关于圆锥曲线的中点弦问题的解法探索.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑关于圆锥曲线的中点弦问题的解法探索圆锥曲线 解法 中点 探索 直线与圆锥曲线相交所得弦的中点有关的问题，我们称为中点弦问题中点弦问题是圆锥曲线的重要内容之一，也是高考的一个热点问题而这类问题一般有以下五种类型：〔1〕求中点弦所在直线方程问题；〔2〕求弦中点的轨迹方程问题；〔3〕与中点弦有关的圆锥曲线的方程〔4〕求弦中点的坐标问题；〔5〕圆锥曲线上两点关于直线对称问题 　　解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线与圆锥曲线的方程，借助一元二次方程根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、设而不求、整体代入法、中心对称变换法以及参数法求解而解决中点弦问题还有一种更为行之有效的方法――“点差法〞，“点差法〞顾名思义是代点作差的手段其步骤为：设直线与圆锥曲线的交点坐标为A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕 ，得志圆锥曲线方程，那么将两点代入曲线方程作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB斜率有关的式子，从而使问题简化进而得到解决　　一、求中点弦所在直线方程问题　　例1、过椭圆+=1 内一点M〔2，1〕引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程　　解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：　　〔4k2+1〕x2-8〔2k2-k〕x+4〔2k-1〕2-16=0　　又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B〔x2，y2〕，那么x1，x2是方程的两个根，于是x1+x2=，又M为AB的中点，所以==2 ，解得k=，故所求直线方程为x+2y-4=0。

　　解法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B〔x2，y2〕，M〔2，1〕为AB的中点，　　所以x1+x2=4，y1+y2=2，　　又A、B两点在椭圆上，那么x21 +4y12=16，x22 +4y22=16 ，两式相减得〔x21-x22〕+4〔y12-y22〕=0，　　所以=-=-，即kAB=-，　　故所求直线方程为x+2y-4=0　　二、求弦中点的轨迹方程问题　　例2、已知双曲线C：y2-=1，过点P〔2，1〕作直线 交双曲线C于A、B两点　　〔1〕求弦AB的中点M的轨迹；　　〔2〕假设P恰为弦AB的中点，求直线l 的方程　　解：〔1〕a2=1，b2=2 焦点在y轴上　　设点M的坐标为〔x，y〕，由kAB=得：=，　　整理得：x2-3y2-2x+3y=0　　∴所求的轨迹方程为x2-3y2-2x+3y=0　　〔2〕P恰为弦AB的中点，　　∴由kAB=得：kAB=，即kAB=　　∴直线l的方程为y-1=〔x-2〕，即2x-3y-1=0　　三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程问题　　例3、已知中心在原点，一焦点为F〔0，〕的椭圆被直线l：y=3x-2截得的弦的中点横坐标为，求椭圆的方程。

　　解：设椭圆的方程为+=1，那么a2-b2=50　　设弦的端点A(x1，y1)，B〔x2，y2〕，弦AB的中点M(x0，y0)　　那么x0=，y0=3x0-2=-；从而x1+x2=2x0=1，y1+y2=2y0=-1　　又+=1，+=1；　　两式相减得b2〔y1+y2〕〔y1-y2〕+a2〔x1+x2〕〔x1-x2〕=0　　即k==-==3　　从而得a2=75，b2=25；所求椭圆的方程为+=1　　四、弦中点的坐标问题　　例4、求直线 被抛物线 截得线段的中点坐标　　解：解法一：设直线y=x-1与抛物线y2=4x交于A〔x1，y1〕 ，B〔x2，y2〕，其中点P〔x0，y0〕，由题意得y=x-1y2=4x，消去y得〔x-1〕2=4x，即x2-6x+1=0，所以x0==3，y0=x0-1=2，即中点坐标为〔3，2〕　　解法二：设直线y=x-1与抛物线y2=4x交于A〔x1，y1〕 ，B〔x2，y2〕，其中点P(x0，y0)，由题意得y12=4x1y22=4x2，两式相减得y22-y12=4〔x2-x1〕，所以=4，所以y1+y2=4，即y0=2，x0=y0+1=3，即中点坐标为〔3，2〕 。

　　五、圆锥曲线上两点关于直线对称问题　　例5、已知椭圆+=1，试确定m的取值范围，使得对于直线y=4x+m，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称　　解：设A(x1，y1)，B〔x2，y2〕为椭圆上关于直线y=4x+m对称的两点，P〔x，y〕 为弦AB的中点，那么3x12+4y12=12；3x22+4y22=12；　　两式相减得3〔x12-x22〕+4〔y12-y22〕=0　　Qx1+x2=2x，y1+y2=2y，=-　　∴ y=3x即为弦AB的中点P的轨迹方程　　它与直线y=4x+m的交点总在椭圆内部　　由y=3xy=4x+m得x=-my=-3m即P 〔-m，-3m〕在椭圆内从而P 〔-m，-3m〕得志不等式+＜1 即有:　　+＜1解不等式得-　　上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些根本解法由上面例子我们可以得出更一般的结论　　引理设A、B是二次曲线C：Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0上的两点，P〔x0，y0〕为弦A、B的中点，那么kAB=-〔2Cy0+E≠0〕　　〔说明：当A→B时，上面的结论就是过二次曲线C上的点P〔x0，y0〕的切线斜率公式，即k=〕　　推论1设圆x2+y2+Dx+Ey=0的弦AB的中点为P〔x0，y0〕〔y0≠0〕，那么kAB=-。

　　〔假设点P在圆上时，那么过点P的切线斜率为k=〕　　推论2设椭圆+=1的弦AB的中点为P〔x0，y0〕〔y0≠0〕，那么kAB=-〔注：对a≤b也成立假设点P在椭圆上，那么过点P的切线斜率为kAB=-〕　　推论3设双曲线-=1的弦AB的中点为P〔x0，y0〕〔y0≠0〕那么kAB=〔假设点P在双曲线上，那么过P点的切线斜率为k=〕　　推论4设抛物线y2=2Px的弦AB 的中点为P〔x0，y0〕〔y0≠0〕那么kAB= 〔假设点P在抛物线上，那么过点P的切线斜率为k=〕　　对“点差法〞的斟酌　　 “点差法〞使用起来较为干脆，那么使用“点差法〞的条件是什么？　　 假设一条直线与曲线mx2+ny2=1〔m，n是不为零的常数，且不同时为负数〕相交于A、B两点，设A(x1，y1)，B〔x2，y2〕，那么mx12+ny12=1，mx22+ny22=1，两式相减有：m〔x1-x2〕〔x1+x2〕=-n〔y1-y2〕〔y1+y2〕其中〔x1+x2〕〔y1+y2〕，与线段AB的中点坐标有关；为AB的斜率由此可见，知道其中一个可以求出另外一个，意思是说：要用“点差法〞，需知道AB的中点和AB的斜率之一才可求另一个，然后举行简要的检验。

　　留神问题　　〔1〕 圆锥曲线的中点弦的存在性问题；〔2〕弦中点的轨迹应在曲线内部　　从以上解法中，利用点差法解决圆锥曲线中点弦问题，方法干脆领略，布局精良，计算量对比小，优化了计算过程，很好地表达了数学的美感；而且应用特征明显，有利于培养学生的数学思维，进而提高学生的解题才能和解题兴趣但其缺点是对比难以确定坐标的范围，尤其是圆锥曲线中与中点弦有关的轨迹问题，结果往往要举行验证　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文 — 6 —。