第三章线性系统的时域(第六讲).ppt资料

2024/8/231自动控制原理第第6 6讲讲二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析二阶系统性能指标及计算二阶系统性能指标及计算2024/8/232自动控制原理暂态性能指标暂态性能指标暂态性能指标暂态性能指标延迟时间延迟时间延迟时间延迟时间 （（Delay TimeDelay Time））峰值时间峰值时间 （Peak Time）：上升时间上升时间（Rise Time）定义:过渡曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间过阻尼过阻尼：过渡曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间上升时间越短，响上升时间越短，响应速度越快应速度越快图图3-6 表示性能指标的单位阶跃相应曲线表示性能指标的单位阶跃相应曲线过渡曲线超过稳态值c（）达到第一个峰值的所需时间欠阻尼：欠阻尼：过渡曲线第一次从零上升到稳态值所需时间2024/8/233自动控制原理 过渡曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需的最短时间误差范围用稳态值的百分数（通常取5%或2%）表示暂态性能指标暂态性能指标暂态性能指标暂态性能指标调节调节调节调节时间时间时间时间 ：：（（Settling TimeSettling Time））或或评价系统的响应速度；评价系统的响应速度；同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。

同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标评价系统的阻尼程度评价系统的阻尼程度指过渡曲线的最大偏离量h(tp)与稳态值的百分比，即：⑤⑤超调量超调量（Maximum Overshoot）：图图3-6 表示性能指标的单位阶跃相应曲线表示性能指标的单位阶跃相应曲线2024/8/234自动控制原理表表表表3-13-13-13-1一阶系统对典型输入信号的响应一阶系统对典型输入信号的响应一阶系统对典型输入信号的响应一阶系统对典型输入信号的响应等价关系等价关系时域输入时域输入信号信号频域输入频域输入信号信号输出响应输出响应系统传递系统传递函数函数1 11(t)1(t)t t等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定的积分；积分常数由零初始条件确定2024/8/235自动控制原理3.3 3.3 3.3 3.3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析Transient-Response Analysis and Steady-State Transient-Response Analysis and Steady-State Transient-Response Analysis and Steady-State Transient-Response Analysis and Steady-State Error Analysis of Second-order SystemsError Analysis of Second-order SystemsError Analysis of Second-order SystemsError Analysis of Second-order Systems定义：定义：定义：定义：二阶系统：能用二阶微分方程描述系统运动方程的系二阶系统：能用二阶微分方程描述系统运动方程的系统，称为二阶系统。

统，称为二阶系统 二阶系统不仅在工程实践中应用的比较多，而且许多高二阶系统不仅在工程实践中应用的比较多，而且许多高阶系统在一定的条件下可近似认为是二阶系统因此，二阶阶系统在一定的条件下可近似认为是二阶系统因此，二阶系统的研究具有重要意义系统的研究具有重要意义3.3.1 二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型设一随动系统的数学模型如设一随动系统的数学模型如图图(3-12)所示K——开环增益；开环增益； ——执行电机的时间常数执行电机的时间常数2024/8/236自动控制原理其闭环传递函数：其闭环传递函数：为了使研究的结果具有普遍意义，可将上式表示为如下标准为了使研究的结果具有普遍意义，可将上式表示为如下标准形式：形式：（3-17）－自然－自然频率（或无阻尼振率（或无阻尼振荡频率）率）－阻尼比（相－阻尼比（相对阻尼系数）阻尼系数）2024/8/237自动控制原理二阶系统的标准形式：二阶系统的标准形式：二阶系统的特征方程：二阶系统的特征方程：特征根：特征根： 随着阻尼比随着阻尼比 的不同，的不同，系统的特征根不同，动态特系统的特征根不同，动态特性不同 临界阻尼临界阻尼临界阻尼临界阻尼 过阻尼过阻尼过阻尼过阻尼 无阻尼无阻尼无阻尼无阻尼欠阻尼欠阻尼一对共轭复数根一对共轭复数根 两个相同负实根两个相同负实根 两个不同负实根两个不同负实根 一对共轭纯虚根一对共轭纯虚根 表表3－－2 阻尼比不同时的特征根阻尼比不同时的特征根(3-17)(3-18)2024/8/238自动控制原理 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应 Unit-Step Response of Second-Order Systems(一一) 欠阻尼（欠阻尼（ ）二阶系统的单位阶跃响应）二阶系统的单位阶跃响应令令——衰减系数衰减系数——有阻尼振荡频率有阻尼振荡频率因：因：由式由式(3-17)可知：可知：2024/8/239自动控制原理对上式进行拉式反变换，得单位阶跃响应：对上式进行拉式反变换，得单位阶跃响应：稳态分量稳态分量稳态分量为稳态分量为1 1，表明二阶系统在单位阶跃函数作用下，不存在，表明二阶系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态位置误差，瞬态分量为有阻尼的正弦振荡，其振荡频率为稳态位置误差，瞬态分量为有阻尼的正弦振荡，其振荡频率为(3-19)(3-20)包络线包络线：决定了系统响应曲线的振荡衰减速度决定了系统响应曲线的振荡衰减速度。

由(3-20)知：欠阻尼时单位阶跃响应为衰减振荡曲线欠阻尼时单位阶跃响应为衰减振荡曲线瞬态分量瞬态分量2024/8/2310自动控制原理当当 时：单位阶跃响应为：时：单位阶跃响应为：（3-21） 它的响应曲线是一条均值为它的响应曲线是一条均值为1的余弦形式的等幅振荡曲的余弦形式的等幅振荡曲线，其振荡频率为线，其振荡频率为 由系统得结构和参数决定由系统得结构和参数决定与与 的物理意义的物理意义是是 时，二阶系统过渡过程为等幅余弦时，二阶系统过渡过程为等幅余弦振荡的角频率，称为无阻尼自振角频率振荡的角频率，称为无阻尼自振角频率是欠阻尼时，二阶系统过渡过程为衰减正弦振荡角频率，是欠阻尼时，二阶系统过渡过程为衰减正弦振荡角频率，称为有阻尼自振角频率称为有阻尼自振角频率随着随着 的增加，的增加， 值减小2024/8/2311自动控制原理 对上式进行拉式反变换，得单位阶跃时临界阻尼响应：对上式进行拉式反变换，得单位阶跃时临界阻尼响应：当当时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单的无超调单调上升过程，变化率为：调上升过程，变化率为： （二、）临界阻尼（（二、）临界阻尼（ ）单位阶跃响应）单位阶跃响应临界阻尼时，系统有两个相同的负实根。

临界阻尼时，系统有两个相同的负实根输入为：输入为：输出为：输出为：(3-22)2024/8/2312自动控制原理(三、三、)过阻尼过阻尼( )单位阶跃响应单位阶跃响应系统有两个不同的负实根系统有两个不同的负实根：对上式进行因式分解，得：对上式进行因式分解，得：对上式进行拉式反变化，得系统响应：对上式进行拉式反变化，得系统响应：(3-23)2024/8/2313自动控制原理系统过渡过程包含两个指数衰减项，其代数和系统过渡过程包含两个指数衰减项，其代数和不超过不超过1所以过阻尼过程为非振荡的单调曲线所以过阻尼过程为非振荡的单调曲线 闭环极点闭环极点 比比 距离虚轴远的多，在距离虚轴远的多，在(3-23)中，两个按指数中，两个按指数规律衰减项中，含有极点规律衰减项中，含有极点 的项比的项比 的项衰减的快的项衰减的快 所以，所以， （闭环极点）对系统过渡过程的影响比闭环极点（闭环极点）对系统过渡过程的影响比闭环极点 对系统的影响大对系统的影响大 在求系统的输出响应时，可忽略在求系统的输出响应时，可忽略 对系统过渡过程的影响，对系统过渡过程的影响，将二阶系统近似看成一阶系统。

将二阶系统近似看成一阶系统2024/8/2314自动控制原理图图3-113-11所示二阶系统在不同所示二阶系统在不同时的瞬态阶跃响应曲线时的瞬态阶跃响应曲线2024/8/2315自动控制原理 负阻尼状态，两正实部根，负阻尼状态，两正实部根， 位于位于S S平面的右半部，响应曲线发散平面的右半部，响应曲线发散欠阻尼状态，欠阻尼状态， 两共扼复根，两共扼复根， 位于位于S S平面的左半部，响应曲线振荡收敛平面的左半部，响应曲线振荡收敛临界阻尼状态，两相等负实根，位于临界阻尼状态，两相等负实根，位于S S平面负实轴，响应曲线单调收敛平面负实轴，响应曲线单调收敛无阻尼状态，无阻尼状态， 两纯虚根，两纯虚根， 位于位于S S平面虚轴，平面虚轴， 响应曲线等幅振荡响应曲线等幅振荡过阻尼状态，过阻尼状态， 两不等负根，两不等负根， 位于位于S S平面负实轴，响应曲线单调收敛平面负实轴，响应曲线单调收敛 理解记忆下面分析下面分析 对响应曲线变化的影响对响应曲线变化的影响2024/8/2316自动控制原理二阶系统单位阶跃响应定性分析Φ(s)=s2+2ξωns+ωn2ωn20＜＜ξ＜＜1ξ＝＝1ξ＝＝0ξ＞＞1j0j0j0j0T11T21h(t)= 1-(1+ωnt) e-ωn th(t)= 1√1-ξ21e-ξω tnsin(ωdt+β)h(t)= 1-cosωntξ＞＞1:ξ＝＝1:0＜＜ξ＜＜1:ξ＝＝0:h(t)= 1T2tT1T21e+T1tT2T11e+2024/8/2317自动控制原理K(t)=Ae-at零极点分布图：零极点分布图：Φ(s)=传递函数：传递函数：AS+a0-aj0运动模态12024/8/2318自动控制原理K(t)=Ae-atsin(bt+α)零极点分布图：零极点分布图：tΦ(s)=传递函数：传递函数：A1s+B1(S+a)2+b2运动模态20-ajb02024/8/2319自动控制原理K(t)=Asin(bt+α)零极点分布图：零极点分布图：tΦ(s)=传递函数：传递函数：A1s+B1 S2+b2运动模态30jb02024/8/2320自动控制原理K(t)=Aeatsin(bt+α)零极点分布图：零极点分布图：tΦ(s)=传递函数：传递函数：A1s+B1(S-a)2+b20ajb0运动模态42024/8/2321自动控制原理K(t)=Aeat零极点分布图：零极点分布图：tΦ(s)=传递函数：传递函数：AS-a0aj0运动模态52024/8/2322自动控制原理运动模态总结 j0j0j0j0j02024/8/2323自动控制原理3.3.3 3.3.3 二阶系统阶跃响应的性能指标计算二阶系统阶跃响应的性能指标计算--------欠阻尼情况欠阻尼情况在工程中，除了一些不在工程中，除了一些不容许产生振荡响应的系容许产生振荡响应的系统外，通常都希望系统统外，通常都希望系统具有适度的阻尼、快速具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调的响应速度和较短的调节时间。

节时间 二阶系统一般取二阶系统一般取 其它的其它的动态性能指性能指标，，有的可用有的可用表示，如表示，如准确表示，如准确表示，如可采用近似算法可采用近似算法 ，而有的不能而有的不能2024/8/2324自动控制原理在式（在式（3-203-20）中，可知欠阻尼）中，可知欠阻尼时的响的响应为：： 令，在，在较大的大的值范范围内，近似有内，近似有 （3-24）时，亦可用，亦可用（3-25）2024/8/2325自动控制原理 即：（3-26） （3-21）当 时，由公式(3-21)可知：推得：不变不变自振角频率越大，系统响应速度越快2024/8/2326自动控制原理 根据峰根据峰值时间定定义，，应取取对式（对式（3-213-21）求导，并令其为零，求得）求导，并令其为零，求得（3-21）2024/8/2327自动控制原理 超调量在峰值时间发生，故即为最大输出 (3-30) 2024/8/2328自动控制原理调节时间的计算 包络线为： 6振荡次数N在(0，ts)响应曲线穿越稳态值次数的一半 2024/8/2329自动控制原理1) 令令h(t)=1取其解中的最小值，得取其解中的最小值，得:2) 令令h(t)一阶导数一阶导数=0，取其解中的最小值，得，取其解中的最小值，得:4) 由包络线求调节时间由包络线求调节时间欠阻尼二阶系统动态性能分析与计算总结欠阻尼二阶系统动态性能分析与计算总结3)2024/8/2330自动控制原理欠阻尼二阶系统的ts取取sin项为项为±1，则，则h(t)=1±e-ξωnt取误差带为取误差带为△△=±0.05,则有则有e-ξωnt=0.05得得:2024/8/2331自动控制原理小结小结小结小结 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析 二阶系统性能指标计算二阶系统性能指标计算。