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[研究生入学考试题库]考研数学二模拟416一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．问题:1. 设则F(x)在x=0处______A.极限不存在．B.极限存在但不连续．C.连续但不可导．D.可导．答案:C[解析] 法一 写出F(x)的表达式进行讨论．由f(x)的表达式知， 当x＜0时， 当x≥0时， 即 可知F(x)在x=0处连续．再看是否可导． 所以选C． 法二 有下述定理： 设f(x)在[a，b]上除点c∈(a，b)外连续，而点x=c是f(x)的跳跃间断点．又设 则：①F(x)在[a，b]上必连续； ②当x∈[a，b]但x≠c时，F'(x)=f(x)； ③F'(c)必不存在，并且F'+(c)=f(c+)，F'-(c)=f(c-)． 在做选择题时可套用此结论． 由此定理可知应选C． 问题:2. 曲线的渐近线______A.只有水平的与铅直的，无斜的．B.只有水平的与斜的，无铅直的．C.只有铅直的与斜的，无水平的．D.水平的、铅直的与斜的都有．答案:D[解析] 所以有铅直渐近线x=0； 所以有水平渐近线y=0(沿x→+∞方向)； 所以有斜渐近线y=x．问题:3. 设f(x)与g(x)在x=a处均为极大值．又设F(x)=f(x)g(x)，则F(x)在x=a处______A.必为极大值．B.必为极小值．C.必不是极值．D.不能确定是否为极值．答案:D[解析] 举反例排除A，B，C． A的反例：取f(x)=-x2，g(x)=-x2，x=0均是f(x)与g(x)的极大值点，而F(x)=f(x)g(x)=x4，x=0是它的极小值点，不选A． B的反例：取f(x)=1-x2，g(x)=1-x2，x=0均是f(x)与g(x)的极大值点，而F(x)=f(x)g(x)=1-2x2+x4，F'(x)=-4x+4x3，F"(x)=-4+12x2，F'(0)=0，F"(0)＜0，故F(0)=1为极大值．不选B． 由A，B反例可见，x=0可以是F(x)的极值点，所以不选C，只能选D． 问题:4. 设f(x，y)=|x-y|φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则φ(0，0)=0是f(x，y)在点(0，0)处可微的______A.必要条件但非充分条件．B.充分条件但非必要条件．C.充分必要条件．D.既非充分又非必要条件．答案:C[解析] 先证充分性．设φ(0，0)=0，由于φ(x，y)在点(0，0)处连续，所以由于 故 所以 按可微定义，f(x，y)在点O(0，0)处可微，且df(x，y)=0·Δx+0·Δy，即f'x(0，0)=0，f'y(0，0)=0． 再证必要性．设f(x，y)在点(0，0)处可微，则f'x(0，0)与f'y(0，0)必都存在． 其中x→0+时，取“+”，x→0-时，取“-”． 由于f'x(0，0)存在，所以φ(0，0)=-φ(0，0)，从而φ(0，0)=0．证毕． 问题:5. 设n=0，1，2，…．则关于an关系式成立的是______A.an+2=an+1+an．B.an+3=an．C.an+4=an+2+an．D.an+6=an．答案:D[解析] 由得f(0)=1，再由 f(x)(x2-x+1)=x+1， (*) 两边对x求一阶导数，得 f'(x)(x2-x+1)+f(x)(2x-1)=1． 将x=0代入，得 f'(0)-f(0)=1，f'(0)=f(0)+1=2． 将(*)两边对x求n阶导数，n≥2，有 将x=0代入，得 即f(n)(0)=nf(n-1)(0)-n(n-1)f(n-2)(0)，n=2，3，…． 又因为n=0，1，2，…，所以有 或写成 an+2=an+1-an，n=0，1，2，…． (**) 现在验算A～D中哪一个正确． 显然，由递推公式(**)知，A的左边an+2=an+1-an，仅当an=0时才有A的左边等于A的右边，故A不正确． 再验算B．B的左边 an+3=an+2-an+1=an+1-an-an+1=-an， 所以仅当an=0时，B的左边等于B的右边，故B不正确． 再验算C．C的左边 an+4=an+3-an+2=an+2-an+1-an+2=-an+1． C的右边 an+2+an=an+1-an+an=an+1． C的左边等于C的右边，得an+1=0，n=0，1，2…．但这不正确．所以C也不对． 余下只有D． 以下可直接验算D正确．由已证(**)式，所以对一切n，有 an+6=an+5-an+4=an+4-an+3-an+4=-an+3， 从而 an+6=-an+3=-(-an)=an，n=0，1，2，…． 所以D正确． 问题:6. 设A，B，C为常数，则微分方程y"+2y'+5y=e-xcos2x有特解形式______A.e-x(A+Bcos2x+Csin2x)．B.e-x(A+Bxcos2x+Cxsin2x)．C.e-x(Ax+Bcos2x+Csin2x)．D.e-x(Ax+Bxcos2x+Cxsin2x)．答案:B[解析] 原方程可写成特征方程是r2+2r+5=0，特征根r1，2=-1±2i．对应于自由项部分的一个特解形式为y1*=Ae-x．对应于自由项部分的一个特解形式为y2*=xe-x(Bcos2x+Csin2x)．所以原方程的一个特解形式为 y1*+y2*=e-x(A+Bxcos2x+Cxsin2x)． 故应选B． 问题:7. 已知n维向量组α1，α2，α3，α4是线性方程组Ax=0的基础解系，则向量组aα1+bα4，aα2+bα3，aα3+bα2，aα4+bα1也是Ax=0的基础解系的充分必要条件是______A.a=b．B.a≠-b．C.a≠b．D.a≠±b．答案:D[解析] 向量组aα1+bα4，aα2+bα3，aα3+bα2，aα4+bα1均是Ax=0的解，且共4个，故该向量组是Ax=0的基础解系该向量组线性无关．因 且α1，α2，α3，α4线性无关，则 故应选D． B，C是充分条件，并非必要，A既非充分又非必要，均应排除． 问题:8. 设则A合同于______ A． B． C． D． 答案:C[解析] 写出A对应的二次型，并用配方法化成标准形． 知f的秩为2，正惯性指数为1(负惯性指数也为1)，这可排除选项A，B．选项C的二次型为 正负惯性指数和题干中矩阵对应的二次型一致．而选项D中二次型为 正惯性指数为2．故应选C． 二、填空题问题:1. 函数的间断点的个数为______．答案:2[解析] 应先写出f(x)的表达式， 故知f(x)有且仅有两个间断点 问题:2. 设f(x)在区间[a，+∞)上存在二阶导数，且其中a，b均为常数，则 答案:0[解析] 取常数h＞0，在区间[x，x+h]上用泰勒公式： 于是有 令x→+∞有ξ→+∞，并且由已知有 问题:3.答案:-ln2[解析] 问题:4. 设常数a＞0，双纽线(x2+y2)2=a2(x2-y2)围成的平面区域记为D，则二重积分 答案:[解析] 由于被积函数及积分区域D关于两坐标轴都对称，所以 问题:5. 设其中f，g均可微，则答案:2xyf'1[解析] 问题:6. 设A，B是2阶矩阵，且A相似于B，A有特征值λ=1，B有特征值μ=-2，则|A+2AB-4B-2E|=______．答案:-36[解析] 因为A～B，所以A，B有相同的特征值1，-2． |A+2AB-4B-2E|=|A(E+2B)-2(2B+E)| =|(A-2E)(2B+E)|=|A-2E||2B+E|． A，B有特征值1，-2，A-2E有特征值-1，-4，2B+E有特征值3，-3，故 |A+2AB-4B-2E|=|A-2E||2B+E|=(-1)×(-4)×3×(-3)=-36． 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．问题:1.答案:[解]先由 得 所以原式为型．再由式(*)，用等价无穷小替换，得 问题:2. 设函数f(x)在区间(0，+∞)上可导，且f'(x)＞0， 求F(x)的单调区间，并求曲线y=F(x)的图形的凹凸区间及拐点坐标． 答案:[解]由则 当0＜x＜1时，从而 当1＜x＜+∞时，从而 又在x=1处F(x)连续，所以F(x)在区间(0，+∞)上严格单调增加． 所以F"(1)=0，且当0＜x＜1时，F"(x)＜0，曲线y=F(x)是凸的；当x＞1时，F"(x)＞0，曲线y=F(x)是凹的．所以点(1，0)为曲线y=F(x)上的唯一拐点，且凸区间为(0，1)，凹区间为(1，+∞)． 问题:3. 设常数α＞0，积分试比较I1与I2的大小，要求写明推导过程．答案:[解] 当时，从而且cosx＞sinx， 于是知I1＞I2，即 设b为常数．4. 求曲线L：的斜渐近线(记为l)的方程；答案:[解] 所以斜渐近线方程为y=2x-4(当x→-∞时，有相同的斜渐近线)． 5. 设L与l从x=1延伸到x→+∞之间的图形的面积A为有限值，求b及A的值．答案:[解]面积 显然h(x)在(1，+∞)上无奇点，又b为常数，则当x足够大时，h(x)恒为正或恒为负．故A与的敛散性相同． 若2b+15+1≠0，即b≠-8，无论b＞-8还是b＜-8，均有 I发散，即A的值为∞，与A为有限值矛盾． 当b=-8时，此时面积 问题:6. 设z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且z=z(x-2y，x+3y)满足 求z=z(u，v)所满足的方程，并求z(u，v)的一般表达式． 答案:[解]由z=z(x-2y，x+3y)，易知 代入原方程，得 以下求z的一般表达式．将上式写成两边对u积分，v看成常数，得其中φ1(v)为v的具有连续导数的任意函数．再将上式看成z对v的一阶线性微分方程，代入一阶线性微分方程的通解公式，得 由于φ1(v)的任意性，记它表示为v的具有二阶连续导数的任意函数，ψ。