：及观察范围的大小，这样：可直接用d代替由此引入的相对误差是： 19被积函数指数上的r却不能直接近似成d因为kr表示波的位相，当用d代替r时，引入的绝对位相误差为：尽管：但是：考虑到复指数函数是周期为2 的函数，这种误差显然不能接受这里我们人为地以位相误差为2 的四分之一，即 /2作为可以接受的最大误差20展开式右端各项的数量级是依次递减的。

当以展开式的前两项代替位相中的r时，这种近似称为“菲涅耳近似菲涅耳近似”由此引入的位相误差为： 我们的人为约定以 作为可以接受的最大误差，则菲涅耳近似成立的条件是：即： 21在菲涅耳近似下， 基尔霍夫公式变为：——称为菲涅耳衍射积分公式菲涅耳衍射积分公式——此式表示的条件称为衍射的菲涅耳近似衍射的菲涅耳近似——满足菲涅耳近似条件的衍射称为菲涅耳衍射菲涅耳衍射——菲涅耳近似成立的区域称为菲涅耳衍射区菲涅耳衍射区ΣrMξxP0ηzyPΣ'dΠ在Π上观察到的就是菲涅耳衍射条纹菲涅耳衍射条纹辐照度L(x,y)为：衍衍射射区区范范围围的的估估计计：：如如果果光光波波波波长长λ，， [(x-ξ)2+(y-η)2]的的最最大大值值为为6mm2，，则则可可算算出出观观察察面面Π与与衍衍射射面面Σ之之间间的的最最近近距距离为：离为：dmin≈31mm22进一步略去右端最后一项，变成：进一步略去右端最后一项，变成：r的菲涅耳近似展开式为：的菲涅耳近似展开式为：——这个近似称作“夫琅和费近似夫琅和费近似”。

该近似引入的位相误差为：该近似引入的位相误差为： 因此，该近似成立的条件为：因此，该近似成立的条件为： 即：即： 对对于于波波长长为为600nm的的光光波波，，如如果果衍衍射射光光栏栏开开口口的的最最大大值值是是2mm2，，则则由由上上式式可可算算得得在在夫夫琅琅和和费费近近似似下下观观察察面面Π与与衍衍射射面面Σ之之间间的的最最近近距距离离为：为：dmin 23在夫琅和费近似下，基尔霍夫公式变为： 同“菲涅耳衍射菲涅耳衍射”一样，如果满足夫琅和费近似条件，将出现“夫琅和费衍射夫琅和费衍射”现象，观察到“夫琅和费衍射图形夫琅和费衍射图形”，相应的观察区域为“夫琅和费衍射区夫琅和费衍射区” 我们希望将积分域从形式上扩展到整个衍射屏平面所以衍射积分公式中的积分域可以写成是整个Σ平面因为：相应地，对夫琅和费衍射有“夫琅和费衍射公式”： 为方便计，以后一般不再标明积分限±∞于是有“菲涅耳衍射公式”： 24“菲涅耳衍射公式”： “夫琅和费衍射公式”： 都包含着一个线性复指数因子： (二)、傅立叶变换的存在令 ：则有： 不难看出，它代表一个空间频率为(fξ，fη)的三维简谐平面波，而在傅立叶分析中，它正是二维傅立叶变换的核。

这样，衍射问题便与数学上的二维傅立叶变换联系起来了25令： 再令： ——“菲涅耳衍射公式”的傅立叶变换傅立叶变换形式 复令： ——“夫琅和费衍射公式”的傅立叶变换傅立叶变换形式 26可见衍射问题可以采用傅立叶变换的方法来处理这样不仅可以直接借助傅立叶变换的性质和有关定理，简化计算过程；而且可以用傅立叶分析的观点来解释衍射图形的形成，加深对衍射本质的认识衍射屏物体出射面上的复振幅，可看作复杂波对于菲涅耳衍射也可以有类似理解，此时透过衍射物体的复杂波可分解为一系列球心位置各不相同的简谐球面波，在菲涅耳观察屏平面上，各个球面波在空间不能分离，观察面上任意一点P(x，y)的菲涅耳衍射就是各个球面波贡献量的相干叠加 这个复杂波在传播过程中分解为一系列空间频率为为(fξ，fη)、复振幅密度为a(fξ，fη)的三维简谐平面波，当这些传播方向不同的简谐平面到达观察屏平面上相干叠加形成衍射图样27作业：28。