椭圆、双曲线、抛物线专题能力提升训练 理.doc

椭圆、双曲线、抛物线一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1．以双曲线 － y2＝1 的左焦点为焦点，顶点在原点的抛物线方程是x23(　　)．A． y2＝4 x B． y2＝－4 xC． y2＝－4 x D． y2＝－8 x22．双曲线 － ＝1( m＞0， n＞0)的离心率为 2，有一个焦点与抛物线 y2＝4 mx 的焦点重合，x2m y2n则 n 的值为(　　)．A．1 B．4 C．8 D．123．已知 A1， A2分别为椭圆 C： ＋ ＝1( a＞ b＞0)的左右顶点，椭圆 C 上异于 A1， A2的点 Px2a2 y2b2恒满足 kPA1·kPA2＝－ ，则椭圆 C 的离心率为49(　　)．A. B. C. D.49 23 59 534．已知长方形 ABCD 的边长 AB＝2， BC＝1，若以 A、 B 为焦点的双曲线恰好过点 C、 D，则此双曲线的离心率 e＝(　　)．A. B．2( －1)5＋ 12 5C. －1 D. ＋15 25．设 F1、 F2分别是椭圆 ＋ ＝1( a＞ b＞0)的左、右焦点，若在直线 x＝ 上存在 P，使线x2a2 y2b2 a2c段 PF1的中垂线过点 F2，则椭圆离心率的取值范围是(　　)．A. B.(0，22] (0， 33]C. D.[22， 1) [33， 1)二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)6．若双曲线 － ＝1 的渐近线与圆( x－2) 2＋ y2＝3 相切，则此双曲线的离心率为x2a2 y2b2________．..7．在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： ＋ ＝1 的左、右焦点分别是 F1、 F2， P 为椭圆 Cx225 y29上的一点，且 PF1⊥ PF2，则△ PF1F2的面积为________ ．8．已知抛物线 x2＝4 y 的焦点 F 和点 A ， P 为抛物线上一点，则| PA|＋| PF|的最小值(－ 1，18)是________．三、解答题(本题共 3 小题，共 35 分)9．(11 分)如图，设 P 是圆 x2＋ y2＝25 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的投影， M 为 PD 上一点，且| MD|＝ |PD|.45(1)当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度．4510．(12 分)已知椭圆 C1： ＋ y2＝1，椭圆 C2以 C1的长轴为短轴，且与 C1有相同的离心率．x24(1)求椭圆 C2的方程；(2)设 O 为坐标原点，点 A， B 分别在椭圆 C1和 C2上 ＝2 ，求直线 AB 的方程．OB→ OA→ 11． (12 分)设抛物线 C： x2＝2 py(p＞0)的焦点为 F，准线为 l， A 为 C 上一点，已知以 F 为圆心， FA 为半径的圆 F 交 l 于 B， D 两点．(1)若∠ BFD＝90°，△ ABD 的面积为 4 ，求 p 的值及圆 F 的方程；2(2)若 A， B， F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m， n 距离的比值．..参考答案1．D　[由题意知：抛物线的焦点为(－2,0)．又顶点在原点，所以抛物线方程为 y2＝－8 x.]2．D　[抛物线焦点 F(m,0)为双曲线一个焦点，∴ m＋ n＝ m2，又双曲线离心率为2，∴1＋ ＝4，即 n＝3 m，所以 4m＝ m2，可得 m＝4， n＝12.]nm3．D　[设 P(x0， y0)，则 × ＝－ ，化简得 ＋ ＝1 可以判断 ＝ ， e＝ y0x0＋ a y0x0－ a 49 x20a2 y204a29 b2a2 49＝ ＝ .]1－ (ba)2 1－ 49 534．A　[由题意可知 c＝1， －1＝2 a，所以 e＝ ＝ ＝ .]52c2a 25－ 1 5＋ 125．D　[设 P ， F1P 的中点 Q 的坐标为 ，(a2c， y) (b22c， y2)则 kF1P＝ ， kQF2＝ .由 kF1P·kQF2＝－1，cyb2＋ 2c2 cyb2－ 2c2得 y2＝ ＝ .4c4－ b4c2  2c2－ b2  2c2＋ b2c2因为 y2≥0，但注意 b2＋2 c2≠0，所以 2c2－ b2＞0，即 3c2－ a2＞0.即 e2＞ .故 ＜ e＜1.13 33当 b2－2 c2＝0 时， y＝0，此时 kQF2不存在，此时 F2为中点， － c＝2 c，得 e＝ .综上a2c 33得， ≤ e＜1.]336．解析　依题意得：双曲线的渐近线方程为： bx±ay＝0，则 ＝ ，即： b2＝3 a2，又 c2＝ a2＋ b2，|2b|a2＋ b2 3∴ c2＝4 a2，∴ e＝2.答案　27．解析　∵ PF1⊥ PF2，∴| PF1|2＋| PF2|2＝| F1F2|2，由椭圆方程知a＝5， b＝3，∴ c＝4，∴Error!解得| PF1||PF2|＝18，∴△ PF1F2的面积为 |PF1|·|PF2|＝ ×18＝9.12 12答案　9..8．解析　点 A 在抛物线的外部，所以当 P、 A、 F 三点共线时，| PA|＋| PF|最小，其中焦点F 的坐标为(0,1)，故| PA|＋| PF|的最小值为| AF|＝ .1138答案　11389．解　(1)设 M 的坐标为( x， y)， P 的坐标为( xP， yP)，由已知得Error!∵ P 在圆上，∴ x2＋ 2＝25，即轨迹 C 的方程为 ＋ ＝1.(54y) x225 y216(2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y＝ (x－3)，45 45设直线与 C 的交点为 A(x1， y1)， B (x2， y2)，将直线方程 y＝ (x－3)代入 C 的方程，得45＋ ＝1，即 x2－3 x－8＝0.x225  x－ 3 225∴ x1＝ ， x2＝ .3－ 412 3＋ 412∴线段 AB 的长度为| AB|＝  x1－ x2 2＋  y1－ y2 2＝ ＝ ＝ .(1＋ 1625) x1－ x2 2 4125×41 41510．解　(1)由已知可设椭圆 C2的方程为 ＋ ＝1( a＞2)，其离心率为 ，故 ＝ ，y2a2 x24 32 a2－ 4a 32则 a＝4，故椭圆 C2的方程为 ＋ ＝1.y216 x24(2)法一　 A， B 两点的坐标分别记为( xA， yA)，( xB， yB)，由 ＝2 及(1)知， O， A， BOB→ OA→ 三点共线且点 A， B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 y＝ kx.将 y＝ kx 代入 ＋ y2＝1 中，得(1＋4 k2)x2＝4，x24所以 x ＝ .2A41＋ 4k2将 y＝ kx 代入 ＋ ＝1 中，得(4＋ k2)x2＝16，y216 x24所以 x ＝ ，2B164＋ k2又由 ＝2 ，得 x ＝4 x ，即 ＝ ，OB→ OA→ 2B 2A 164＋ k2 161＋ 4k2..解得 k＝±1，故直线 AB 的方程为 y＝ x 或 y＝－ x.法二　 A， B 两点的坐标分别记为( xA， yA)，( xB， yB)，由 ＝2 及(1)知， O， A， B 三点共线且点 A， B 不在 y 轴上，OB→ OA→ 因此可设直线 AB 的方程为 y＝ kx.将 y＝ kx 代入 ＋ y2＝1 中，得(1＋4 k2)x2＝4，x24所以 x ＝ ，由 ＝2 ，得 x ＝ ， y ＝ ，2A41＋ 4k2 OB→ OA→ 2B 161＋ 4k2 2B 16k21＋ 4k2将 x ， y 代入 ＋ ＝1 中，得 ＝1，则 4＋ k2＝1＋4 k2，2B 2By216 x24 4＋ k21＋ 4k2解得 k＝±1，故直线 AB 的方程为 y＝ x 或 y＝－ x.11．解　(1)由已知可得△ BFD 为等腰直角三角形，| BD|＝2 p，圆 F 的半径| FA|＝ p.2由抛物线定义可知 A 到 l 的距离 d＝| FA|＝ p.2因为△ ABD 的面积为 4 ，所以 |BD|·d＝4 ，212 2即 ·2p· p＝4 ，解得 p＝－2(舍去)或 p＝2.12 2 2所以 F(0,1)，圆 F 的方程为 x2＋( y－1) 2＝8.(2)因为 A， B， F 三点在同一直线 m 上，所以 AB 为圆 F 的直径，∠ ADB＝90°.由抛物线定义知| AD|＝| FA|＝ |AB|.12所以∠ ABD＝30°， m 的斜率为 或－ .33 33当 m 的斜率为 时，由已知可设 n： y＝ x＋ b，代入 x2＝2 py 得 x2－ px－2 pb＝0.33 33 2 33由于 n 与 C 只有一个公共点，故 Δ ＝ p2＋8 pb＝0，解得 b＝－ .43 p6因为 m 的纵截距 b1＝ ， ＝3，所以坐标原点到 m， n 距离的比值为 3.p2 |b1||b|当 m 的斜率为－ 时，由图形对称性可知，坐标原点到 m， n 距离的比值33为 3.综上，坐标原点到 m， n 距离的比值为 3.。