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第五节 柯西积分公式 一、问题的提出二、柯西积分公式三、典型例题四、小结与思考1一、问题的提出一、问题的提出根据闭路变形原理知根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变的变化而改变, 求这个值求这个值.23二、柯西积分公式二、柯西积分公式定理定理证证45上不等式表明上不等式表明, 只要只要 R 足够小足够小, 左端积分的模左端积分的模就可以任意小就可以任意小,根据闭路变形原理知根据闭路变形原理知, 左端积分的值与左端积分的值与 R 无关无关, 所以只有在对所有的所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能积分值为零时才有可能.[证毕证毕]柯西积分公式柯西积分公式柯西介绍柯西介绍6关于柯西积分公式的说明关于柯西积分公式的说明: :(1) 把函数在把函数在C内部任一点的值用它在边界上内部任一点的值用它在边界上的值表示的值表示. (这是解析函数的又一特征这是解析函数的又一特征)(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法积分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个而且给出了解析函数的一个积分表达式积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具这是研究解析函数的有力工具)(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值上的平均值.7三、典型例题三、典型例题例例1 1解解8由柯西积分公式由柯西积分公式9例例2 2解解由柯西积分公式由柯西积分公式10例例3 3解解由柯西积分公式由柯西积分公式11例４例４解解根据柯西积分公式知根据柯西积分公式知,12例例5 5解解13例例5 5解解14由闭路复合定理由闭路复合定理, 得得例例5 5解解15例例6 6解解根据柯西积分公式知根据柯西积分公式知,16比较两式得比较两式得17课堂练习课堂练习答案答案18四、小结与思考四、小结与思考 柯西积分公式是复积分计算中的重要公式柯西积分公式是复积分计算中的重要公式, 它的证明基于柯西它的证明基于柯西–古萨基本定理古萨基本定理, 它的重要性它的重要性在于在于: 一个解析函数在区域内部的值可以用它在一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示边界上的值通过积分表示, 所以它是研究解析函所以它是研究解析函数的重要工具数的重要工具.柯西积分公式柯西积分公式:19思考题思考题 柯西积分公式是对有界区域而言的柯西积分公式是对有界区域而言的, 能否推能否推广到无界区域中广到无界区域中?20思考题答案思考题答案可以可以.其中积分方向应是顺时针方向其中积分方向应是顺时针方向.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .21作业：作业：•P79 8. (1)(4)(6)(10).• 9.23。