正余弦定理题型总结汇总.doc

平面向量题型归纳（全）题型一：共线定理应用同 B.a,b 两向量中至少有个为零向量C. 存在R, b aD存在不全为零的实数 1, 2, 1 a 2 b 0例一： 平面向量 a,b 共线的充要条件是（）A. a,b 方向相变式一：对于非零向量a,b，a b 0 ”是a// b ”的（A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件变式二： 设 a,b 是两个非零向量（）A.若abab则 a b B.若 a b，b a D 若存在实数 ，使得则 a b，则存在实数 ，使得C.b a ，则 a b a _ b例二： 设两个非零向量 e1 与 e2 ，不共线，1）如果 AB e1 e2,BC 3e1 2e2 ,CD 8e1 2e2 ,求证： A,C,D三点共线；2）如果 AB e1 e2,BC 2e1 3e2 , CD 2e1 ke2,且A,C,D三点共线，求实数 k 的值变式一：设e1与e2两个不共线向量， AB 2e1 ke2,CB e1 3e2,CD 2e1 e2 ,若三点 A,B,D 共线，求实数 k 的值变式二： 已知向量 a,b ，且 AB a 2b,BC 5a 2b,CD 7a 2b,则一定共线的三点是（ ）A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D题型二：线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用A. 0 PA PB例一： 设 P是三角形 ABC所在平面内的一点， 2BP BC BA, 则（ ）B. 0 PC PA C. 0 PB PC D. 0 PC PA PB变式一：已知 O是三角形 ABC所在平面内一点， D为 BC边的中点，且0 2OA OB OC ,那么（ ）A. A0 ODB. A0 2OD C.A0 3OD D.2A0 OD变式二： 在平行四边形 ABCD中 AB a， AD b， AN 3NC ,M为BC的中点，则 MN （ 用 a,b表示）例二：A.在三角形 ABC中，21 b c, B.33AB c， AC b,若点 D满足 BD 2DC,则AD ( )52c b,3321C. b c,33D. 1b 2c,33变式一：（高考题 ） 在三角形 ABC中，点D在边 AB上，CD平分角ACB, CB a ，CA b,a 1,b 2,则 CD ( )12213443A.a b, B.a b,C. a b,D. a b,33335555变 式 二 ： 设 D,E,F 分 别 是 三 角 形 ABC 的 边 BC,CA,AB 上 的 点 ， 且 DC 2BD, CE 2EA, AF 2FB, 则AD BE, CF 与 BC （ ）A. 反向平行 B. 同向平行 C. 互相垂直 D. 既不平行也不垂直变式三：在平行四边形 ABCD中， E和 F 分别是边 CD和 BC的中点，若AC AE AF , 其 , R, 则 =变式四：在平行四边形 ABCD中，AC与BD交于点 O,E是线段 OD的中点，AE的延长线与 CD交于点 F，若AC a, BD b,1 1 2 1 1 1 1 2则 AF （ ）A. a b, B. a b, C. a b, D. a b,4 2 3 3 2 4 3 3题型三：三点共线定理及其应用例一： 点 P在 AB上，求证： OP OA OB 且 =1（ , R,）AB、 AC 于不同的两点 M 和 N, 若变式： 在三角形 ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线AB mAM, AC nAN, 则 m+n=例二：在平行四边形ABCD中，E,F 分别是BC,CD的中点，DE与 AF 交于点H,设 AB a, BC b,则 AH24242424A.a b, B.ab, C.a b, D.ab,55555555变式：在三角形 ABC中，点 M是 BC的中点，点 N是边 AC上一点且 AN=2NC,AM与 BN相交于点 P,若 AP PM,求的值。

的轨迹一定通过 ABC的（ ）A. 外心B. 内心 C. 重心 D. 垂心题型四： 向量与三角形四心 一、 内心 例一：O是 ABC所在平面内一定点，动点 P满足 OPAB AC AB AC 1变式一： 已知非零向量 AB与 AC满足（ AB AC ） BC 0 ，且 AB AC 2 ，则 ABC为（ ）A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 三边均不相等的三角形变式二： AB PC BC PA CA PB 0 P 为 ABC的内心二、重心 例一：O是 ABC内一点， OC OA OB 0，则为 ABC的（ ）A.外心 B.内心 C.重心 D. 垂心1变式一： 在 ABC中， G为平面上任意一点，证明：GO 13(GA GB GC ) O为 ABC的重心变式二： 在 ABC中， G为平面上任意一点，若AO 3(AB AC ) O为 ABC的重心垂心：例一： 求证：在 ABC中， OA OB OB OC变 式 一 ： O 是 平 面 上 一 定 点 ， A ， B ， CABACOPOA (),ABCOSBACCOSCA. 外心B. 内心C.重心 D. 垂心OC OA O 为 ABC的垂心是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点 P 满 足R, 则点 P 的轨迹一定通过 ABC的（ ）四外心 例一： 若 O是 ABC的外心， H 是 ABC的垂心，则 OH OA OC OBPA PB PB PC PC PA ，则 O，N，P 依次是 ABC的( )A. 重心、外心 、垂心 B. 重心、外心 、内心 C. 外心 、重心、垂心 D. 外心 、重心、 内心 题型五：向量的坐标运算例一：已知 A(-2,4),B(3 ，-1) ，C(-3 ，-4) ，且CM 3CA,CN 2CB ,试求点 M,N和 MN 的坐标。

变式一：已知平面向量 a ( 3, 1),b (12, 23 ),向量 x a (t 3)b, y ka tb,其中t和 k 为不同时为零的实数， ( 1)若 x y ，求此时 k 和 t 满足的函数关系式 k=f(t);(2) 若 x // y ，求此时 k 和 t 满足的函数关系式 k=g(t).变式二： 平面内给定 3个向量 a (3,2),b ( 1,2),c (4,1) ，回答下列问题1)求 3a b 2c；(2) 求 满 足 a mb nc 的 实 数 m,n;(3) 若 (a kc)//(2b a) ， 求 实 数 k ；( 4 ) 设 d (x,y)满足 (d c)/ /a( b)且 d c 1，求d 题型六：向量平行(共线) 、垂直充要条件的坐标表示例一： 已知两个向量 a (1，2), b ( 3,2), 当实数 k取何值时，向量 ka 2b与2a 4b 平行？变式一： 设向量 a,b 满足|a|= 2 5 ，b=(2,1 )，且 a与 b反向，则 a坐标为 例二：已知向量 OA (k,12),OB ( 4,5), OC ( k,10)且A,B,C 三点共线，则 k=( )A:32223B: C: D:332变式一：31已知 a ( ，sin ),b (cos , ),且 a//b ，则锐角 α为 23变式二：△ABC的三内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c 设向量 p (a c, b), q (b a,c a),若 p//q，则∠ C的大小为()A: B:C:D632题型七：平面向量的数量积例一：(1)在 Rt△ABC中，∠ C=90°， AC=4，则 AB AC ( )A：-16 B:-8 C:8 D:16 42)(高)已知正方形 ABCD的边长为 1，点E是AB边上的动点，则 DE CB 的值为 ；DE CB 的最大值为 3)在△ ABC中， M是 BC中点， AM=1，点 P在AM上满足 AP 2PM ，则 PA (PB PC) 等于( )A: 4B:4C:4 D:49339变式一：（高）如图所示，平行四边形ABCD中， AP⊥BD，垂足为 P，且 AP=3，则 AP AC变式二： 在△ ABC中， AB=1， BC= 2，AC= 3，若 O为△ ABC的重心，则 AO AC 的值为 例二： (高)在矩形 ABCD中， AB= 2 ,BC=2, 点E为 BC的中点，点 F在边 CD上，若 AB AF 2,则 AE BF 的值是变式一： （ 高）在△ ABC中， A 900 , AB 1 ,AC=2. 设点 P,Q 满足 AP AB,AQ （1 ）AC, R,若124BQ CP 2, 则 =（ ）A: B: C: D:2333例三：已知向量 a, b,c满足 a b c 0,a1, b 2,c 2, 则 a b b c c a变式一：在△ ABC中，若 AB 3, BC 4, AC6,则 AB BC BC CA CA AB变式二：变式三：已知向量 a,b, c满足 a b c 0,且（a b） c,a b,若a1, 则 a已知向量 a,b, c满足 a b c 0,且a b,a 1,b 2,则 c题型八：平面向量的夹角例一： 已知向量 a (1, 3),b ( 2,0),则 a与b的夹角是例二： 已知 a,b 是非零向量且满足 (a 2b) a,(b 2a) b,则 a与b的夹角是变式一： 已知向量 a,b, c满足 a 1, b 2,c a b,a c,则a与b的夹角是变式二： 已知 a,b是非零向量且满足 a b a b, 则 a与a b 的夹角是aa变式三： 若向量 a与b不共线， a b 0,且c a （ ）b,则 a与c 的夹角是ab变式四： （高） 若向量 与 满足 1, 1,且以向量 与 为邻边的平行四边形的面积为０ . ５，则 与 的夹角的取值范围是例二： 已知 a 2, b 1， a与b的夹角为 450 ，求使向量 a b与 a b的夹角为锐角的 的取值范围。

变式一： 设两个向量 e1,e2 ，满足 e1 2,e2 1，e1与e2的夹角为 ，若向量 2te1 7e2与e1 te2 的夹角为钝1 2 1 2 3 1 2 1 2 角，求实数 t 的范围变式二： 已知 a与b均为单位向量，其夹角为 ，有下列 4 个命题：2p1 : a b 1 [0, );3p2ab21 ( , ];3p3 : a b 1 [0, );3。